Résoudre sin(x) = a et cos(x) = a sur ℝ – Fiche BAC Terminale Maths

Définition

Les équations trigonométriques $ \sin(x) = a $ et $ \cos(x) = a $ sont des équations fondamentales où $ x $ est l'inconnue réelle et $ a $ est un nombre réel donné. Leur résolution consiste à trouver toutes les valeurs de $ x $ qui vérifient l'égalité, en utilisant les propriétés de périodicité et de symétrie des fonctions sinus et cosinus sur le cercle trigonométrique.

💡 Bon réflexe : Toujours vérifier si $ a \in [-1; 1] $ avant de commencer la résolution et ne jamais oublier la périodicité $ 2k\pi $ (ou $ k\pi $ pour la tangente) et les deux familles de solutions pour sinus et cosinus.

Méthode — Résoudre $\sin(x) = a$ et $\cos(x) = a$ sur $\mathbb{R}$

Étape 1 : Vérifier l'existence de solutions

Pour que les équations $ \sin(x) = a $ ou $ \cos(x) = a $ admettent des solutions réelles, il est impératif que le réel $ a $ appartienne à l'intervalle $ [-1; 1] $. En effet, les fonctions sinus et cosinus ont pour ensemble image l'intervalle $ [-1; 1] $. Si $ a < -1 $ ou $ a > 1 $, l'équation n'admet aucune solution.

Étape 2 : Trouver une solution particulière

Si $ a \in [-1; 1] $, il existe au moins une valeur $ \alpha $ telle que $ \sin(\alpha) = a $ ou $ \cos(\alpha) = a $. Cette valeur $ \alpha $ est souvent une valeur remarquable (par exemple $ \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, 0, \frac{\pi}{2}, \pi $) ou peut être exprimée à l'aide des fonctions réciproques $ \arcsin(a) $ ou $ \arccos(a) $. Par convention, $ \arcsin(a) \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] $ et $ \arccos(a) \in [0; \pi] $.

Étape 3 : Utiliser les propriétés de symétrie et de périodicité

Pour $ \cos(x) = \cos(\alpha) $: Les solutions sont de la forme $ x = \alpha + 2k\pi $ ou $ x = -\alpha + 2k\pi $, où $ k \in \mathbb{Z} $.
Pour $ \sin(x) = \sin(\alpha) $: Les solutions sont de la forme $ x = \alpha + 2k\pi $ ou $ x = \pi - \alpha + 2k\pi $, où $ k \in \mathbb{Z} $.

Ces formules prennent en compte la périodicité $ 2\pi $ des fonctions sinus et cosinus, ainsi que les symétries sur le cercle trigonométrique.

Étape 4 : Spécifier les solutions sur un intervalle donné (si demandé)

Si l'exercice demande les solutions sur un intervalle spécifique (par exemple $ [0; 2\pi] $ ou $ [-\pi; \pi] $), il faut déterminer les valeurs de $ k \in \mathbb{Z} $ pour lesquelles les solutions trouvées à l'étape 3 appartiennent à cet intervalle. Cela implique souvent de résoudre des inéquations simples en $ k $.

Exemple résolu

Résoudre l'équation $ 2\cos(x) - 1 = 0 $ sur $ \mathbb{R} $, puis sur l'intervalle $ [-\pi; \pi] $.

Mettre l'équation sous la forme $ \cos(x) = a $

L'équation $ 2\cos(x) - 1 = 0 $ peut être réécrite comme $ 2\cos(x) = 1 $, ce qui donne $ \cos(x) = \frac{1}{2} $.

Vérifier l'existence de solutions et trouver une solution particulière

Puisque $ \frac{1}{2} \in [-1; 1] $, des solutions existent. On sait que $ \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} $. Donc, une solution particulière est $ \alpha = \frac{\pi}{3} $.

Appliquer les formules générales pour $ \cos(x) = \cos(\alpha) $

Les solutions générales sur $ \mathbb{R} $ sont données par $ x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi $ ou $ x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi $, où $ k \in \mathbb{Z} $.

