Les fonctions sin et cos sur ℝ : périodicité, parité, dérivées – Fiche BAC Terminale Maths

Q: Comment dériver une fonction du type $\sin^n(x)$ ou $\cos^n(x)$ ?

Pour dériver une fonction du type $u^n(x)$, on utilise la formule $(u^n(x))' = n × u'(x) × u^{n-1}(x)$.Par exemple, pour $f(x) = \sin^3(x)$, on a $u(x) = \sin(x)$ et $u'(x) = \cos(x)$.Donc $f'(x) = 3 × \cos(x) × \sin^2(x)$.De même, pour $g(x) = \cos^2(x)$, on a $u(x) = \cos(x)$ et $u'(x) = -\sin(x)$.Donc $g'(x) = 2 × (-\sin(x)) × \cos(x) = -2\sin(x)\cos(x) = -\sin(2x)$.

Q: Quelle est la différence entre périodicité et parité ?

La périodicité décrit la répétition d'une fonction après un certain intervalle. Une fonction $f$ est $T$-périodique si $f(x+T) = f(x)$ pour tout $x$. Graphiquement, la courbe se reproduit par translation.La parité décrit une symétrie de la fonction. Une fonction est paire si $f(-x) = f(x)$ (symétrie par rapport à l'axe des ordonnées) et impaire si $f(-x) = -f(x)$ (symétrie par rapport à l'origine). Ces deux propriétés sont distinctes et peuvent être combinées ou non.

Q: Comment trouver les valeurs remarquables de $\sin$ et $\cos$ ?

Les valeurs remarquables sont souvent mémorisées ou retrouvées à l'aide du cercle trigonométrique. Les angles les plus courants sont $0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}, \pi$.Par exemple :$\sin(0) = 0$, $\cos(0) = 1$$\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$$\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$$\sin(\pi) = 0$, $\cos(\pi) = -1$

Q: Pourquoi les fonctions trigonométriques sont-elles importantes en Terminale Spécialité ?

Les fonctions trigonométriques sont essentielles car elles modélisent de nombreux phénomènes périodiques en physique (ondes, oscillations, courants alternatifs), en biologie (cycles biologiques) ou en ingénierie (signaux). Leur étude permet de comprendre et d'analyser ces phénomènes, notamment via la dérivation pour étudier les vitesses de variation ou les points d'inflexion, et l'intégration pour calculer des aires ou des moyennes.

Définition

Les fonctions sinus et cosinus sont des fonctions trigonométriques définies sur $\mathbb{R}$.

La fonction sinus, notée $\sin$, associe à tout réel $x$ la valeur $\sin(x)$, qui est l'ordonnée du point $M$ sur le cercle trigonométrique associé à l'angle $x$ radians.
La fonction cosinus, notée $\cos$, associe à tout réel $x$ la valeur $\cos(x)$, qui est l'abscisse du point $M$ sur le cercle trigonométrique associé à l'angle $x$ radians.

Ces fonctions sont fondamentales pour l'étude des phénomènes périodiques.

💡 Bon réflexe : Toujours vérifier les signes et les coefficients lors de la dérivation des fonctions trigonométriques composées.

Méthode — Les fonctions $\sin$ et $\cos$ sur $\mathbb{R}$ : périodicité, parité, dérivées

1. Étudier la périodicité

Les fonctions $\sin$ et $\cos$ sont $2\pi$-périodiques. Cela signifie que pour tout réel $x$, $\sin(x + 2\pi) = \sin(x)$ et $\cos(x + 2\pi) = \cos(x)$. Cette propriété permet de restreindre l'étude de ces fonctions à un intervalle de longueur $2\pi$, par exemple $[0, 2\pi]$ ou $[-\pi, \pi]$. Pour une fonction $f(ax+b)$, la période est $T = \frac{2\pi}{|a|}$.

2. Étudier la parité

La fonction $\sin$ est impaire, c'est-à-dire que pour tout réel $x$, $\sin(-x) = -\sin(x)$. Sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine du repère. La fonction $\cos$ est paire, c'est-à-dire que pour tout réel $x$, $\cos(-x) = \cos(x)$. Sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

3. Calculer les dérivées

Les fonctions $\sin$ et $\cos$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$. Pour tout réel $x$ :

La dérivée de $\sin(x)$ est $\cos(x)$. On note $(\sin)'(x) = \cos(x)$.
La dérivée de $\cos(x)$ est $-\sin(x)$. On note $(\cos)'(x) = -\sin(x)$.

Pour des fonctions composées, on utilise la règle de dérivation en chaîne : $(f(u(x)))' = u'(x)f'(u(x))$. Par exemple, $(\sin(ax+b))' = a\cos(ax+b)$ et $(\cos(ax+b))' = -a\sin(ax+b)$.

4. Déterminer les variations et tracer la courbe

À partir des dérivées, on peut étudier le signe de la dérivée pour déterminer les intervalles où la fonction est croissante ou décroissante. Les valeurs remarquables ($\sin(0)$, $\cos(0)$, $\sin(\pi/2)$, $\cos(\pi/2)$, etc.) sont essentielles pour tracer les courbes représentatives, appelées sinusoïdes.

