Algèbre & Combinatoire · Fiche N°3 / 110

Les combinaisons : formule C(n,p) et calcul

Définition, méthode rigoureuse, exemples corrigés et exercice type BAC.

📚 Terminale Spécialité Maths ⏱ Lecture : 5 min ✅ Programme officiel BO 2019

Définition

Une combinaison de $p$ éléments parmi $n$ éléments est un sous-ensemble de $p$ éléments choisis parmi $n$ éléments distincts, sans tenir compte de l'ordre. Le nombre de combinaisons de $p$ éléments parmi $n$ est noté $inom{n}{p}$ (ou $C_n^p$) et est donné par la formule : $$\binom{n}{p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$$ où $n!$ (factorielle de $n$) est le produit de tous les entiers de $1$ à $n$, avec $0! = 1$ par convention.

💡 Bon réflexe : Avant de calculer, toujours se demander si l'ordre des éléments choisis est important pour distinguer combinaisons et arrangements.
Cₙᵖ = n! / (p!(n−p)!)Nombre de sous-ensembles de taille pCₙᵖ = Cₙⁿ⁻ᵖ (symétrie)Cₙᵖ + Cₙᵖ⁺¹ = Cₙ₊₁ᵖ⁺¹Aₙᵖ = p! · CₙᵖArrangements vs Combinaisons

Méthode — Les combinaisons : formule C(n,p) et calcul

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Identifier $n$ et $p$

Dans un problème donné, il faut d'abord déterminer le nombre total d'éléments disponibles, qui sera $n$, et le nombre d'éléments que l'on souhaite choisir, qui sera $p$. Il est crucial de s'assurer que l'ordre de choix n'importe pas et que les éléments sont distincts.

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Vérifier les conditions d'application

La formule des combinaisons s'applique si $0 \leq p \leq n$. Si $p > n$, le nombre de combinaisons est $0$. Si $p=0$ ou $p=n$, la formule donne $\binom{n}{0} = 1$ et $\binom{n}{n} = 1$, ce qui est intuitif (il y a une seule façon de ne rien choisir ou de tout choisir).

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Appliquer la formule

Une fois $n$ et $p$ identifiés, on applique la formule : $$\binom{n}{p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$$ Il est souvent utile de simplifier les factorielles avant de faire les calculs finaux. Par exemple, $n! = n \times (n-1)!$.

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Calculer et simplifier

Effectuer les calculs des factorielles et simplifier la fraction. Il est souvent possible de simplifier le numérateur et le dénominateur en écrivant $n! = n \times (n-1) \times \dots \times (p+1) \times p!$ pour annuler le $p!$ au dénominateur, ce qui donne : $$\binom{n}{p} = \frac{n \times (n-1) \times \dots \times (n-p+1)}{p!}$$ Cette forme est souvent plus rapide pour le calcul manuel.

Exemple résolu

Un comité de $3$ personnes doit être formé à partir d'un groupe de $8$ étudiants. Combien de comités différents peuvent être formés ?

1
Identifier $n$ et $p$
Le nombre total d'étudiants est $n=8$. Le nombre de personnes à choisir pour le comité est $p=3$. L'ordre des personnes dans le comité n'a pas d'importance (un comité {Alice, Bob, Carole} est le même qu'un comité {Bob, Alice, Carole}). Il s'agit donc bien d'un problème de combinaisons.
2
Vérifier les conditions
On a $n=8$ et $p=3$. La condition $0 \leq p \leq n$ est vérifiée car $0 \leq 3 \leq 8$.
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Appliquer la formule
On utilise la formule des combinaisons : $$\binom{8}{3} = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!}$$
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Calculer et simplifier
On calcule les factorielles : $8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320$. $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$. $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.
Donc, $$\binom{8}{3} = \frac{40320}{6 \times 120} = \frac{40320}{720}$$ Simplification alternative : $$\binom{8}{3} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5!}{3! \times 5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = \frac{336}{6} = 56$$

Il y a $56$ comités différents qui peuvent être formés.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Confusion Combinaisons/Arrangements

  1. Ne pas distinguer si l'ordre des éléments choisis est important ou non. Si l'ordre importe, il s'agit d'arrangements ($A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$), pas de combinaisons.
  2. Oublier que les éléments doivent être distincts. La formule $\binom{n}{p}$ suppose que les $n$ éléments de départ sont tous différents.
  3. Erreur de calcul des factorielles, surtout pour les grandes valeurs de $n$. Il est souvent plus simple de simplifier la fraction avant de calculer les produits.

