Étude de fonctions du type ln(f(x)) – Fiche BAC Terminale Maths

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. La fonction composée $\ln(f(x))$ est définie si et seulement si $f(x) > 0$. Son ensemble de définition est l'ensemble des réels $x$ tels que $x \in I$ et $f(x) > 0$. Pour étudier cette fonction, on utilise les propriétés de la fonction logarithme népérien et les règles de dérivation des fonctions composées.

💡 Bon réflexe : Toujours commencer l'étude d'une fonction $\ln(f(x))$ par la détermination rigoureuse de son ensemble de définition en résolvant $f(x) > 0$.

Méthode — Étude de fonctions du type $\ln(f(x))$

1. Déterminer l'ensemble de définition

La fonction $\ln(f(x))$ est définie si et seulement si $f(x) > 0$. Il faut donc résoudre l'inéquation $f(x) > 0$ sur l'ensemble de définition de $f$. L'ensemble des solutions sera l'ensemble de définition de $\ln(f(x))$.

2. Calculer la dérivée

La dérivée de la fonction $\ln(u(x))$ est $u'(x)/u(x)$. Ainsi, la dérivée de $\ln(f(x))$ est $f'(x)/f(x)$. Il faut s'assurer que $f(x) \neq 0$ sur l'intervalle de dérivation, ce qui est garanti par la condition de définition $f(x) > 0$.

3. Étudier le signe de la dérivée et les variations

Le signe de $f'(x)/f(x)$ est le même que le signe de $f'(x)$ puisque $f(x) > 0$ sur l'ensemble de définition. On étudie donc le signe de $f'(x)$ pour en déduire les variations de $\ln(f(x))$. Si $f'(x) > 0$, $\ln(f(x))$ est croissante. Si $f'(x) < 0$, $\ln(f(x))$ est décroissante.

4. Calculer les limites aux bornes de l'ensemble de définition

Il faut calculer les limites de $\ln(f(x))$ lorsque $x$ tend vers les bornes de son ensemble de définition. On utilise les limites usuelles de la fonction $\ln$: $\lim_{X \to 0^+} \ln(X) = -\infty$ et $\lim_{X \to +\infty} \ln(X) = +\infty$. On applique ces limites à $f(x)$.

5. Dresser le tableau de variations

Récapituler toutes les informations (ensemble de définition, signe de la dérivée, variations, limites) dans un tableau de variations complet.

Exemple résolu

Soit la fonction $g$ définie par $g(x) = \ln(x^2 - x + 1)$. Étudier la fonction $g$ (ensemble de définition, dérivée, variations et limites aux bornes).

1. Déterminer l'ensemble de définition de $g$.

La fonction $g(x) = \ln(x^2 - x + 1)$ est définie si et seulement si $x^2 - x + 1 > 0$.
Le discriminant du trinôme $x^2 - x + 1$ est $\Delta = (-1)^2 - 4 × 1 × 1 = 1 - 4 = -3$.
Puisque $\Delta < 0$ et que le coefficient de $x^2$ est $1 > 0$, le trinôme $x^2 - x + 1$ est toujours positif pour tout $x \in \mathbb{R}$.
Donc, l'ensemble de définition de $g$ est $D_g = \mathbb{R}$.

2. Calculer la dérivée de $g$.

On pose $f(x) = x^2 - x + 1$. Alors $f'(x) = 2x - 1$.
La dérivée de $g(x) = \ln(f(x))$ est $g'(x) = \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{2x - 1}{x^2 - x + 1}$.
Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $x^2 - x + 1 > 0$, donc la dérivée est bien définie sur $\mathbb{R}$.

3. Étudier le signe de la dérivée et les variations de $g$.

Le signe de $g'(x)$ est le signe de son numérateur $2x - 1$ car le dénominateur $x^2 - x + 1$ est toujours positif.
$2x - 1 > 0 \iff 2x > 1 \iff x > 1/2$.
$2x - 1 < 0 \iff x < 1/2$.
$2x - 1 = 0 \iff x = 1/2$.
Donc, $g$ est décroissante sur $]-\infty; 1/2]$ et croissante sur $[1/2; +\infty[$.
Le minimum de $g$ est atteint en $x = 1/2$: $g(1/2) = \ln((1/2)^2 - 1/2 + 1) = \ln(1/4 - 1/2 + 1) = \ln(3/4)$.