Déterminer les solutions sur l'intervalle $ [-\pi; \pi] $

Pour $ x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi $: On résout $ -\pi \leq \frac{\pi}{3} + 2k\pi \leq \pi $.
$ -1 \leq \frac{1}{3} + 2k \leq 1 $
$ -1 - \frac{1}{3} \leq 2k \leq 1 - \frac{1}{3} $
$ -\frac{4}{3} \leq 2k \leq \frac{2}{3} $
$ -\frac{2}{3} \leq k \leq \frac{1}{3} $. Le seul entier $ k $ possible est $ k = 0 $. Cela donne $ x = \frac{\pi}{3} $.
Pour $ x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi $: On résout $ -\pi \leq -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \leq \pi $.
$ -1 \leq -\frac{1}{3} + 2k \leq 1 $
$ -1 + \frac{1}{3} \leq 2k \leq 1 + \frac{1}{3} $
$ -\frac{2}{3} \leq 2k \leq \frac{4}{3} $
$ -\frac{1}{3} \leq k \leq \frac{2}{3} $. Le seul entier $ k $ possible est $ k = 0 $. Cela donne $ x = -\frac{\pi}{3} $.

Les solutions de $ 2\cos(x) - 1 = 0 $ sur $ \mathbb{R} $ sont $ S_{\mathbb{R}} = \left\{ \frac{\pi}{3} + 2k\pi, -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\} $. Sur l'intervalle $ [-\pi; \pi] $, les solutions sont $ S_{[-\pi; \pi]} = \left\{ -\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3} \right\} $.

⚠️ Oubli des deux familles de solutions ou de la périodicité

Oublier la deuxième famille de solutions (par exemple, pour $ \cos(x) = \cos(\alpha) $, ne considérer que $ x = \alpha + 2k\pi $ et oublier $ x = -\alpha + 2k\pi $).
Oublier d'ajouter $ + 2k\pi $ (ou $ + k\pi $ pour $ \tan(x) = a $) aux solutions, ce qui signifie ne pas prendre en compte la périodicité des fonctions trigonométriques.
Ne pas vérifier si $ a \in [-1; 1] $ avant de chercher des solutions, conduisant à des tentatives de résolution pour des équations sans solution.
Confondre les formules de résolution entre $ \sin(x) = a $ et $ \cos(x) = a $ (par exemple, utiliser $ \pi - \alpha $ pour le cosinus ou $ -\alpha $ pour le sinus).

Exercice type BAC

On considère l'équation trigonométrique $ 2\sin(x) + \sqrt{3} = 0 $.

Résoudre cette équation sur $ \mathbb{R} $.
Donner les solutions de cette équation appartenant à l'intervalle $ [0; 2\pi] $.
Représenter ces solutions sur le cercle trigonométrique.