Exercice type BAC

Une urne contient $10$ boules indiscernables au toucher : $6$ boules rouges et $4$ boules vertes.

  1. On tire simultanément $3$ boules de l'urne. Combien y a-t-il de tirages possibles ?
  2. Combien de tirages contiennent exactement $2$ boules rouges et $1$ boule verte ?
  3. Combien de tirages contiennent au moins $2$ boules rouges ?

  1. Nombre total de tirages possibles :
    On tire simultanément $3$ boules parmi $10$. L'ordre n'importe pas. Il s'agit donc de combinaisons.
    $n=10$ (nombre total de boules), $p=3$ (nombre de boules tirées).
    Le nombre de tirages possibles est : $$\binom{10}{3} = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$$ Il y a $120$ tirages possibles.

  2. Nombre de tirages contenant exactement $2$ boules rouges et $1$ boule verte :
    Pour les boules rouges : on doit choisir $2$ boules rouges parmi les $6$ disponibles. Le nombre de façons est $\binom{6}{2}$.
    $$\binom{6}{2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$$Pour les boules vertes : on doit choisir $1$ boule verte parmi les $4$ disponibles. Le nombre de façons est $\binom{4}{1}$.
    $$\binom{4}{1} = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1!3!} = \frac{4}{1} = 4$$Puisque les choix sont indépendants, le nombre total de tirages est le produit des nombres de façons :
    $15 \times 4 = 60$.
    Il y a $60$ tirages contenant exactement $2$ boules rouges et $1$ boule verte.

  3. Nombre de tirages contenant au moins $2$ boules rouges :
    "Au moins $2$ boules rouges" signifie que le tirage contient soit exactement $2$ boules rouges, soit exactement $3$ boules rouges (car on tire $3$ boules au total).
    Cas 1 : Exactement $2$ boules rouges et $1$ boule verte. (Calculé à la question 2)
    Nombre de tirages = $60$.
    Cas 2 : Exactement $3$ boules rouges et $0$ boule verte.
    Pour les boules rouges : on doit choisir $3$ boules rouges parmi les $6$ disponibles. Le nombre de façons est $\binom{6}{3}$.
    $$\binom{6}{3} = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$$Pour les boules vertes : on doit choisir $0$ boule verte parmi les $4$ disponibles. Le nombre de façons est $\binom{4}{0}$.
    $$\binom{4}{0} = 1$$Le nombre de tirages pour ce cas est $20 \times 1 = 20$.
    Le nombre total de tirages contenant au moins $2$ boules rouges est la somme des nombres de tirages pour chaque cas :
    $60 + 20 = 80$.
    Il y a $80$ tirages contenant au moins $2$ boules rouges.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre une combinaison et un arrangement ?
La différence essentielle est l'ordre. Pour une combinaison, l'ordre des éléments choisis n'a pas d'importance (par exemple, choisir {A, B} est identique à choisir {B, A}). Pour un arrangement, l'ordre est important (par exemple, choisir {A, B} est différent de choisir {B, A}). La formule pour les arrangements est $A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$.
Quand utilise-t-on la factorielle $n!$ ?
La factorielle $n!$ est utilisée pour calculer le nombre de façons d'ordonner $n$ objets distincts. Elle apparaît dans les formules de combinaisons et d'arrangements car ces concepts sont dérivés des permutations (ordonnancements).
Peut-on avoir $p > n$ dans une combinaison ?
Non, par définition, on ne peut pas choisir plus d'éléments qu'il n'y en a de disponibles. Si $p > n$, le nombre de combinaisons $\binom{n}{p}$ est $0$. La formule $\frac{n!}{p!(n-p)!}$ n'est pas définie dans ce cas car $(n-p)!$ serait la factorielle d'un nombre négatif.
Existe-t-il des propriétés particulières des combinaisons ?
Oui, plusieurs propriétés sont utiles :
1. Symétrie : $\binom{n}{p} = \binom{n}{n-p}$
2. Cas particuliers : $\binom{n}{0} = 1$ et $\binom{n}{n} = 1$
3. Relation de Pascal : $\binom{n}{p} = \binom{n-1}{p-1} + \binom{n-1}{p}$ (utilisée pour construire le triangle de Pascal).

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