Étude de fonctions du type e^(f(x)) – Fiche BAC Terminale Maths

Q: Pourquoi $e^{f(x)}$ est toujours positif ?

La fonction exponentielle $x \mapsto e^x$ est par définition toujours positive pour tout $x \in \mathbb{R}$. Donc, quelle que soit la valeur de $f(x)$, $e^{f(x)}$ sera toujours strictement supérieur à $0$. C'est une propriété fondamentale de la fonction exponentielle.

Q: Comment dériver une fonction du type $e^{ax+b}$ ?

Pour dériver $e^{ax+b}$, on utilise la formule $(e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}$. Ici, $u(x) = ax+b$, donc $u'(x) = a$. La dérivée est donc $a e^{ax+b}$. Par exemple, $(e^{3x+2})' = 3e^{3x+2}$.

Q: Quelles sont les limites à connaître pour les fonctions exponentielles ?

Les limites essentielles sont :$\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$$\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ (croissance comparée)$\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ (croissance comparée)Ces limites sont cruciales pour lever les formes indéterminées.

Q: Peut-on avoir des asymptotes avec les fonctions $e^{f(x)}$ ?

Oui, tout à fait. Si $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$ (un réel), alors $\lim_{x \to \pm\infty} e^{f(x)} = e^L$. La droite d'équation $y = e^L$ est alors une asymptote horizontale. Si $\lim_{x \to a} f(x) = -\infty$, alors $\lim_{x \to a} e^{f(x)} = 0$. Si $f(x)$ tend vers une valeur finie $L$ quand $x$ tend vers $a$, alors $e^{f(x)}$ tend vers $e^L$. Les asymptotes verticales sont moins courantes pour $e^{f(x)}$ car $e^X$ ne tend pas vers $\pm\infty$ pour $X$ fini.

Définition

La fonction exponentielle est la fonction $x \mapsto e^x$, définie et dérivable sur $\mathbb{R}$, dont la dérivée est elle-même : $(e^x)' = e^x$. Pour toute fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$, la fonction composée $g(x) = e^{f(x)}$ est dérivable sur $I$ et sa dérivée est donnée par la formule $g'(x) = f'(x)e^{f(x)}$.

💡 Bon réflexe : Toujours factoriser par $e^{f(x)}$ après avoir calculé la dérivée pour simplifier l'étude de son signe.

Méthode — Étude de fonctions du type $e^{f(x)}$

1. Déterminer l'ensemble de définition et de dérivabilité

L'ensemble de définition de $e^{f(x)}$ est le même que celui de $f(x)$. Si $f$ est dérivable sur un intervalle $I$, alors $e^{f(x)}$ est dérivable sur $I$. Il est crucial de bien identifier cet intervalle pour les étapes suivantes.

2. Calculer la dérivée $g'(x)$

Appliquer la formule de dérivation des fonctions composées : si $g(x) = e^{f(x)}$, alors $g'(x) = f'(x)e^{f(x)}$. Il faut donc d'abord calculer la dérivée $f'(x)$ de la fonction $f(x)$ qui est en exposant.

3. Étudier le signe de la dérivée $g'(x)$

Puisque $e^{f(x)} > 0$ pour tout $x$, le signe de $g'(x)$ est le même que le signe de $f'(x)$. Il suffit donc d'étudier le signe de $f'(x)$ pour déterminer les variations de $g(x)$. Si $f'(x) > 0$, $g(x)$ est croissante ; si $f'(x) < 0$, $g(x)$ est décroissante.

4. Calculer les limites aux bornes de l'ensemble de définition

Les limites de $e^{f(x)}$ dépendent des limites de $f(x)$. Si $\lim_{x \to a} f(x) = L$, alors $\lim_{x \to a} e^{f(x)} = e^L$. Si $\lim_{x \to a} f(x) = +\infty$, alors $\lim_{x \to a} e^{f(x)} = +\infty$. Si $\lim_{x \to a} f(x) = -\infty$, alors $\lim_{x \to a} e^{f(x)} = 0$. Ces limites permettent de compléter le tableau de variations.

