Définition
En mathématiques, un quantificateur universel, noté $\forall$ (pour tout), indique qu'une propriété est vraie pour tous les éléments d'un ensemble donné. Un quantificateur existentiel, noté $\exists$ (il existe), indique qu'une propriété est vraie pour au moins un élément d'un ensemble donné. Un contre-exemple est un cas particulier qui invalide une proposition générale (formulée avec $\forall$). Pour prouver qu'une proposition universelle est fausse, il suffit de trouver un seul contre-exemple.
Méthode — Contre-exemples et quantificateurs logiques (∀, ∃)
Comprendre la proposition à tester
Lisez attentivement la proposition mathématique. Identifiez les ensembles concernés (nombres réels $\mathbb{R}$, entiers naturels $\mathbb{N}$, etc.) et la propriété qui est affirmée. Repérez les quantificateurs utilisés ($\forall$ ou $\exists$). Par exemple, pour "Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $x^2 \geq x$", l'ensemble est $\mathbb{R}$ et la propriété est $x^2 \geq x$.
Identifier le type de preuve nécessaire
- Si la proposition est de la forme "$\forall x \in E, P(x)$" (pour tout $x$ dans $E$, la propriété $P(x)$ est vraie) et que vous pensez qu'elle est fausse, vous devez chercher un contre-exemple.
- Si la proposition est de la forme "$\exists x \in E, P(x)$" (il existe $x$ dans $E$ tel que $P(x)$ est vraie) et que vous pensez qu'elle est fausse, vous devez prouver que pour tout $x$ dans $E$, $P(x)$ est fausse.
- Si vous pensez que la proposition est vraie, vous devez la démontrer de manière générale.
Rechercher un contre-exemple (pour une proposition universelle fausse)
Pour une proposition "$\forall x \in E, P(x)$" que l'on suspecte fausse, cherchez une valeur spécifique de $x$ dans l'ensemble $E$ pour laquelle la propriété $P(x)$ n'est pas vérifiée. Testez des valeurs simples, des valeurs aux limites de l'ensemble, ou des valeurs qui semblent 'particulières'. Par exemple, pour "Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $x^2 \geq x$", testez $x=0.5$. On a $0.5^2 = 0.25$, et $0.25 < 0.5$. Donc $x=0.5$ est un contre-exemple.
Formuler le contre-exemple et la conclusion
Une fois le contre-exemple trouvé, énoncez-le clairement : "Prenons $x = \dots$. Alors $P(x)$ est fausse car $\dots$. Par conséquent, la proposition '$\forall x \in E, P(x)$' est fausse." La preuve par contre-exemple est une preuve directe et irréfutable de la fausseté d'une proposition universelle.
Exemple résolu
On considère les propositions suivantes. Pour chacune d'elles, déterminer si elle est vraie ou fausse. Si elle est fausse, donner un contre-exemple.
- Proposition P1 : "Pour tout nombre réel $x$, $x^2 \geq x$."
- Proposition P2 : "Il existe un nombre entier naturel $n$ tel que $n^2 + n + 41$ ne soit pas un nombre premier."
- Proposition P3 : "Pour tous nombres réels $a$ et $b$, si $a^2 = b^2$ alors $a = b$."
Réécrivons l'inégalité : $x^2 - x \geq 0 \Leftrightarrow x(x-1) \geq 0$.
Cette inégalité est vraie si $x \leq 0$ ou $x \geq 1$.
Cependant, si $x$ est entre $0$ et $1$ (exclu), c'est-à-dire $0 < x < 1$, alors $x(x-1) < 0$.
Prenons $x = 0.5$. Alors $x^2 = 0.25$. On a $0.25 < 0.5$.
Donc, $x=0.5$ est un contre-exemple.
Nous devons trouver un entier naturel $n$ pour lequel $n^2 + n + 41$ n'est pas premier.
Testons quelques valeurs :
Pour $n=0$, $0^2 + 0 + 41 = 41$ (premier).
Pour $n=1$, $1^2 + 1 + 41 = 43$ (premier).
Pour $n=2$, $2^2 + 2 + 41 = 4 + 2 + 41 = 47$ (premier).
...
Ce polynôme génère des nombres premiers pour de nombreuses valeurs de $n$. Cependant, la question est de savoir s'il existe un $n$ pour lequel ce n'est pas le cas.
Considérons $n=40$. Alors $40^2 + 40 + 41 = 1600 + 40 + 41 = 1681$.
On remarque que $n^2 + n + 41 = n(n+1) + 41$.
Si $n=40$, alors $40(40+1) + 41 = 40 \times 41 + 41 = 41(40+1) = 41 \times 41 = 41^2$.
$41^2 = 1681$. $1681$ n'est pas un nombre premier car il est divisible par $41$ (et $41 \neq 1$ et $41 \neq 1681$).
Donc, $n=40$ est un contre-exemple à la primauté de l'expression.
Nous cherchons à savoir si elle est vraie ou fausse. Si elle est fausse, nous devons trouver des réels $a$ et $b$ tels que $a^2 = b^2$ mais $a \neq b$.
L'égalité $a^2 = b^2$ implique $a^2 - b^2 = 0$, soit $(a-b)(a+b) = 0$.
Cela signifie que $a-b=0$ (donc $a=b$) ou $a+b=0$ (donc $a=-b$).
La proposition affirme que seule la première possibilité ($a=b$) est vraie. Il faut donc chercher un cas où $a=-b$ et $a \neq b$.
