Continuité en un point et sur un intervalle : définition – Fiche BAC Terminale Maths

Q: Quelle est la différence entre une fonction continue et une fonction dérivable ?

Si une fonction est dérivable en un point, alors elle est nécessairement continue en ce point. La réciproque est fausse : une fonction peut être continue en un point sans y être dérivable (par exemple, la fonction valeur absolue $x \mapsto |x|$ est continue en $0$ mais non dérivable en $0$). La dérivabilité est une condition plus forte que la continuité.

Q: Comment montrer qu'une fonction n'est pas continue en un point ?

Pour montrer qu'une fonction $f$ n'est pas continue en un point $a$, il suffit de montrer que l'une des conditions de continuité n'est pas remplie : soit $f(a)$ n'existe pas, soit $\lim_{x \to a} f(x)$ n'existe pas (par exemple, les limites à gauche et à droite sont différentes), soit $\lim_{x \to a} f(x) \neq f(a)$.

Q: Toutes les fonctions usuelles sont-elles continues sur leur ensemble de définition ?

Oui, les fonctions usuelles (polynômes, rationnelles, exponentielle, logarithme, trigonométriques, racine carrée) sont continues sur leur ensemble de définition. C'est une propriété fondamentale qui est admise en Terminale.

Q: Le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) est-il lié à la continuité ?

Oui, absolument. Le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) stipule que si une fonction $f$ est continue sur un intervalle $[a, b]$, alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = k$. La continuité est une condition essentielle pour l'application du TVI.

Définition

Une fonction $f$ est dite continue en un point $a$ de son ensemble de définition si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. Intuitivement, cela signifie que la courbe représentative de $f$ ne présente pas de "saut" ou de "trou" au point d'abscisse $a$.

Une fonction $f$ est dite continue sur un intervalle $I$ si elle est continue en tout point de cet intervalle.

💡 Bon réflexe : Pour la continuité d'une fonction par morceaux, toujours vérifier les limites à gauche et à droite aux points de raccordement et les comparer à la valeur de la fonction en ces points.

Méthode — Continuité en un point et sur un intervalle : définition

Vérifier la continuité en un point $a$

Pour vérifier si une fonction $f$ est continue en un point $a$ de son ensemble de définition, il faut s'assurer que trois conditions sont remplies :

Le point $a$ appartient à l'ensemble de définition de $f$, c'est-à-dire $f(a)$ existe.
La limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $a$ existe, c'est-à-dire $\lim_{x \to a} f(x)$ est un nombre réel.
Ces deux valeurs sont égales : $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.

Si l'une de ces conditions n'est pas vérifiée, la fonction n'est pas continue en $a$.

Utiliser les propriétés des fonctions usuelles

De nombreuses fonctions usuelles sont continues sur leur ensemble de définition :

Les fonctions polynômes sont continues sur $\mathbb{R}$.
Les fonctions rationnelles (quotient de polynômes) sont continues sur tout intervalle où le dénominateur ne s'annule pas.
La fonction racine carrée $x \mapsto \sqrt{x}$ est continue sur $[0, +\infty[$.
Les fonctions trigonométriques $\sin$ et $\cos$ sont continues sur $\mathbb{R}$. La fonction $\tan$ est continue sur tout intervalle de son ensemble de définition.
La fonction exponentielle $x \mapsto e^x$ est continue sur $\mathbb{R}$.
La fonction logarithme népérien $x \mapsto \ln(x)$ est continue sur $]0, +\infty[$.

Appliquer les théorèmes sur les opérations et la composition

Si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $I$ :

La somme $f+g$, le produit $f \times g$ et le quotient $\frac{f}{g}$ (là où $g(x) \neq 0$) sont continues sur $I$.
Si $k$ est un réel, $k \times f$ est continue sur $I$.
Si $g$ est continue sur $I$ et $f$ est continue sur $J$ tel que $g(I) \subset J$, alors la fonction composée $f \circ g$ est continue sur $I$.

Étudier les fonctions définies par morceaux

Pour une fonction définie par morceaux, il faut étudier la continuité sur chaque intervalle "ouvert" où la fonction est définie par une expression unique, puis étudier la continuité aux points de raccordement. Aux points de raccordement $a$, il faut vérifier que $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$.