Résolution sur $ \mathbb{R} $:
L'équation est $ 2\sin(x) + \sqrt{3} = 0 $. On la réécrit sous la forme $ \sin(x) = a $ :
$ 2\sin(x) = -\sqrt{3} $
$ \sin(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $
Puisque $ -\frac{\sqrt{3}}{2} \in [-1; 1] $, des solutions existent. On sait que $ \sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $ (ou $ \sin(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $). Prenons $ \alpha = -\frac{\pi}{3} $.
Les solutions générales pour $ \sin(x) = \sin(\alpha) $ sont :
- $ x = \alpha + 2k\pi \implies x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi $, où $ k \in \mathbb{Z} $.
- $ x = \pi - \alpha + 2k\pi \implies x = \pi - (-\frac{\pi}{3}) + 2k\pi \implies x = \pi + \frac{\pi}{3} + 2k\pi \implies x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi $, où $ k \in \mathbb{Z} $.
L'ensemble des solutions sur $ \mathbb{R} $ est $ S_{\mathbb{R}} = \left\{ -\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\} $.
Solutions sur l'intervalle $ [0; 2\pi] $:
- Pour la première famille de solutions, $ x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi $:
  On cherche $ k \in \mathbb{Z} $ tel que $ 0 \leq -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \leq 2\pi $.
  $ 0 \leq -\frac{1}{3} + 2k \leq 2 $
  $ \frac{1}{3} \leq 2k \leq 2 + \frac{1}{3} $
  $ \frac{1}{3} \leq 2k \leq \frac{7}{3} $
  $ \frac{1}{6} \leq k \leq \frac{7}{6} $.
  Le seul entier $ k $ possible est $ k = 1 $. Pour $ k=1 $, $ x = -\frac{\pi}{3} + 2(1)\pi = -\frac{\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} $.
- Pour la deuxième famille de solutions, $ x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi $:
  On cherche $ k \in \mathbb{Z} $ tel que $ 0 \leq \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \leq 2\pi $.
  $ 0 \leq \frac{4}{3} + 2k \leq 2 $
  $ -\frac{4}{3} \leq 2k \leq 2 - \frac{4}{3} $
  $ -\frac{4}{3} \leq 2k \leq \frac{2}{3} $
  $ -\frac{2}{3} \leq k \leq \frac{1}{3} $.
  Le seul entier $ k $ possible est $ k = 0 $. Pour $ k=0 $, $ x = \frac{4\pi}{3} + 2(0)\pi = \frac{4\pi}{3} $.
L'ensemble des solutions sur $ [0; 2\pi] $ est $ S_{[0; 2\pi]} = \left\{ \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} \right\} $.
Représentation sur le cercle trigonométrique :
Les points correspondants aux solutions $ \frac{4\pi}{3} $ et $ \frac{5\pi}{3} $ sont situés sur le cercle trigonométrique. Ces deux angles ont pour sinus $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Le point $ M_1 $ d'affixe $ e^{i\frac{4\pi}{3}} $ est dans le troisième quadrant.
Le point $ M_2 $ d'affixe $ e^{i\frac{5\pi}{3}} $ est dans le quatrième quadrant.
Ces deux points sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées (axe des sinus) ou par rapport à l'origine si on considère les angles $ -\frac{\pi}{3} $ et $ \frac{4\pi}{3} $.
(Une représentation graphique du cercle trigonométrique avec les points marqués serait idéale ici, mais ne peut être générée en texte.)

Questions fréquentes

Pourquoi y a-t-il toujours deux familles de solutions pour $ \sin(x)=a $ ou $ \cos(x)=a $ ?

Cela est dû aux symétries du cercle trigonométrique. Pour une valeur $ a $ donnée (avec $ a \in ]-1; 1[ $), il y a généralement deux angles distincts dans l'intervalle $ [0; 2\pi[ $ (ou $ [-\pi; \pi[ $) qui ont la même valeur de sinus ou de cosinus. Par exemple, $ \cos(\alpha) = \cos(-\alpha) $ et $ \sin(\alpha) = \sin(\pi - \alpha) $. La périodicité $ 2\pi $ permet ensuite de généraliser ces solutions à $ \mathbb{R} $.

Comment choisir entre $ \arcsin(a) $ et une valeur remarquable pour $ \alpha $ ?

Si $ a $ est une valeur remarquable (comme $ \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0, 1, -1 $), il est préférable d'utiliser l'angle remarquable correspondant (par exemple $ \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, 0, \frac{\pi}{2}, \pi $) car cela simplifie les calculs. Si $ a $ n'est pas une valeur remarquable, on utilise $ \arcsin(a) $ ou $ \arccos(a) $. Par exemple, pour $ \sin(x) = 0.3 $, on prend $ \alpha = \arcsin(0.3) $.

Que se passe-t-il si $ a = 1 $ ou $ a = -1 $ pour $ \sin(x)=a $ ou $ \cos(x)=a $ ?

Dans ces cas particuliers, il n'y a qu'une seule famille de solutions. Par exemple, pour $ \cos(x) = 1 $, la seule solution sur $ [0; 2\pi[ $ est $ x = 0 $. Donc les solutions générales sont $ x = 0 + 2k\pi = 2k\pi $. De même, pour $ \sin(x) = 1 $, la seule solution sur $ [0; 2\pi[ $ est $ x = \frac{\pi}{2} $, donc les solutions générales sont $ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi $. Les formules générales fonctionnent toujours, mais une des familles de solutions se superpose à l'autre.

Est-ce que $ \tan(x) = a $ se résout de la même manière ?

Non, la résolution de $ \tan(x) = a $ est plus simple. La fonction tangente est périodique de période $ \pi $. Si $ \tan(x) = \tan(\alpha) $, alors les solutions sont de la forme $ x = \alpha + k\pi $, où $ k \in \mathbb{Z} $. Il n'y a qu'une seule famille de solutions, et la condition d'existence est que $ x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi $.

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