Définition
L'intersection d'une droite et d'un plan dans l'espace peut être un point unique, la droite elle-même (si la droite est incluse dans le plan) ou l'ensemble vide (si la droite est strictement parallèle au plan). La méthode algébrique consiste à substituer les coordonnées paramétriques de la droite dans l'équation cartésienne du plan pour déterminer la nature de cette intersection.
Méthode — Intersection d'une droite et d'un plan : méthode
Étape 1 : Écrire les équations de la droite et du plan
On dispose d'une droite $D$ définie par une représentation paramétrique : $$D: \begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$$ où $(x_0, y_0, z_0)$ est un point de la droite et $(a, b, c)$ est un vecteur directeur. On dispose également d'un plan $P$ défini par une équation cartésienne : $$P: Ax + By + Cz + D = 0$$ où $(A, B, C)$ est un vecteur normal au plan.
Étape 2 : Substituer les coordonnées de la droite dans l'équation du plan
On remplace $x$, $y$, $z$ de la représentation paramétrique de la droite $D$ dans l'équation cartésienne du plan $P$. Cela conduit à une équation du premier degré en $t$: $$A(x_0 + at) + B(y_0 + bt) + C(z_0 + ct) + D = 0$$
Étape 3 : Résoudre l'équation en $t$ et interpréter le résultat
On développe et on regroupe les termes pour obtenir une équation de la forme $Et + F = 0$. Trois cas sont possibles :
- Si l'équation a une solution unique pour $t$ (c'est-à-dire $E \neq 0$), alors la droite et le plan se coupent en un unique point. On substitue cette valeur de $t$ dans la représentation paramétrique de la droite pour trouver les coordonnées du point d'intersection.
- Si l'équation est vérifiée pour tout $t$ (c'est-à-dire $E = 0$ et $F = 0$), alors la droite est incluse dans le plan. L'intersection est la droite elle-même.
- Si l'équation n'a pas de solution (c'est-à-dire $E = 0$ et $F \neq 0$), alors la droite est strictement parallèle au plan. L'intersection est l'ensemble vide.
Étape 4 : Conclure sur la nature de l'intersection
En fonction du cas identifié à l'étape 3, on énonce clairement la nature de l'intersection (point, droite ou ensemble vide) et, si c'est un point, on donne ses coordonnées.
Exemple résolu
On considère la droite $D$ et le plan $P$ définis par :
$$D: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -1 + t \\ z = 3 - t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$$
$$P: 3x - 2y + z - 4 = 0$$
Déterminer la nature et les coordonnées de l'intersection de la droite $D$ et du plan $P$.
L'intersection de la droite $D$ et du plan $P$ est le point $I\left(-\frac{5}{3}; -\frac{7}{3}; \frac{13}{3}\right)$.
⚠️ Piège fréquent au BAC — Oubli de l'interprétation
- Ne pas interpréter le résultat de l'équation en $t$. Une valeur unique de $t$ signifie un point, une équation toujours vraie signifie que la droite est dans le plan, et une équation impossible signifie que la droite est parallèle au plan.
- Faire des erreurs de calcul lors de la substitution ou de la résolution de l'équation en $t$.
- Oublier de calculer les coordonnées du point d'intersection après avoir trouvé la valeur de $t$.
Exercice type BAC
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère :
- Le plan $P$ d'équation cartésienne $2x - y + 3z - 1 = 0$.
- La droite $D$ passant par le point $A(1; 0; -1)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(2; 1; 0)$.
Donner une représentation paramétrique de la droite $D$.
Déterminer la nature de l'intersection de la droite $D$ et du plan $P$. Si l'intersection est un point, donner ses coordonnées.
On considère un autre plan $P'$ d'équation $4x - 2y + 6z + 5 = 0$. La droite $D$ est-elle incluse dans le plan $P'$ ? Justifier votre réponse.
La droite $D$ passe par le point $A(1; 0; -1)$ et a pour vecteur directeur $\vec{u}(2; 1; 0)$. Une représentation paramétrique de $D$ est donc :
$$D: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 0 + 1t \\ z = -1 + 0t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$$Soit :
$$D: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = t \\ z = -1 \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$$Pour déterminer l'intersection de $D$ et $P$, on substitue les expressions de $x$, $y$, $z$ de la droite $D$ dans l'équation du plan $P: 2x - y + 3z - 1 = 0$.
On a :
$$2(1 + 2t) - (t) + 3(-1) - 1 = 0$$$$2 + 4t - t - 3 - 1 = 0$$$$3t - 2 = 0$$$$3t = 2$$$$t = \frac{2}{3}$$L'équation a une solution unique $t = \frac{2}{3}$. La droite $D$ et le plan $P$ se coupent donc en un unique point. Calculons les coordonnées de ce point $I$ en remplaçant $t = \frac{2}{3}$ dans la représentation paramétrique de $D$ :
$$x_I = 1 + 2\left(\frac{2}{3}\right) = 1 + \frac{4}{3} = \frac{3+4}{3} = \frac{7}{3}$$$$y_I = \frac{2}{3}$$$$z_I = -1$$L'intersection de la droite $D$ et du plan $P$ est le point $I\left(\frac{7}{3}; \frac{2}{3}; -1\right)$.
Pour savoir si la droite $D$ est incluse dans le plan $P'$, d'équation $4x - 2y + 6z + 5 = 0$, on substitue les expressions de $x$, $y$, $z$ de la droite $D$ dans l'équation de $P'$.
On a :
$$4(1 + 2t) - 2(t) + 6(-1) + 5 = 0$$$$4 + 8t - 2t - 6 + 5 = 0$$$$6t + 3 = 0$$$$6t = -3$$$$t = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}$$L'équation a une solution unique $t = -\frac{1}{2}$. Cela signifie que la droite $D$ coupe le plan $P'$ en un unique point. Par conséquent, la droite $D$ n'est pas incluse dans le plan $P'$. Si elle était incluse, l'équation aurait été vérifiée pour tout $t \in \mathbb{R}$.
Questions fréquentes
Comment savoir si une droite est parallèle à un plan ?
Que se passe-t-il si l'équation en $t$ est $0 = 0$ ?
Que se passe-t-il si l'équation en $t$ est $0 = k$ avec $k \neq 0$ ?
Peut-on utiliser une autre méthode pour trouver l'intersection ?
Pour aller plus loin
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