Exemple résolu

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 4}{x - 2} & \text{si } x \neq 2 \\ 4 & \text{si } x = 2 \end{cases}$$

La fonction $f$ est-elle continue en $x=2$ ? Est-elle continue sur $\mathbb{R}$ ?

Vérifier l'existence de $f(2)$

D'après la définition de la fonction, pour $x=2$, $f(2) = 4$. La valeur existe.

Calculer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $2$

Pour $x \neq 2$, $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$. Nous pouvons factoriser le numérateur : $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.

Donc, pour $x \neq 2$, $f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2$.

Calculons la limite : $\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (x+2) = 2+2 = 4$.

Comparer la limite et la valeur de la fonction au point

Nous avons trouvé $\lim_{x \to 2} f(x) = 4$ et $f(2) = 4$.

Puisque $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$, la fonction $f$ est continue en $x=2$.

Conclure sur la continuité sur $\mathbb{R}$

Pour $x \neq 2$, la fonction $f(x) = x+2$ est une fonction polynôme, elle est donc continue sur $]-\infty, 2[$ et sur $]2, +\infty[$. Puisque nous avons montré que $f$ est aussi continue en $x=2$, on peut conclure que $f$ est continue sur tout $\mathbb{R}$.

La fonction $f$ est continue en $x=2$ car $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2) = 4$. De plus, étant continue sur les intervalles $]-\infty, 2[$ et $]2, +\infty[$ (car c'est une fonction polynôme $x \mapsto x+2$ sur ces intervalles), la fonction $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Continuité aux bornes d'un intervalle

Confondre la continuité en un point avec la continuité sur un intervalle. La continuité sur un intervalle nécessite la continuité en chaque point de cet intervalle.
Oublier de vérifier la valeur de la fonction au point $a$ ($f(a)$) lors de l'étude de la continuité en $a$. Il ne suffit pas que la limite existe.
Ne pas étudier les limites à gauche et à droite pour les fonctions définies par morceaux aux points de raccordement. Ces limites doivent être égales et égales à la valeur de la fonction au point.
Affirmer la continuité d'une fonction rationnelle sans s'assurer que le dénominateur ne s'annule pas sur l'intervalle considéré.

Exercice type BAC

Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$g(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{x+1} - 1}{x} & \text{si } x > 0 \\ ax + b & \text{si } -1 \leq x \leq 0 \\ \frac{e^{x+1} - 1}{x+1} & \text{si } x < -1 \end{cases}$$

où $a$ et $b$ sont des réels.

Déterminer la valeur de $b$ pour que la fonction $g$ soit continue en $x=0$.
Déterminer la valeur de $a$ pour que la fonction $g$ soit continue en $x=-1$.
En déduire si la fonction $g$ peut être continue sur $\mathbb{R}$ et justifier votre réponse.

