Limite du taux d'accroissement et dérivabilité – Fiche BAC Terminale Maths

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a \in I$. On dit que $f$ est dérivable en $a$ si le taux d'accroissement de $f$ entre $a$ et $a+h$, défini par $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$, admet une limite finie lorsque $h$ tend vers $0$. Cette limite, notée $f'(a)$, est appelée le nombre dérivé de $f$ en $a$.

💡 Bon réflexe : Toujours simplifier l'expression du taux d'accroissement avant de calculer la limite pour éviter l'indétermination $\frac{0}{0}$.

Méthode — Limite du taux d'accroissement et dérivabilité

Étape 1 : Écrire l'expression du taux d'accroissement

Pour étudier la dérivabilité d'une fonction $f$ en un point $a$, on commence par écrire l'expression du taux d'accroissement $T(h) = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$. Il est crucial de bien remplacer $f(a+h)$ et $f(a)$ par leurs expressions en fonction de $a$ et $h$.

Étape 2 : Simplifier l'expression du taux d'accroissement

L'objectif est de simplifier l'expression $T(h)$ afin de pouvoir lever l'indétermination de type $\frac{0}{0}$ qui apparaît lorsque $h \to 0$. Cela implique souvent de développer, factoriser, utiliser des identités remarquables, ou multiplier par l'expression conjuguée si des racines carrées sont présentes.

Étape 3 : Calculer la limite du taux d'accroissement

Une fois l'expression simplifiée, on calcule la limite de $T(h)$ lorsque $h$ tend vers $0$. Si cette limite est un nombre réel fini $L$, alors la fonction $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a) = L$. Si la limite est infinie ou n'existe pas, alors $f$ n'est pas dérivable en $a$.

Étape 4 : Interpréter le résultat

Si $f$ est dérivable en $a$, le nombre dérivé $f'(a)$ représente la pente de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a$. L'équation de cette tangente est $y = f'(a)(x-a) + f(a)$. Si $f$ n'est pas dérivable en $a$, la courbe peut présenter un point anguleux, une tangente verticale, ou une rupture.

Exemple résolu

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 3x + 1$. Démontrer que $f$ est dérivable en $x=2$ et déterminer la valeur de son nombre dérivé $f'(2)$.

Écrire l'expression du taux d'accroissement en $a=2$

On a $a=2$. Le taux d'accroissement est $T(h) = \frac{f(2+h) - f(2)}{h}$. Calculons $f(2)$ et $f(2+h)$ : $f(2) = 2^2 - 3 × 2 + 1 = 4 - 6 + 1 = -1$. $f(2+h) = (2+h)^2 - 3(2+h) + 1 = (4 + 4h + h^2) - (6 + 3h) + 1 = 4 + 4h + h^2 - 6 - 3h + 1 = h^2 + h - 1$. Donc, $T(h) = \frac{(h^2 + h - 1) - (-1)}{h} = \frac{h^2 + h}{h}$.

Simplifier l'expression du taux d'accroissement

On peut factoriser le numérateur par $h$ : $T(h) = \frac{h(h+1)}{h}$. Pour $h \neq 0$, on peut simplifier par $h$ : $T(h) = h+1$.

Calculer la limite du taux d'accroissement lorsque $h \to 0$

On calcule la limite de l'expression simplifiée : $\lim_{h \to 0} T(h) = \lim_{h \to 0} (h+1)$. Lorsque $h$ tend vers $0$, $h+1$ tend vers $0+1=1$. Donc, $\lim_{h \to 0} T(h) = 1$.

Conclure sur la dérivabilité et le nombre dérivé

Puisque la limite du taux d'accroissement est un nombre réel fini (ici $1$), la fonction $f$ est dérivable en $x=2$. Le nombre dérivé de $f$ en $2$ est $f'(2) = 1$.