Prenons $a=1$ et $b=-1$. Alors $a^2 = 1^2 = 1$ et $b^2 = (-1)^2 = 1$. Donc $a^2 = b^2$ est vérifié.
Cependant, $a=1$ et $b=-1$, donc $a \neq b$.
Donc, $a=1$ et $b=-1$ est un contre-exemple.
En résumé, la proposition P1 est fausse (contre-exemple $x=0.5$), la proposition P2 est vraie (contre-exemple $n=40$), et la proposition P3 est fausse (contre-exemple $a=1, b=-1$).
⚠️ Piège fréquent au BAC — Confondre "pour tout" et "il existe"
- Ne pas confondre la preuve d'une existence (il suffit d'un exemple) et la preuve d'une universalité (il faut une démonstration générale).
- Penser qu'un exemple vérifiant une propriété prouve qu'elle est vraie pour tous les cas. Un exemple ne prouve jamais une proposition universelle.
- Oublier de vérifier les conditions d'application d'une propriété (par exemple, l'ensemble de définition des variables).
Exercice type BAC
On considère les trois propositions suivantes :
Proposition A : "Pour tout nombre réel $x$, si $x \geq 0$, alors $\sqrt{x} \leq x$."
Proposition B : "Il existe un nombre entier naturel $n$ tel que $n^2 - 1$ soit un nombre premier."
Proposition C : "Pour toute fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$, si $f'(x) \geq 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, alors $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$."
Pour chacune de ces propositions, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier votre réponse. Si la proposition est fausse, donner un contre-exemple.
Proposition A : "Pour tout nombre réel $x$, si $x \geq 0$, alors $\sqrt{x} \leq x$."
On cherche à savoir si cette proposition est vraie ou fausse. L'inégalité $\sqrt{x} \leq x$ est équivalente à $x - \sqrt{x} \geq 0$.
Pour $x > 0$, on peut factoriser par $\sqrt{x}$ : $\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1) \geq 0$.
Cette inégalité est vraie si $\sqrt{x} - 1 \geq 0$, c'est-à-dire $\sqrt{x} \geq 1$, ce qui signifie $x \geq 1$.
Si $0 < x < 1$, alors $\sqrt{x} < 1$, donc $\sqrt{x} - 1 < 0$. Dans ce cas, $\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1) < 0$, ce qui contredit l'inégalité de départ.
Prenons un contre-exemple dans l'intervalle $]0; 1[$. Soit $x = 0.25$.
Alors $\sqrt{x} = \sqrt{0.25} = 0.5$.
On a $0.5 > 0.25$, donc $\sqrt{x} > x$.
Par conséquent, la proposition A est fausse. Un contre-exemple est $x = 0.25$.
Proposition B : "Il existe un nombre entier naturel $n$ tel que $n^2 - 1$ soit un nombre premier."
On cherche un entier naturel $n$ tel que $n^2 - 1$ soit premier.
L'expression $n^2 - 1$ peut être factorisée comme une identité remarquable : $n^2 - 1 = (n-1)(n+1)$.
Pour qu'un nombre soit premier, il doit être un entier supérieur à 1 et n'avoir que deux diviseurs positifs distincts : 1 et lui-même.
Si $(n-1)(n+1)$ est un nombre premier, alors l'un de ses facteurs doit être égal à 1 (puisque les facteurs sont des entiers).
Cas 1 : $n-1 = 1 \implies n = 2$.
Si $n=2$, alors $n^2 - 1 = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3$. Le nombre 3 est un nombre premier.
Cas 2 : $n+1 = 1 \implies n = 0$.
Si $n=0$, alors $n^2 - 1 = 0^2 - 1 = -1$. Le nombre -1 n'est pas un nombre premier (les nombres premiers sont positifs).
Nous avons trouvé un entier naturel $n=2$ pour lequel $n^2 - 1 = 3$ est un nombre premier.
Par conséquent, la proposition B est vraie. Un exemple est $n=2$.
Proposition C : "Pour toute fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$, si $f'(x) \geq 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, alors $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$."
On sait que si $f'(x) \geq 0$ sur un intervalle, alors $f$ est croissante sur cet intervalle. Pour qu'elle soit strictement croissante, il faut que $f'(x) > 0$ sauf éventuellement en un nombre fini de points où $f'(x)=0$.
Considérons la fonction $f(x) = c$ (une fonction constante), par exemple $f(x) = 5$.
Cette fonction est dérivable sur $\mathbb{R}$. Sa dérivée est $f'(x) = 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
On a bien $f'(x) \geq 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
Cependant, la fonction $f(x) = 5$ n'est pas strictement croissante sur $\mathbb{R}$ (elle est constante).
Par conséquent, la proposition C est fausse. Un contre-exemple est la fonction $f(x) = 5$ (ou toute autre fonction constante).
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre $\forall$ et $\exists$ ?
Comment nier une proposition avec des quantificateurs ?
- La négation de "$\forall x, P(x)$" est "$\exists x, \text{non } P(x)$" (il existe un $x$ pour lequel $P(x)$ est fausse).
- La négation de "$\exists x, P(x)$" est "$\forall x, \text{non } P(x)$" (pour tout $x$, $P(x)$ est fausse).
Un exemple suffit-il à prouver une proposition universelle ?
Quand faut-il utiliser un contre-exemple ?
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