Continuité en $x=0$ :
Pour que $g$ soit continue en $x=0$, il faut que $\lim_{x \to 0^-} g(x) = \lim_{x \to 0^+} g(x) = g(0)$.
- Calcul de $g(0)$ : Pour $x=0$, $g(0) = a(0) + b = b$.
- Calcul de $\lim_{x \to 0^-} g(x)$ : Pour $x \leq 0$, $g(x) = ax+b$. Donc $\lim_{x \to 0^-} g(x) = \lim_{x \to 0^-} (ax+b) = b$.
- Calcul de $\lim_{x \to 0^+} g(x)$ : Pour $x > 0$, $g(x) = \frac{\sqrt{x+1} - 1}{x}$. C'est une forme indéterminée de type $\frac{0}{0}$. On multiplie par l'expression conjuguée :
  $$\lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x+1} - 1}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{(\sqrt{x+1} - 1)(\sqrt{x+1} + 1)}{x(\sqrt{x+1} + 1)}$$$$= \lim_{x \to 0^+} \frac{(x+1) - 1}{x(\sqrt{x+1} + 1)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x(\sqrt{x+1} + 1)}$$$$= \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{x+1} + 1} = \frac{1}{\sqrt{0+1} + 1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$$
Pour la continuité en $x=0$, il faut $b = \frac{1}{2}$.
Continuité en $x=-1$ :
Pour que $g$ soit continue en $x=-1$, il faut que $\lim_{x \to -1^-} g(x) = \lim_{x \to -1^+} g(x) = g(-1)$.
- Calcul de $g(-1)$ : Pour $x=-1$, $g(-1) = a(-1) + b = -a+b$.
- Calcul de $\lim_{x \to -1^+} g(x)$ : Pour $-1 \leq x \leq 0$, $g(x) = ax+b$. Donc $\lim_{x \to -1^+} g(x) = \lim_{x \to -1^+} (ax+b) = -a+b$.
- Calcul de $\lim_{x \to -1^-} g(x)$ : Pour $x < -1$, $g(x) = \frac{e^{x+1} - 1}{x+1}$. Posons $h = x+1$. Lorsque $x \to -1^-$, $h \to 0^-$.
  $$\lim_{x \to -1^-} \frac{e^{x+1} - 1}{x+1} = \lim_{h \to 0^-} \frac{e^h - 1}{h}$$
  C'est la définition du nombre dérivé de $e^x$ en $0$, qui est $e^0 = 1$. Donc $\lim_{x \to -1^-} g(x) = 1$.
Pour la continuité en $x=-1$, il faut $-a+b = 1$.
Avec $b = \frac{1}{2}$ (trouvé à la question 1), on a $-a + \frac{1}{2} = 1$, ce qui donne $-a = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. Donc $a = -\frac{1}{2}$.
Continuité sur $\mathbb{R}$ :
Avec $a = -\frac{1}{2}$ et $b = \frac{1}{2}$, la fonction $g$ est continue en $x=0$ et en $x=-1$.
- Sur $]-\infty, -1[$ : $g(x) = \frac{e^{x+1} - 1}{x+1}$. La fonction $x \mapsto x+1$ est continue et non nulle sur cet intervalle. La fonction $x \mapsto e^{x+1}-1$ est continue sur cet intervalle. Donc $g$ est continue sur $]-\infty, -1[$.
- Sur $]-1, 0[$ : $g(x) = ax+b = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$. C'est une fonction polynôme, donc elle est continue sur $]-1, 0[$.
- Sur $]0, +\infty[$ : $g(x) = \frac{\sqrt{x+1} - 1}{x}$. La fonction $x \mapsto \sqrt{x+1}-1$ est continue sur $]0, +\infty[$ et la fonction $x \mapsto x$ est continue et non nulle sur cet intervalle. Donc $g$ est continue sur $]0, +\infty[$.
Puisque $g$ est continue sur chaque intervalle ouvert et aux points de raccordement $x=-1$ et $x=0$ avec les valeurs de $a$ et $b$ trouvées, la fonction $g$ est continue sur $\mathbb{R}$.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre une fonction continue et une fonction dérivable ?

Si une fonction est dérivable en un point, alors elle est nécessairement continue en ce point. La réciproque est fausse : une fonction peut être continue en un point sans y être dérivable (par exemple, la fonction valeur absolue $x \mapsto |x|$ est continue en $0$ mais non dérivable en $0$). La dérivabilité est une condition plus forte que la continuité.

Comment montrer qu'une fonction n'est pas continue en un point ?

Pour montrer qu'une fonction $f$ n'est pas continue en un point $a$, il suffit de montrer que l'une des conditions de continuité n'est pas remplie : soit $f(a)$ n'existe pas, soit $\lim_{x \to a} f(x)$ n'existe pas (par exemple, les limites à gauche et à droite sont différentes), soit $\lim_{x \to a} f(x) \neq f(a)$.

Toutes les fonctions usuelles sont-elles continues sur leur ensemble de définition ?

Oui, les fonctions usuelles (polynômes, rationnelles, exponentielle, logarithme, trigonométriques, racine carrée) sont continues sur leur ensemble de définition. C'est une propriété fondamentale qui est admise en Terminale.

Le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) est-il lié à la continuité ?

Oui, absolument. Le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) stipule que si une fonction $f$ est continue sur un intervalle $[a, b]$, alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = k$. La continuité est une condition essentielle pour l'application du TVI.

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