4. Calculer les limites aux bornes de l'ensemble de définition.

Aux bornes de $D_g = \mathbb{R}$, c'est-à-dire en $-\infty$ et $+\infty$.
$\lim_{x \to +\infty} (x^2 - x + 1) = \lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty$.
Donc, $\lim_{x \to +\infty} g(x) = \lim_{X \to +\infty} \ln(X) = +\infty$.
$\lim_{x \to -\infty} (x^2 - x + 1) = \lim_{x \to -\infty} x^2 = +\infty$.
Donc, $\lim_{x \to -\infty} g(x) = \lim_{X \to +\infty} \ln(X) = +\infty$.

5. Dresser le tableau de variations.

$x$	$-\infty$	$1/2$	$+\infty$
Signe de $g'(x)$	$-$	$0$	$+$
Variations de $g(x)$	$+\infty$	$\searrow$	$\ln(3/4)$	$\nearrow$	$+\infty$

La fonction $g(x) = \ln(x^2 - x + 1)$ est définie sur $\mathbb{R}$. Elle est décroissante sur $]-\infty; 1/2]$ et croissante sur $[1/2; +\infty[$. Son minimum est $\ln(3/4)$ atteint en $x=1/2$. Ses limites en $-\infty$ et $+\infty$ sont $+\infty$.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Domaine de définition

Oublier de vérifier la condition $f(x) > 0$ avant de commencer l'étude, ce qui peut mener à un ensemble de définition incorrect et fausser toute l'étude.
Confondre le signe de $f(x)$ et le signe de $f'(x)$ lors de l'étude des variations. Le signe de la dérivée $f'(x)/f(x)$ dépend uniquement du signe de $f'(x)$ car $f(x)$ est strictement positive.
Ne pas calculer les limites aux bornes de l'ensemble de définition, en particulier lorsque $f(x)$ tend vers $0^+$.

Exercice type BAC

On considère la fonction $h$ définie sur $D_h$ par $h(x) = \ln\left(\frac{2x+1}{x-1}\right)$.

Déterminer l'ensemble de définition $D_h$ de la fonction $h$.
Calculer la dérivée $h'(x)$ de la fonction $h$ et étudier son signe.
En déduire le tableau de variations de $h$ en incluant les limites aux bornes de $D_h$.

Détermination de l'ensemble de définition $D_h$:
La fonction $h(x) = \ln\left(\frac{2x+1}{x-1}\right)$ est définie si et seulement si $\frac{2x+1}{x-1} > 0$ et $x-1 \neq 0$.
Étudions le signe de $\frac{2x+1}{x-1}$:
- $2x+1 > 0 \iff x > -1/2$
- $x-1 > 0 \iff x > 1$
Tableau de signes:
$x$ $-\infty$ $-1/2$ $1$ $+\infty$
$2x+1$ $-$ $0$ $+$ $+$
$x-1$ $-$ $-$ $0$ $+$
$\frac{2x+1}{x-1}$ $+$ $0$ $-$ $||$ $+$
L'expression $\frac{2x+1}{x-1}$ est strictement positive pour $x \in ]-\infty; -1/2[ \cup ]1; +\infty[$.
Donc, l'ensemble de définition de $h$ est $D_h = ]-\infty; -1/2[ \cup ]1; +\infty[$.
Calcul de la dérivée $h'(x)$ et étude de son signe:
On pose $f(x) = \frac{2x+1}{x-1}$. Alors $f'(x) = \frac{2(x-1) - (2x+1)×1}{(x-1)^2} = \frac{2x-2-2x-1}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2}$.
La dérivée de $h(x) = \ln(f(x))$ est $h'(x) = \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{\frac{-3}{(x-1)^2}}{\frac{2x+1}{x-1}} = \frac{-3}{(x-1)^2} × \frac{x-1}{2x+1} = \frac{-3}{(x-1)(2x+1)}$.
Pour étudier le signe de $h'(x)$, on utilise le fait que $(x-1)$ et $(2x+1)$ ont le même signe que dans le tableau précédent, mais on doit faire attention au signe négatif au numérateur.
Le dénominateur $(x-1)(2x+1)$ est positif sur $]-\infty; -1/2[$ et sur $]1; +\infty[$.
Puisque le numérateur est $-3$ (négatif), $h'(x)$ est toujours négatif sur $D_h$.
Tableau de variations de $h$ avec les limites:
Calcul des limites aux bornes de $D_h$:
- En $-\infty$: $\lim_{x \to -\infty} \frac{2x+1}{x-1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x}{x} = 2$.
  Donc, $\lim_{x \to -\infty} h(x) = \lim_{X \to 2} \ln(X) = \ln(2)$.
- En $-1/2^-$: $\lim_{x \to -1/2^-} (2x+1) = 0^-$. $\lim_{x \to -1/2^-} (x-1) = -3/2$.
  Donc, $\lim_{x \to -1/2^-} \frac{2x+1}{x-1} = \frac{0^-}{-3/2} = 0^+$.
  Donc, $\lim_{x \to -1/2^-} h(x) = \lim_{X \to 0^+} \ln(X) = -\infty$.
- En $1^+$: $\lim_{x \to 1^+} (2x+1) = 3$. $\lim_{x \to 1^+} (x-1) = 0^+$.
  Donc, $\lim_{x \to 1^+} \frac{2x+1}{x-1} = +\infty$.
  Donc, $\lim_{x \to 1^+} h(x) = \lim_{X \to +\infty} \ln(X) = +\infty$.
- En $+\infty$: $\lim_{x \to +\infty} \frac{2x+1}{x-1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{x} = 2$.
  Donc, $\lim_{x \to +\infty} h(x) = \lim_{X \to 2} \ln(X) = \ln(2)$.
Tableau de variations:
$x$ $-\infty$ $-1/2$ $1$ $+\infty$
Signe de $h'(x)$ $-$ $||$ $-$
Variations de $h(x)$ $\ln(2)$ $\searrow$ $-\infty$ $||$ $+\infty$ $\searrow$ $\ln(2)$

