Limites en +∞ et −∞ : méthodes et exemples – Fiche BAC Terminale Maths

Définition

La limite d'une fonction $f$ en $+\infty$ (respectivement $-\infty$) décrit le comportement de $f(x)$ lorsque $x$ prend des valeurs de plus en plus grandes (respectivement de plus en plus petites). On note $\lim_{x\to+\infty} f(x) = L$ si $f(x)$ s'approche d'une valeur finie $L$, ou $\lim_{x\to+\infty} f(x) = +\infty$ (respectivement $-\infty$) si $f(x)$ tend vers l'infini.

💡 Bon réflexe : Face à une limite en l'infini, commence toujours par évaluer les termes pour identifier une éventuelle forme indéterminée avant d'appliquer une méthode de résolution.

Méthode — Limites en +∞ et −∞ : méthodes et exemples

Identifier la forme indéterminée (FI)

Avant tout calcul, évaluer la limite de chaque partie de la fonction. Les formes indéterminées sont : $$\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, 0 × \infty, +\infty - \infty$$ Si la limite n'est pas une FI, elle peut être calculée directement par les opérations sur les limites.

Factoriser le terme de plus haut degré (fonctions polynomiales et rationnelles)

Pour une fonction polynomiale $P(x) = a_n x^n + \dots + a_0$, la limite en $\pm\infty$ est celle de son terme de plus haut degré $a_n x^n$. Pour une fonction rationnelle $R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$, la limite en $\pm\infty$ est celle du rapport des termes de plus haut degré de $P(x)$ et $Q(x)$. $$ \lim_{x\to\pm\infty} \frac{a_n x^n + \dots}{b_m x^m + \dots} = \lim_{x\to\pm\infty} \frac{a_n x^n}{b_m x^m} $$

Utiliser les croissances comparées (fonctions exponentielles, logarithmiques et puissances)

Lorsque des fonctions exponentielles, logarithmiques et puissances sont combinées, les croissances comparées permettent de lever certaines FI. Pour tout entier $n > 0$ et tout réel $a > 0$ :

$\lim_{x\to+\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$
$\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0$
$\lim_{x\to 0^+} x^n \ln(x) = 0$
$\lim_{x\to+\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$
$\lim_{x\to+\infty} \frac{x^n}{e^x} = 0$
$\lim_{x\to+\infty} x^n e^{-x} = 0$

Changement de variable ou quantité conjuguée (fonctions avec racines carrées)

Pour certaines expressions avec des racines carrées, notamment de la forme $\sqrt{f(x)} - \sqrt{g(x)}$ ou $\sqrt{f(x)} - h(x)$ qui mènent à une FI de type $+\infty - \infty$, multiplier par la quantité conjuguée peut simplifier l'expression. Un changement de variable peut aussi être utile pour se ramener à une limite connue.

Exemple résolu

Calculer les limites suivantes :

$\lim_{x\to+\infty} \frac{3x^2 - 5x + 1}{x^2 + 2x - 4}$
$\lim_{x\to+\infty} (x - \ln(x))$
$\lim_{x\to+\infty} (\sqrt{x^2 + 3x} - x)$

Calcul de $\lim_{x\to+\infty} \frac{3x^2 - 5x + 1}{x^2 + 2x - 4}$

C'est une fonction rationnelle. On factorise le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur : $$ \lim_{x\to+\infty} \frac{x^2(3 - \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2})}{x^2(1 + \frac{2}{x} - \frac{4}{x^2})} = \lim_{x\to+\infty} \frac{3 - \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{2}{x} - \frac{4}{x^2}} $$ Comme $\lim_{x\to+\infty} \frac{k}{x^n} = 0$ pour $n > 0$, on a : $$ \lim_{x\to+\infty} \frac{3 - 0 + 0}{1 + 0 - 0} = \frac{3}{1} = 3 $$

Calcul de $\lim_{x\to+\infty} (x - \ln(x))$

On a $\lim_{x\to+\infty} x = +\infty$ et $\lim_{x\to+\infty} \ln(x) = +\infty$. C'est une forme indéterminée de type $+\infty - \infty$. On factorise par $x$ : $$ \lim_{x\to+\infty} x \left(1 - \frac{\ln(x)}{x}\right) $$ D'après les croissances comparées, $\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$. Donc : $$ \lim_{x\to+\infty} x \left(1 - \frac{\ln(x)}{x}\right) = \lim_{x\to+\infty} x × (1 - 0) = \lim_{x\to+\infty} x = +\infty $$

Calcul de $\lim_{x\to+\infty} (\sqrt{x^2 + 3x} - x)$

On a $\lim_{x\to+\infty} \sqrt{x^2 + 3x} = +\infty$ et $\lim_{x\to+\infty} x = +\infty$. C'est une forme indéterminée de type $+\infty - \infty$. On multiplie par la quantité conjuguée : $$ \sqrt{x^2 + 3x} - x = \frac{(\sqrt{x^2 + 3x} - x)(\sqrt{x^2 + 3x} + x)}{\sqrt{x^2 + 3x} + x} $$ $$ = \frac{(x^2 + 3x) - x^2}{\sqrt{x^2 + 3x} + x} = \frac{3x}{\sqrt{x^2 + 3x} + x} $$ Pour $x > 0$, on peut factoriser $x$ au dénominateur : $$ \frac{3x}{\sqrt{x^2(1 + \frac{3}{x})} + x} = \frac{3x}{|x|\sqrt{1 + \frac{3}{x}} + x} $$ Comme $x \to +\infty$, $x > 0$, donc $|x| = x$ : $$ \frac{3x}{x\sqrt{1 + \frac{3}{x}} + x} = \frac{3x}{x(\sqrt{1 + \frac{3}{x}} + 1)} = \frac{3}{\sqrt{1 + \frac{3}{x}} + 1} $$ Lorsque $x \to +\infty$, $\frac{3}{x} \to 0$. Donc : $$ \lim_{x\to+\infty} \frac{3}{\sqrt{1 + \frac{3}{x}} + 1} = \frac{3}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{3}{1 + 1} = \frac{3}{2} $$

