Définition
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, deux plans $P_1$ et $P_2$ sont définis par leurs équations cartésiennes respectives $a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$ et $a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$. Leurs positions relatives décrivent comment ces deux plans sont disposés l'un par rapport à l'autre : ils peuvent être sécants, parallèles distincts ou confondus.
Méthode — Positions relatives de deux plans dans l'espace
Identifier les vecteurs normaux
Pour chaque plan $P_i$ d'équation $a_ix + b_iy + c_iz + d_i = 0$, le vecteur $\vec{n_i}(a_i, b_i, c_i)$ est un vecteur normal au plan $P_i$.
Comparer la colinéarité des vecteurs normaux
On détermine si les vecteurs normaux $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ sont colinéaires. Deux vecteurs $\vec{u}(x,y,z)$ et $\vec{v}(x',y',z')$ sont colinéaires s'il existe un réel $k$ tel que $\vec{u} = k\vec{v}$, c'est-à-dire $x=kx'$, $y=ky'$, $z=kz'$. Si l'un des vecteurs est nul, ils sont colinéaires. Si aucun n'est nul, ils sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.
Déduire la position relative
- Cas 1 : Les vecteurs normaux $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ ne sont pas colinéaires.
Dans ce cas, les plans $P_1$ et $P_2$ sont sécants. Leur intersection est une droite. - Cas 2 : Les vecteurs normaux $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ sont colinéaires.
Les plans $P_1$ et $P_2$ sont alors parallèles. Pour distinguer s'ils sont confondus ou distincts, on vérifie si un point de l'un appartient à l'autre.
Distinction pour les plans parallèles
Si $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ sont colinéaires (donc $P_1$ et $P_2$ sont parallèles) :
- On choisit un point $A(x_A, y_A, z_A)$ appartenant au plan $P_1$ (par exemple, en fixant $x=0, y=0$ et en résolvant pour $z$).
- On substitue les coordonnées de $A$ dans l'équation du plan $P_2$.
- Si $A$ appartient à $P_2$ (l'équation est vérifiée), alors les plans $P_1$ et $P_2$ sont confondus.
- Si $A$ n'appartient pas à $P_2$ (l'équation n'est pas vérifiée), alors les plans $P_1$ et $P_2$ sont parallèles distincts.
Alternativement, si $\vec{n_1} = k\vec{n_2}$, on peut comparer les équations : si $a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$ et $a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$ sont telles que $(a_1, b_1, c_1, d_1)$ est proportionnel à $(a_2, b_2, c_2, d_2)$ (c'est-à-dire $a_1=ka_2, b_1=kb_2, c_1=kc_2, d_1=kd_2$), alors les plans sont confondus. Sinon, ils sont parallèles distincts.
Exemple résolu
On considère les trois plans $P_1$, $P_2$ et $P_3$ dont les équations cartésiennes sont données par :
- $P_1 : 2x - y + 3z - 1 = 0$
- $P_2 : -4x + 2y - 6z + 2 = 0$
- $P_3 : x + y - z + 5 = 0$
Déterminer les positions relatives des couples de plans $(P_1, P_2)$ et $(P_1, P_3)$.
1. Identification des vecteurs normaux :
Pour $P_1 : 2x - y + 3z - 1 = 0$, le vecteur normal est $\vec{n_1}(2, -1, 3)$.
Pour $P_2 : -4x + 2y - 6z + 2 = 0$, le vecteur normal est $\vec{n_2}(-4, 2, -6)$.
2. Comparaison de la colinéarité :
On observe que $\vec{n_2} = -2\vec{n_1}$ car $-4 = -2 × 2$, $2 = -2 × (-1)$, et $-6 = -2 × 3$.
Les vecteurs $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ sont colinéaires. Les plans $P_1$ et $P_2$ sont donc parallèles.
3. Distinction entre plans confondus ou distincts :
On vérifie si les équations sont proportionnelles. On a $d_1 = -1$ et $d_2 = 2$.
On a $-2 × d_1 = -2 × (-1) = 2 = d_2$.
Puisque $(a_2, b_2, c_2, d_2) = -2 × (a_1, b_1, c_1, d_1)$, les plans $P_1$ et $P_2$ sont confondus.
Alternativement, prenons un point de $P_1$. Si $x=0, y=0$, alors $3z-1=0 \implies z=1/3$. Donc $A(0, 0, 1/3)$ appartient à $P_1$.
Vérifions si $A$ appartient à $P_2$: $-4(0) + 2(0) - 6(1/3) + 2 = -2 + 2 = 0$. L'équation est vérifiée, donc $A$ appartient à $P_2$. Les plans sont confondus.
1. Identification des vecteurs normaux :
Pour $P_1 : 2x - y + 3z - 1 = 0$, le vecteur normal est $\vec{n_1}(2, -1, 3)$.
Pour $P_3 : x + y - z + 5 = 0$, le vecteur normal est $\vec{n_3}(1, 1, -1)$.
2. Comparaison de la colinéarité :
On cherche s'il existe un réel $k$ tel que $\vec{n_1} = k\vec{n_3}$.
Cela impliquerait $2 = k × 1$, $-1 = k × 1$, et $3 = k × (-1)$.
De la première égalité, $k=2$.
De la deuxième égalité, $k=-1$.
Puisque $k$ ne peut pas être à la fois $2$ et $-1$, les vecteurs $\vec{n_1}$ et $\vec{n_3}$ ne sont pas colinéaires.
3. Conclusion :
Les vecteurs normaux ne sont pas colinéaires, donc les plans $P_1$ et $P_3$ sont sécants.
Les plans $P_1$ et $P_2$ sont confondus.
