Résoudre une équation avec e^x – Fiche BAC Terminale Maths

Définition

Une équation avec $e^x$ est une équation où l'inconnue $x$ apparaît dans l'exposant de la fonction exponentielle, c'est-à-dire sous la forme $e^x$. La résolution de ces équations repose principalement sur la propriété fondamentale de la fonction exponentielle : pour tous réels $a$ et $b$, $e^a = e^b$ si et seulement si $a = b$, et sur la fonction logarithme népérien, réciproque de l'exponentielle, telle que $\ln(e^x) = x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ et $e^{\ln(x)} = x$ pour tout $x > 0$.

💡 Bon réflexe : Toujours vérifier la positivité de l'expression égale à $e^x$ avant d'appliquer le logarithme népérien.

Méthode — Résoudre une équation avec $e^x$

Étape 1 : Isoler l'expression $e^x$

L'objectif est de réécrire l'équation sous la forme $e^{f(x)} = k$ ou $e^{f(x)} = e^{g(x)}$, où $k$ est une constante réelle et $f(x)$, $g(x)$ sont des expressions de $x$. Pour cela, on utilise les propriétés algébriques classiques (addition, soustraction, multiplication, division) et les propriétés de la fonction exponentielle ($e^{a+b} = e^a e^b$, $e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$, $(e^a)^b = e^{ab}$). Si l'équation contient plusieurs termes en $e^x$, une substitution de type $X = e^x$ peut être utile pour la transformer en une équation polynomiale en $X$ (par exemple, $a(e^x)^2 + b e^x + c = 0$ devient $aX^2 + bX + c = 0$).

Étape 2 : Appliquer la fonction logarithme népérien

Une fois l'équation sous la forme $e^{f(x)} = k$ (avec $k > 0$) ou $e^{f(x)} = e^{g(x)}$ :

Si $e^{f(x)} = k$ et $k > 0$, on applique le logarithme népérien aux deux membres de l'équation : $\ln(e^{f(x)}) = \ln(k)$, ce qui simplifie en $f(x) = \ln(k)$.
Si $e^{f(x)} = k$ et $k \leq 0$, l'équation n'a pas de solution car la fonction exponentielle est strictement positive ($e^y > 0$ pour tout $y \in \mathbb{R}$).
Si $e^{f(x)} = e^{g(x)}$, on utilise la propriété d'injectivité de l'exponentielle : $f(x) = g(x)$.

Étape 3 : Résoudre l'équation obtenue

Après l'application du logarithme népérien ou de la propriété d'injectivité, on obtient une nouvelle équation, souvent linéaire, quadratique ou polynomiale, qu'il faut résoudre par les méthodes classiques. Par exemple, si on obtient $ax+b = c$, on résout pour $x$. Si on obtient une équation du second degré $AX^2 + BX + C = 0$ après substitution $X=e^x$, on résout pour $X$, puis on revient à $e^x = X$ pour trouver $x = \ln(X)$ (uniquement si $X > 0$). Il est crucial de vérifier que les solutions $X$ obtenues pour l'équation polynomiale sont strictement positives avant d'appliquer le logarithme.

Étape 4 : Vérifier les solutions (si nécessaire)

Bien que l'application du logarithme népérien soit une équivalence si les conditions de positivité sont respectées, il est toujours bon de vérifier les solutions obtenues, surtout si des transformations complexes ont été effectuées ou si le domaine de définition de l'équation initiale est restreint. Pour les équations avec $e^x$, il n'y a généralement pas de problème de domaine de définition pour $x$ lui-même, mais il faut s'assurer que les valeurs intermédiaires (comme $X = e^x$) sont valides.

Exemple résolu

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante : $2e^{2x} - 5e^x - 3 = 0$.

Étape 1 : Effectuer une substitution pour simplifier l'équation.

On observe que l'équation est de la forme $a(e^x)^2 + b e^x + c = 0$. On pose $X = e^x$. Puisque $e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, on doit avoir $X > 0$. L'équation devient alors une équation du second degré en $X$: $$2X^2 - 5X - 3 = 0$$

Étape 2 : Résoudre l'équation du second degré en $X$.

On calcule le discriminant $\Delta$ de l'équation $2X^2 - 5X - 3 = 0$.
$\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 × 2 × (-3) = 25 + 24 = 49$.
Puisque $\Delta > 0$, il y a deux solutions réelles pour $X$:
$X_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 × 2} = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.
$X_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 × 2} = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$.

Étape 3 : Revenir à la variable $x$ et résoudre pour $x$.

On rappelle que $X = e^x$ et que $X$ doit être strictement positif.

Pour $X_1 = -\frac{1}{2}$: Puisque $e^x$ doit être strictement positif, $e^x = -\frac{1}{2}$ n'a pas de solution réelle.
Pour $X_2 = 3$: On a $e^x = 3$. Pour trouver $x$, on applique la fonction logarithme népérien aux deux membres de l'équation : $\ln(e^x) = \ln(3)$.
D'où $x = \ln(3)$.

Étape 4 : Conclure.