5. Construire le tableau de variations

Récapituler toutes les informations : ensemble de définition, signe de $g'(x)$, sens de variation de $g(x)$, et les limites aux bornes. Ajouter les valeurs des extremums locaux si nécessaire.

Exemple résolu

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^{x^2-2x}$. Étudier les variations de la fonction $f$.

1. Déterminer l'ensemble de définition et de dérivabilité

La fonction $u(x) = x^2-2x$ est un polynôme, donc elle est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$. Par conséquent, la fonction $f(x) = e^{x^2-2x}$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.

2. Calculer la dérivée $f'(x)$

On pose $u(x) = x^2-2x$. Alors $u'(x) = 2x-2$. En utilisant la formule $(e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}$, on obtient : $$f'(x) = (2x-2)e^{x^2-2x}$$

3. Étudier le signe de la dérivée $f'(x)$

Puisque $e^{x^2-2x} > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, le signe de $f'(x)$ est le même que le signe de $2x-2$.
$2x-2 = 0 \iff 2x = 2 \iff x = 1$.
Si $x < 1$, alors $2x-2 < 0$, donc $f'(x) < 0$.
Si $x > 1$, alors $2x-2 > 0$, donc $f'(x) > 0$.

4. Calculer les limites aux bornes

Aux bornes de $\mathbb{R}$, c'est-à-dire en $-\infty$ et $+\infty$ :
$\lim_{x \to -\infty} (x^2-2x) = \lim_{x \to -\infty} x^2(1 - \frac{2}{x}) = +\infty \times (1-0) = +\infty$.
Donc $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} e^{x^2-2x} = +\infty$.
$\lim_{x \to +\infty} (x^2-2x) = \lim_{x \to +\infty} x^2(1 - \frac{2}{x}) = +\infty \times (1-0) = +\infty$.
Donc $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} e^{x^2-2x} = +\infty$.
Calcul de la valeur en $x=1$ : $f(1) = e^{1^2-2×1} = e^{1-2} = e^{-1} = \frac{1}{e}$.

5. Construire le tableau de variations

$x$	$-\infty$	$1$	$+\infty$
Signe de $f'(x)$		$-$	$0$	$+$
Variations de $f(x)$	$+\infty$	$\searrow$	$\frac{1}{e}$	$\nearrow$	$+\infty$

La fonction $f$ est décroissante sur $]-\infty; 1]$ et croissante sur $[1; +\infty[$. Elle admet un minimum global en $x=1$, de valeur $f(1) = \frac{1}{e}$.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Oubli du signe de $f'(x)$

Oublier que le signe de $e^{f(x)}$ est toujours positif, et donc que le signe de $g'(x)$ dépend uniquement du signe de $f'(x)$.
Faire des erreurs de calcul lors de la dérivation de $f(x)$, ce qui entraîne une erreur sur $f'(x)$ et donc sur les variations.
Confondre les limites de $f(x)$ avec les limites de $e^{f(x)}$ (par exemple, si $f(x) \to 0$, $e^{f(x)} \to e^0 = 1$, et non $0$).
Ne pas justifier les étapes du calcul des limites, notamment pour les formes indéterminées ou les croissances comparées.

Exercice type BAC

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (2x-1)e^{-x}$.

Calculer la dérivée $f'(x)$ de la fonction $f$.
Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire le tableau de variations de $f$.
Déterminer les limites de $f(x)$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