Les plans $P_1$ et $P_3$ sont sécants.
⚠️ Piège fréquent au BAC — Oubli de la distinction pour les plans parallèles
- Ne pas se contenter de la colinéarité des vecteurs normaux pour conclure que les plans sont parallèles. Il faut ensuite vérifier s'ils sont distincts ou confondus.
- Faire une erreur de calcul lors de la vérification de l'appartenance d'un point à un plan, ou lors de la comparaison des coefficients $d_i$.
- Confondre les conditions de colinéarité pour les vecteurs normaux avec celles pour les vecteurs directeurs (qui sont pour les droites).
Exercice type BAC
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les plans $P$, $Q$ et $R$ d'équations cartésiennes respectives :
- $P : 2x - 3y + z - 5 = 0$
- $Q : -4x + 6y - 2z + 10 = 0$
- $R : x + y + z + 1 = 0$
- Déterminer la position relative des plans $P$ et $Q$. Justifier votre réponse.
- Déterminer la position relative des plans $P$ et $R$. Justifier votre réponse.
- Donner une équation cartésienne d'un plan $S$ qui soit parallèle distinct de $P$.
Position relative des plans $P$ et $Q$ :
Le plan $P$ a pour équation $2x - 3y + z - 5 = 0$. Un vecteur normal à $P$ est $\vec{n_P}(2, -3, 1)$.
Le plan $Q$ a pour équation $-4x + 6y - 2z + 10 = 0$. Un vecteur normal à $Q$ est $\vec{n_Q}(-4, 6, -2)$.
On compare les vecteurs normaux : on remarque que $\vec{n_Q} = -2\vec{n_P}$ car $-4 = -2 × 2$, $6 = -2 × (-3)$, et $-2 = -2 × 1$.
Les vecteurs normaux $\vec{n_P}$ et $\vec{n_Q}$ sont colinéaires, donc les plans $P$ et $Q$ sont parallèles.
Pour déterminer s'ils sont confondus ou distincts, on compare les termes constants. On a $d_P = -5$ et $d_Q = 10$.
On vérifie si $d_Q = -2d_P$. En effet, $-2 × (-5) = 10$.
Puisque tous les coefficients de l'équation de $Q$ sont proportionnels à ceux de $P$ (avec un facteur $-2$), les plans $P$ et $Q$ sont confondus.
Position relative des plans $P$ et $R$ :
Le plan $P$ a pour équation $2x - 3y + z - 5 = 0$. Un vecteur normal à $P$ est $\vec{n_P}(2, -3, 1)$.
Le plan $R$ a pour équation $x + y + z + 1 = 0$. Un vecteur normal à $R$ est $\vec{n_R}(1, 1, 1)$.
On compare les vecteurs normaux : on cherche s'il existe un réel $k$ tel que $\vec{n_P} = k\vec{n_R}$.
Cela impliquerait $2 = k × 1$, $-3 = k × 1$, et $1 = k × 1$.
De la première égalité, $k=2$. De la deuxième égalité, $k=-3$.
Puisque $k$ ne peut pas être unique, les vecteurs $\vec{n_P}$ et $\vec{n_R}$ ne sont pas colinéaires.
Par conséquent, les plans $P$ et $R$ sont sécants.
Équation cartésienne d'un plan $S$ parallèle distinct de $P$ :
Pour qu'un plan $S$ soit parallèle à $P$, ses vecteurs normaux doivent être colinéaires. On peut donc prendre le même vecteur normal que $P$, soit $\vec{n_S} = \vec{n_P}(2, -3, 1)$.
L'équation de $S$ sera de la forme $2x - 3y + z + d_S = 0$.
Pour que $S$ soit distinct de $P$, il faut que $d_S \neq d_P$. Puisque $d_P = -5$, on peut choisir n'importe quelle valeur pour $d_S$ différente de $-5$.
Par exemple, si on choisit $d_S = 0$, l'équation du plan $S$ est $2x - 3y + z = 0$.
Vérification : Le plan $S$ d'équation $2x - 3y + z = 0$ a pour vecteur normal $\vec{n_S}(2, -3, 1)$, qui est colinéaire à $\vec{n_P}$. Les plans sont donc parallèles. Le terme constant de $S$ est $0$, qui est différent de $-5$ (le terme constant de $P$). Donc $S$ est bien parallèle distinct de $P$.
Questions fréquentes
Comment trouver l'équation d'une droite d'intersection entre deux plans sécants ?
Si deux plans $P_1$ et $P_2$ sont sécants, leur intersection est une droite $D$. Pour trouver son équation, on résout le système formé par les deux équations cartésiennes des plans :
$$\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0 \ a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0 \end{cases}$$
On peut exprimer deux variables en fonction de la troisième (qui devient le paramètre de la droite) ou trouver un point et un vecteur directeur de la droite.
Un plan peut-il être parallèle à lui-même ?
Oui, un plan est toujours parallèle à lui-même. Dans la classification des positions relatives, on dit qu'il est "parallèle confondu" avec lui-même. C'est le cas où les vecteurs normaux sont colinéaires et les équations sont proportionnelles (avec un facteur $k=1$).
Qu'est-ce qu'un vecteur normal à un plan ?
Un vecteur normal à un plan est un vecteur non nul qui est orthogonal à tous les vecteurs directeurs de ce plan. Si l'équation cartésienne du plan est $ax + by + cz + d = 0$, alors le vecteur $\vec{n}(a, b, c)$ est un vecteur normal au plan.
Est-il possible que deux plans n'aient aucun point commun ?
Oui, si les deux plans sont parallèles distincts, ils n'ont aucun point commun. C'est l'une des trois positions relatives possibles.
Pour aller plus loin
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