Exemple résolu

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2\sin(3x - \frac{\pi}{4})$. Étudier sa périodicité, sa parité (si possible sur un intervalle restreint) et calculer sa dérivée.

1. Étude de la périodicité

La fonction est de la forme $A\sin(ax+b)$ avec $a=3$. La période $T$ est donnée par la formule $T = \frac{2\pi}{|a|}$. Donc, $T = \frac{2\pi}{3}$. La fonction $f$ est $\frac{2\pi}{3}$-périodique.

2. Étude de la parité

Calculons $f(-x) = 2\sin(3(-x) - \frac{\pi}{4}) = 2\sin(-3x - \frac{\pi}{4})$.
On ne peut pas directement simplifier $f(-x)$ en fonction de $f(x)$ ou $-f(x)$ à cause du terme constant $-\frac{\pi}{4}$ à l'intérieur du sinus. La fonction $f$ n'est ni paire ni impaire sur $\mathbb{R}$ en général. Cependant, on peut étudier sa symétrie par rapport à un point ou un axe si nécessaire, mais ce n'est pas une parité simple.

3. Calcul de la dérivée

La fonction $f(x)$ est de la forme $2\sin(u(x))$ où $u(x) = 3x - \frac{\pi}{4}$.
La dérivée de $u(x)$ est $u'(x) = 3$.
La dérivée de $\sin(u)$ est $u'\cos(u)$.
Donc, $f'(x) = 2 × (3\cos(3x - \frac{\pi}{4})) = 6\cos(3x - \frac{\pi}{4})$.
La dérivée de $f$ est $f'(x) = 6\cos(3x - \frac{\pi}{4})$.

La fonction $f(x) = 2\sin(3x - \frac{\pi}{4})$ est $\frac{2\pi}{3}$-périodique, n'est ni paire ni impaire, et sa dérivée est $f'(x) = 6\cos(3x - \frac{\pi}{4})$.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Erreurs de signe et de coefficient

Oublier le signe 'moins' lors de la dérivation de $\cos(x)$ : $(\cos)'(x) = -\sin(x)$, pas $\sin(x)$.
Oublier le coefficient $a$ lors de la dérivation d'une fonction composée comme $\sin(ax+b)$ ou $\cos(ax+b)$. La dérivée de $\sin(ax+b)$ est $a\cos(ax+b)$, pas seulement $\cos(ax+b)$.
Confondre la parité des fonctions $\sin$ et $\cos$ : $\sin$ est impaire, $\cos$ est paire.
Utiliser des degrés au lieu de radians dans les calculs de dérivées ou de périodes. En mathématiques, les angles sont toujours en radians par défaut pour les fonctions trigonométriques.

Exercice type BAC

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \cos(2x) - 2\sin(x) + 1$.

Montrer que la fonction $f$ est $2\pi$-périodique.
Calculer la dérivée $f'(x)$ de la fonction $f$.
Étudier les variations de $f$ sur l'intervalle $[0, \pi]$ en utilisant le fait que $f'(x) = -2\sin(x)(2\cos(x)+1)$.