La fonction $f$ est dérivable en $x=2$ et son nombre dérivé est $f'(2) = 1$.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Erreurs de calcul et simplification

Oublier de développer correctement $(a+h)^n$ ou d'autres expressions polynomiales.
Ne pas factoriser correctement le numérateur par $h$, ce qui empêche la simplification et la levée de l'indétermination.
Faire des erreurs de signe lors de la soustraction $f(a+h) - f(a)$.
Confondre la dérivabilité en un point avec la dérivabilité sur un intervalle.

Exercice type BAC

Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = \sqrt{x+1}$ pour $x \geq -1$.

Calculer $g(3)$ et $g(3+h)$ pour $h$ tel que $3+h \geq -1$.
Écrire l'expression du taux d'accroissement de $g$ en $x=3$.
Démontrer que $g$ est dérivable en $x=3$ et déterminer $g'(3)$.

Calcul de $g(3)$ et $g(3+h)$ :
$g(3) = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.
$g(3+h) = \sqrt{(3+h)+1} = \sqrt{4+h}$.
Expression du taux d'accroissement de $g$ en $x=3$ :
Le taux d'accroissement est $T(h) = \frac{g(3+h) - g(3)}{h}$.
En remplaçant les expressions trouvées à la question précédente :
$T(h) = \frac{\sqrt{4+h} - 2}{h}$.
Démonstration de la dérivabilité de $g$ en $x=3$ et détermination de $g'(3)$ :
Pour calculer la limite de $T(h)$ lorsque $h \to 0$, on multiplie le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée du numérateur :
$T(h) = \frac{\sqrt{4+h} - 2}{h} × \frac{\sqrt{4+h} + 2}{\sqrt{4+h} + 2}$
$T(h) = \frac{(\sqrt{4+h})^2 - 2^2}{h(\sqrt{4+h} + 2)}$
$T(h) = \frac{(4+h) - 4}{h(\sqrt{4+h} + 2)}$
$T(h) = \frac{h}{h(\sqrt{4+h} + 2)}$
Pour $h \neq 0$, on peut simplifier par $h$ :
$T(h) = \frac{1}{\sqrt{4+h} + 2}$
Maintenant, calculons la limite lorsque $h \to 0$ :
$\lim_{h \to 0} T(h) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{4+h} + 2}$
Lorsque $h \to 0$, $\sqrt{4+h} \to \sqrt{4} = 2$.
Donc, $\lim_{h \to 0} T(h) = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$.
Puisque la limite est un nombre réel fini ($1/4$), la fonction $g$ est dérivable en $x=3$ et son nombre dérivé est $g'(3) = \frac{1}{4}$.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre dérivabilité et continuité ?

Si une fonction est dérivable en un point, alors elle est nécessairement continue en ce point. Cependant, la réciproque est fausse : une fonction peut être continue en un point sans y être dérivable (par exemple, la fonction valeur absolue $f(x) = |x|$ est continue en $0$ mais non dérivable en $0$ car le taux d'accroissement n'a pas de limite finie).

Comment interpréter graphiquement le nombre dérivé ?

Le nombre dérivé $f'(a)$ représente la pente (ou coefficient directeur) de la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d'abscisse $a$. Plus la valeur absolue de $f'(a)$ est grande, plus la tangente est 'raide'.

Que signifie une limite infinie du taux d'accroissement ?

Si la limite du taux d'accroissement est $+\infty$ ou $-\infty$, cela signifie que la tangente à la courbe en ce point est verticale. Dans ce cas, la fonction n'est pas dérivable en ce point.

Peut-on utiliser les formules de dérivation pour justifier la dérivabilité ?

Non, les formules de dérivation (comme $(x^n)' = nx^{n-1}$) sont des conséquences de la définition de la dérivabilité par la limite du taux d'accroissement. Pour démontrer qu'une fonction est dérivable en un point en utilisant la définition, il faut impérativement passer par le calcul de la limite du taux d'accroissement. Les formules sont utilisées pour calculer rapidement les dérivées une fois la dérivabilité établie.

Pour aller plus loin

Vous bloquez sur ce chapitre ?

Adil accompagne les lycéens en Terminale Spécialité, en ligne ou à domicile dans le Val d'Oise. Résultats en 1 séance.

📞 Appeler Cours Terminale →