Calcul de la dérivée $f'(x)$ :
La fonction $f$ est de la forme $u(x)v(x)$ avec $u(x) = 2x-1$ et $v(x) = e^{-x}$.
On a $u'(x) = 2$.
Pour $v(x) = e^{-x}$, on utilise la formule $(e^{g(x)})' = g'(x)e^{g(x)}$ avec $g(x) = -x$, d'où $g'(x) = -1$.
Donc $v'(x) = -e^{-x}$.
La formule de dérivation d'un produit est $(uv)' = u'v + uv'$.
Ainsi, $f'(x) = 2e^{-x} + (2x-1)(-e^{-x})$
$f'(x) = e^{-x}(2 - (2x-1))$
$f'(x) = e^{-x}(2 - 2x + 1)$
$f'(x) = e^{-x}(3 - 2x)$.
Étude du signe de $f'(x)$ et tableau de variations :
Puisque $e^{-x} > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, le signe de $f'(x)$ est le même que le signe de $3-2x$.
$3-2x = 0 \iff 2x = 3 \iff x = \frac{3}{2}$.
- Si $x < \frac{3}{2}$, alors $3-2x > 0$, donc $f'(x) > 0$. La fonction $f$ est croissante.
- Si $x > \frac{3}{2}$, alors $3-2x < 0$, donc $f'(x) < 0$. La fonction $f$ est décroissante.
Calcul de la valeur de $f(\frac{3}{2})$ :
$f(\frac{3}{2}) = (2 × \frac{3}{2} - 1)e^{-\frac{3}{2}} = (3-1)e^{-\frac{3}{2}} = 2e^{-\frac{3}{2}}$.
Tableau de variations :
$x$ $-\infty$ $\frac{3}{2}$ $+\infty$
Signe de $f'(x)$ $+$ $0$ $-$
Variations de $f(x)$ $-\infty$ $\nearrow$ $2e^{-\frac{3}{2}}$ $\searrow$ $0$
Détermination des limites de $f(x)$ :
En $-\infty$ :
$\lim_{x \to -\infty} (2x-1) = -\infty$.
$\lim_{x \to -\infty} e^{-x} = +\infty$ (car $\lim_{X \to +\infty} e^X = +\infty$ en posant $X=-x$).
Donc $\lim_{x \to -\infty} f(x) = (-\infty) × (+\infty) = -\infty$.
En $+\infty$ :
$f(x) = 2xe^{-x} - e^{-x}$.
On sait que $\lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0$.
Pour $2xe^{-x}$, c'est une forme indéterminée de type $$\infty × 0$$. On utilise la croissance comparée : $\lim_{x \to +\infty} xe^{-x} = 0$.
Donc $\lim_{x \to +\infty} 2xe^{-x} = 0$.
Par conséquent, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0 - 0 = 0$.

$x$	$-\infty$	$\frac{3}{2}$	$+\infty$
Signe de $f'(x)$		$+$	$0$	$-$
Variations de $f(x)$	$-\infty$	$\nearrow$	$2e^{-\frac{3}{2}}$	$\searrow$	$0$

Questions fréquentes

Pourquoi $e^{f(x)}$ est toujours positif ?

La fonction exponentielle $x \mapsto e^x$ est par définition toujours positive pour tout $x \in \mathbb{R}$. Donc, quelle que soit la valeur de $f(x)$, $e^{f(x)}$ sera toujours strictement supérieur à $0$. C'est une propriété fondamentale de la fonction exponentielle.

Comment dériver une fonction du type $e^{ax+b}$ ?

Pour dériver $e^{ax+b}$, on utilise la formule $(e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}$. Ici, $u(x) = ax+b$, donc $u'(x) = a$. La dérivée est donc $a e^{ax+b}$. Par exemple, $(e^{3x+2})' = 3e^{3x+2}$.

Quelles sont les limites à connaître pour les fonctions exponentielles ?

Les limites essentielles sont :

$\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$
$\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$
$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ (croissance comparée)
$\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ (croissance comparée)

Ces limites sont cruciales pour lever les formes indéterminées.

Peut-on avoir des asymptotes avec les fonctions $e^{f(x)}$ ?

Oui, tout à fait. Si $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$ (un réel), alors $\lim_{x \to \pm\infty} e^{f(x)} = e^L$. La droite d'équation $y = e^L$ est alors une asymptote horizontale. Si $\lim_{x \to a} f(x) = -\infty$, alors $\lim_{x \to a} e^{f(x)} = 0$. Si $f(x)$ tend vers une valeur finie $L$ quand $x$ tend vers $a$, alors $e^{f(x)}$ tend vers $e^L$. Les asymptotes verticales sont moins courantes pour $e^{f(x)}$ car $e^X$ ne tend pas vers $\pm\infty$ pour $X$ fini.

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