$x$	$-\infty$	$-1/2$	$1$	$+\infty$
$2x+1$	$-$	$0$	$+$	$+$
$x-1$	$-$	$-$	$0$	$+$
$\frac{2x+1}{x-1}$	$+$	$0$	$-$	$\|\|$	$+$

$x$	$-\infty$	$-1/2$	$1$	$+\infty$
Signe de $h'(x)$	$-$	$\|\|$	$-$
Variations de $h(x)$	$\ln(2)$	$\searrow$	$-\infty$	$\|\|$	$+\infty$	$\searrow$	$\ln(2)$

Questions fréquentes

Pourquoi la condition $f(x) > 0$ est-elle si importante ?

La fonction logarithme népérien $\ln(X)$ n'est définie que pour $X > 0$. Par conséquent, pour que $\ln(f(x))$ soit définie, il est impératif que l'argument de la fonction $\ln$, c'est-à-dire $f(x)$, soit strictement positif. Ignorer cette condition conduit à un ensemble de définition erroné et à des erreurs dans l'étude de la fonction.

Comment dériver $\ln(f(x))$ si $f(x)$ est une fonction complexe ?

La règle de dérivation reste la même : $(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$. Si $f(x)$ est complexe (par exemple, un quotient ou un produit), il faut d'abord calculer sa dérivée $f'(x)$ en utilisant les règles de dérivation appropriées (produit, quotient, chaîne). Ensuite, on forme la fraction $\frac{f'(x)}{f(x)}$. Par exemple, si $f(x) = e^{2x} + 1$, alors $f'(x) = 2e^{2x}$, et la dérivée de $\ln(e^{2x} + 1)$ est $\frac{2e^{2x}}{e^{2x} + 1}$.

Peut-on utiliser les propriétés du $\ln$ pour simplifier l'expression avant de dériver ?

Oui, absolument ! C'est souvent une excellente stratégie pour simplifier les calculs. Par exemple, si $h(x) = \ln\left(\frac{2x+1}{x-1}\right)$, on peut écrire $h(x) = \ln(2x+1) - \ln(x-1)$. La dérivée devient alors $h'(x) = \frac{2}{2x+1} - \frac{1}{x-1}$. En mettant au même dénominateur, on retrouve $\frac{2(x-1) - (2x+1)}{(2x+1)(x-1)} = \frac{2x-2-2x-1}{(2x+1)(x-1)} = \frac{-3}{(2x+1)(x-1)}$, ce qui est la même dérivée obtenue précédemment. Cette méthode est souvent moins sujette aux erreurs de calcul.

Comment gérer les limites lorsque $f(x)$ tend vers $0^+$ ?

Lorsque $f(x)$ tend vers $0^+$ (par exemple, si $f(x)$ est au numérateur d'une fraction qui s'annule en un point, ou si $f(x)$ est une fonction polynomiale qui s'annule en un point et reste positive autour de ce point), la limite de $\ln(f(x))$ sera $\lim_{X \to 0^+} \ln(X) = -\infty$. Cela indique généralement une asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction.

Pour aller plus loin

Vous bloquez sur ce chapitre ?

Adil accompagne les lycéens en Terminale Spécialité, en ligne ou à domicile dans le Val d'Oise. Résultats en 1 séance.

📞 Appeler Cours Terminale →