Périodicité :
Pour montrer que $f$ est $2\pi$-périodique, nous devons vérifier que $f(x + 2\pi) = f(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
On a :
$$f(x + 2\pi) = \cos(2(x + 2\pi)) - 2\sin(x + 2\pi) + 1$$
On sait que $\cos(u)$ est $2\pi$-périodique, donc $\cos(2x + 4\pi) = \cos(2x)$.
On sait que $\sin(u)$ est $2\pi$-périodique, donc $\sin(x + 2\pi) = \sin(x)$.
Ainsi :
$$f(x + 2\pi) = \cos(2x) - 2\sin(x) + 1 = f(x)$$
La fonction $f$ est bien $2\pi$-périodique.
Calcul de la dérivée $f'(x)$ :
La fonction $f(x) = \cos(2x) - 2\sin(x) + 1$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme somme de fonctions dérivables.
- La dérivée de $\cos(2x)$ est $-2\sin(2x)$ (en utilisant la règle $(\cos(ax+b))' = -a\sin(ax+b)$).
- La dérivée de $-2\sin(x)$ est $-2\cos(x)$.
- La dérivée de $1$ est $0$.
Donc, $f'(x) = -2\sin(2x) - 2\cos(x)$.
En utilisant la formule de duplication $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$, on obtient :
$$f'(x) = -2(2\sin(x)\cos(x)) - 2\cos(x)$$
$$f'(x) = -4\sin(x)\cos(x) - 2\cos(x)$$
On peut factoriser par $-2\cos(x)$ :
$$f'(x) = -2\cos(x)(2\sin(x) + 1)$$
Étude des variations de $f$ sur $[0, \pi]$ :
On nous donne $f'(x) = -2\sin(x)(2\cos(x)+1)$. Nous devons étudier le signe de $f'(x)$ sur $[0, \pi]$.
- Signe de $-2\sin(x)$ : Sur l'intervalle $[0, \pi]$, $\sin(x) \geq 0$. Donc, $-2\sin(x) \leq 0$. Le terme $-2\sin(x)$ est nul pour $x=0$ et $x=\pi$.
- Signe de $2\cos(x)+1$ :
  On cherche quand $2\cos(x)+1 > 0$, $2\cos(x)+1 = 0$ ou $2\cos(x)+1 < 0$.
  $2\cos(x)+1 = 0 \iff \cos(x) = -\frac{1}{2}$. Sur $[0, \pi]$, cette équation a une unique solution $x = \frac{2\pi}{3}$.
  Si $x \in [0, \frac{2\pi}{3}[$, alors $\cos(x) > -\frac{1}{2}$, donc $2\cos(x)+1 > 0$.
  Si $x \in ]\frac{2\pi}{3}, \pi]$, alors $\cos(x) < -\frac{1}{2}$, donc $2\cos(x)+1 < 0$.
Tableau de signes de $f'(x)$ sur $[0, \pi]$ :
| $x$ | $0$ | $\frac{2\pi}{3}$ | $\pi$ |
|---|---|---|---|
| $-2\sin(x)$ | $0$ | $-$ | $0$ |
| $2\cos(x)+1$ | $+$ | $0$ | $-$ |
| $f'(x)$ | $0$ | $+$ | $0$ |
En déduire les variations de $f$ :
- Sur $[0, \frac{2\pi}{3}]$, $f'(x) \geq 0$, donc $f$ est croissante.
- Sur $[rac{2\pi}{3}, \pi]$, $f'(x) \leq 0$, donc $f$ est décroissante.
Calcul des valeurs aux bornes et au point critique :
- $f(0) = \cos(0) - 2\sin(0) + 1 = 1 - 0 + 1 = 2$.
- $f(\frac{2\pi}{3}) = \cos(2 × \frac{2\pi}{3}) - 2\sin(\frac{2\pi}{3}) + 1 = \cos(\frac{4\pi}{3}) - 2\sin(\frac{2\pi}{3}) + 1 = -\frac{1}{2} - 2 × \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 = -\frac{1}{2} - \sqrt{3} + 1 = \frac{1}{2} - \sqrt{3}$.
- $f(\pi) = \cos(2\pi) - 2\sin(\pi) + 1 = 1 - 0 + 1 = 2$.
Tableau de variations de $f$ sur $[0, \pi]$ :
| $x$ | $0$ | $\frac{2\pi}{3}$ | $\pi$ |
|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $0$ | $+$ | $0$ |
| $f(x)$ | $2$ | $\nearrow$ | $\frac{1}{2} - \sqrt{3}$ | $\searrow$ | $2$ |

Questions fréquentes

Comment dériver une fonction du type $\sin^n(x)$ ou $\cos^n(x)$ ?

Pour dériver une fonction du type $u^n(x)$, on utilise la formule $(u^n(x))' = n × u'(x) × u^{n-1}(x)$.
Par exemple, pour $f(x) = \sin^3(x)$, on a $u(x) = \sin(x)$ et $u'(x) = \cos(x)$.
Donc $f'(x) = 3 × \cos(x) × \sin^2(x)$.
De même, pour $g(x) = \cos^2(x)$, on a $u(x) = \cos(x)$ et $u'(x) = -\sin(x)$.
Donc $g'(x) = 2 × (-\sin(x)) × \cos(x) = -2\sin(x)\cos(x) = -\sin(2x)$.

Quelle est la différence entre périodicité et parité ?

La périodicité décrit la répétition d'une fonction après un certain intervalle. Une fonction $f$ est $T$-périodique si $f(x+T) = f(x)$ pour tout $x$. Graphiquement, la courbe se reproduit par translation.
La parité décrit une symétrie de la fonction. Une fonction est paire si $f(-x) = f(x)$ (symétrie par rapport à l'axe des ordonnées) et impaire si $f(-x) = -f(x)$ (symétrie par rapport à l'origine). Ces deux propriétés sont distinctes et peuvent être combinées ou non.

Comment trouver les valeurs remarquables de $\sin$ et $\cos$ ?

Les valeurs remarquables sont souvent mémorisées ou retrouvées à l'aide du cercle trigonométrique. Les angles les plus courants sont $0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}, \pi$.
Par exemple :
$\sin(0) = 0$, $\cos(0) = 1$
$\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$
$\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$
$\sin(\pi) = 0$, $\cos(\pi) = -1$

Pourquoi les fonctions trigonométriques sont-elles importantes en Terminale Spécialité ?

Les fonctions trigonométriques sont essentielles car elles modélisent de nombreux phénomènes périodiques en physique (ondes, oscillations, courants alternatifs), en biologie (cycles biologiques) ou en ingénierie (signaux). Leur étude permet de comprendre et d'analyser ces phénomènes, notamment via la dérivation pour étudier les vitesses de variation ou les points d'inflexion, et l'intégration pour calculer des aires ou des moyennes.

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