Les limites sont :

$\lim_{x\to+\infty} \frac{3x^2 - 5x + 1}{x^2 + 2x - 4} = 3$
$\lim_{x\to+\infty} (x - \ln(x)) = +\infty$
$\lim_{x\to+\infty} (\sqrt{x^2 + 3x} - x) = \frac{3}{2}$

⚠️ Piège fréquent au BAC — Oubli des formes indéterminées

Ne pas identifier les formes indéterminées et appliquer directement les règles d'opérations sur les limites, ce qui peut conduire à des résultats erronés (ex: $+\infty - \infty$ n'est pas $0$).
Confondre les croissances comparées : par exemple, penser que $\ln(x)$ croît plus vite que $x$ en $+\infty$, alors que c'est l'inverse.
Erreur de signe lors de la factorisation de $x$ sous une racine carrée : $\sqrt{x^2} = |x|$, qui vaut $x$ si $x \to +\infty$ et $-x$ si $x \to -\infty$.

Exercice type BAC

On considère la fonction $f$ définie sur $]0; +\infty[$ par $f(x) = \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1}$.

Calculer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $0^+$.
Calculer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
On considère la fonction $g$ définie sur $]0; +\infty[$ par $g(x) = x - \ln(x)$. Calculer la limite de $g(x)$ lorsque $x$ tend vers $0^+$ et lorsque $x$ tend vers $+\infty$.

Calcul de $\lim_{x\to 0^+} f(x)$ :
Lorsque $x \to 0^+$, $2x \to 0$.
Donc $\lim_{x\to 0^+} e^{2x} = e^0 = 1$.
Ainsi, $\lim_{x\to 0^+} (e^{2x} - 1) = 1 - 1 = 0$.
Et $\lim_{x\to 0^+} (e^{2x} + 1) = 1 + 1 = 2$.
Par conséquent, par quotient des limites :
$$ \lim_{x\to 0^+} f(x) = \frac{0}{2} = 0 $$
Calcul de $\lim_{x\to +\infty} f(x)$ :
Lorsque $x \to +\infty$, $2x \to +\infty$.
Donc $\lim_{x\to +\infty} e^{2x} = +\infty$.
On a une forme indéterminée de type $\frac{\infty}{\infty}$. On factorise par $e^{2x}$ au numérateur et au dénominateur :
$$ f(x) = \frac{e^{2x}(1 - e^{-2x})}{e^{2x}(1 + e^{-2x})} = \frac{1 - e^{-2x}}{1 + e^{-2x}} $$
Lorsque $x \to +\infty$, $-2x \to -\infty$.
Donc $\lim_{x\to +\infty} e^{-2x} = 0$.
Par conséquent :
$$ \lim_{x\to +\infty} f(x) = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1 $$
Calcul des limites de $g(x) = x - \ln(x)$ :
En $0^+$ :
$\lim_{x\to 0^+} x = 0$.
$\lim_{x\to 0^+} \ln(x) = -\infty$.
Donc $\lim_{x\to 0^+} (-\ln(x)) = +\infty$.
Par somme des limites :
$$ \lim_{x\to 0^+} g(x) = 0 + (+\infty) = +\infty $$
En $+\infty$ :
$\lim_{x\to +\infty} x = +\infty$.
$\lim_{x\to +\infty} \ln(x) = +\infty$.
C'est une forme indéterminée de type $+\infty - \infty$. On factorise par $x$ :
$$ g(x) = x \left(1 - \frac{\ln(x)}{x}\right) $$
D'après le théorème des croissances comparées, $\lim_{x\to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$.
Donc :
$$ \lim_{x\to +\infty} g(x) = \lim_{x\to +\infty} x × (1 - 0) = \lim_{x\to +\infty} x = +\infty $$

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une forme indéterminée ?

Une forme indéterminée est une situation où les règles d'opérations sur les limites ne permettent pas de conclure directement. Les principales sont : $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0 × \infty$, $+\infty - \infty$. Il faut alors transformer l'expression de la fonction pour lever l'indétermination.

Comment choisir la bonne méthode pour lever une forme indéterminée ?

Le choix dépend du type de fonction :

Pour les fonctions polynomiales ou rationnelles, factoriser le terme de plus haut degré.
Pour les fonctions avec exponentielles ou logarithmes, utiliser les croissances comparées.
Pour les expressions avec racines carrées et une FI de type $+\infty - \infty$, multiplier par la quantité conjuguée est souvent efficace.

Les croissances comparées sont-elles valables pour toutes les puissances ?

Oui, les théorèmes de croissances comparées s'appliquent pour toute puissance $n > 0$ (réel ou entier). Par exemple, $e^x$ croît plus vite que $x^n$ pour n'importe quel $n > 0$ en $+\infty$, et $\ln(x)$ croît moins vite que $x^n$ en $+\infty$.

Peut-on utiliser la règle de L'Hôpital en Terminale Spécialité ?

Non, la règle de L'Hôpital n'est pas au programme de Terminale Spécialité. Il faut utiliser les méthodes vues en cours (factorisation, quantité conjuguée, croissances comparées, taux d'accroissement pour les limites en un point).

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