L'unique solution de l'équation $2e^{2x} - 5e^x - 3 = 0$ est $x = \ln(3)$. On peut vérifier cette solution en la substituant dans l'équation originale :
$2e^{2\ln(3)} - 5e^{\ln(3)} - 3 = 2e^{\ln(3^2)} - 5 × 3 - 3 = 2 × 3^2 - 15 - 3 = 2 × 9 - 15 - 3 = 18 - 15 - 3 = 0$. La solution est correcte.

L'ensemble des solutions de l'équation $2e^{2x} - 5e^x - 3 = 0$ est $\mathcal{S} = \{ \ln(3) \}$.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Oubli de la condition de positivité

Oublier que $e^x$ est toujours strictement positif. Si après une substitution $X=e^x$, on trouve une solution $X \leq 0$, celle-ci ne conduit à aucune solution pour $x$.
Appliquer $\ln(k)$ alors que $k \leq 0$. La fonction $\ln$ n'est définie que pour des arguments strictement positifs.
Faire des erreurs de calcul avec les propriétés des puissances ou des logarithmes, par exemple confondre $e^{2x}$ et $(e^x)^2$ (ce sont les mêmes, mais une erreur de manipulation est possible) ou $\ln(a+b)$ et $\ln(a) + \ln(b)$ (qui sont différents).

Exercice type BAC

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^{2x} - 3e^x + 2$.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $f(x) = 0$.
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $f(x) > 2$.

Question 1 : Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $f(x) = 0$.

L'équation est $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$.

On pose $X = e^x$. Puisque $e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, on doit avoir $X > 0$.

L'équation devient $X^2 - 3X + 2 = 0$.

C'est une équation du second degré. On peut utiliser le discriminant ou remarquer que $1$ est une racine évidente ($1^2 - 3 × 1 + 2 = 0$).

Si $X=1$ est une racine, alors l'autre racine $X_2$ vérifie $X_1 × X_2 = \frac{c}{a}$, donc $1 × X_2 = \frac{2}{1} = 2$. Ainsi $X_2 = 2$.

Les solutions pour $X$ sont $X_1 = 1$ et $X_2 = 2$. Ces deux solutions sont strictement positives, donc elles sont valides pour $e^x$.

Pour $X_1 = 1$: $e^x = 1$. En appliquant le logarithme népérien, $\ln(e^x) = \ln(1)$, donc $x = 0$.
Pour $X_2 = 2$: $e^x = 2$. En appliquant le logarithme népérien, $\ln(e^x) = \ln(2)$, donc $x = \ln(2)$.

L'ensemble des solutions de l'équation $f(x) = 0$ est $\mathcal{S}_1 = \{0, \ln(2)\}$.

Question 2 : Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $f(x) > 2$.

L'inéquation est $e^{2x} - 3e^x + 2 > 2$.

On soustrait $2$ des deux côtés : $e^{2x} - 3e^x > 0$.

On factorise par $e^x$ (qui est toujours strictement positif) : $e^x(e^x - 3) > 0$.

Puisque $e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, le signe de l'expression $e^x(e^x - 3)$ est le même que le signe de $(e^x - 3)$.

On doit donc résoudre $e^x - 3 > 0$.

Ceci est équivalent à $e^x > 3$.

En appliquant la fonction logarithme népérien (qui est strictement croissante), on obtient : $\ln(e^x) > \ln(3)$.

D'où $x > \ln(3)$.

L'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x) > 2$ est $\mathcal{S}_2 = ]\ln(3), +\infty[$.

Questions fréquentes

Pourquoi $e^x$ est-il toujours positif ?

La fonction exponentielle $x \mapsto e^x$ est définie comme la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien, qui est définie sur $]\!0, +\infty\![$. Par définition, l'image de tout réel par la fonction exponentielle est un nombre strictement positif. Graphiquement, la courbe de $y=e^x$ est toujours au-dessus de l'axe des abscisses.

Quand faut-il utiliser la substitution $X = e^x$ ?

La substitution $X = e^x$ est particulièrement utile lorsque l'équation contient des termes de la forme $e^{ax}$ où $a$ est un multiple de l'exposant d'un autre terme en $e^x$. Par exemple, dans une équation comme $A e^{2x} + B e^x + C = 0$, on peut écrire $e^{2x} = (e^x)^2$, ce qui permet de transformer l'équation en un polynôme du second degré en $X = e^x$ : $AX^2 + BX + C = 0$.

Peut-on avoir des solutions négatives pour $x$ ?

Oui, absolument. Par exemple, si $e^x = 0.5$, alors $x = \ln(0.5) = -\ln(2)$, qui est un nombre négatif. La condition de positivité s'applique à la valeur de $e^x$ (qui doit être positive), pas à la valeur de $x$ elle-même.

Comment résoudre une équation du type $e^{f(x)} = k$ si $k$ est négatif ou nul ?

Si $k \leq 0$, l'équation $e^{f(x)} = k$ n'a aucune solution réelle. En effet, la fonction exponentielle prend toujours des valeurs strictement positives. Il n'existe aucun réel $y$ tel que $e^y \leq 0$.

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