Limite infinie d'une suite : suite divergente vers ±∞ – Fiche BAC Terminale Maths

Définition

Une suite $(u_n)$ diverge vers $+\infty$ si tout intervalle de la forme $]A ; +\infty[$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On note alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$. De même, une suite $(u_n)$ diverge vers $-\infty$ si tout intervalle de la forme $]-\infty ; A[$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On note alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.

💡 Bon réflexe : Face à une forme indéterminée, toujours chercher à factoriser le terme de plus haut degré ou à utiliser l'expression conjuguée.

Méthode — Limite infinie d'une suite : suite divergente vers ±∞

Utiliser les théorèmes de comparaison

Si $u_n \geq v_n$ pour tout $n$ à partir d'un certain rang et si $\lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty$, alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$. De même, si $u_n \leq v_n$ et $\lim_{n \to +\infty} v_n = -\infty$, alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$. Ces théorèmes sont très utiles pour encadrer une suite complexe par une suite dont la limite est connue.

Appliquer les opérations sur les limites

Les règles d'opérations sur les limites (somme, produit, quotient) s'appliquent également aux limites infinies. Par exemple, si $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ et $\lim_{n \to +\infty} v_n = L$ (où $L \in \mathbb{R}$ ou $L = +\infty$), alors $\lim_{n \to +\infty} (u_n + v_n) = +\infty$. Attention aux formes indéterminées comme $« \infty - \infty »$ ou $« \frac{\infty}{\infty} »$ qui nécessitent une factorisation ou une transformation de l'expression.

Identifier les suites de référence

Connaître les limites des suites de référence est fondamental. Par exemple, $\lim_{n \to +\infty} n^k = +\infty$ pour tout $k > 0$, $\lim_{n \to +\infty} a^n = +\infty$ si $a > 1$, et $\lim_{n \to +\infty} \ln(n) = +\infty$. Ces limites servent souvent de base pour les comparaisons.

Factoriser le terme de plus haut degré

Pour les suites polynomiales ou rationnelles, factoriser le terme de plus haut degré permet souvent de lever les formes indéterminées et de déterminer la limite. Par exemple, pour $u_n = n^2 - 3n$, on peut écrire $u_n = n^2(1 - \frac{3}{n})$. Comme $\lim_{n \to +\infty} n^2 = +\infty$ et $\lim_{n \to +\infty} (1 - \frac{3}{n}) = 1$, alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.

Exemple résolu

Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ par $u_n = \frac{n^2 + 3n - 1}{2n + 5}$. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

Identifier la forme de la suite et la limite potentielle

La suite $(u_n)$ est une suite rationnelle (quotient de deux polynômes en $n$). Lorsque $n \to +\infty$, le numérateur $n^2 + 3n - 1$ tend vers $+\infty$ et le dénominateur $2n + 5$ tend également vers $+\infty$. On est donc face à une forme indéterminée du type $« \frac{\infty}{\infty} »$.

Factoriser le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur

Pour lever l'indétermination, on factorise par le terme de plus haut degré dans chaque partie de la fraction :
Numérateur : $n^2 + 3n - 1 = n^2 \left(1 + \frac{3n}{n^2} - \frac{1}{n^2}\right) = n^2 \left(1 + \frac{3}{n} - \frac{1}{n^2}\right)$
Dénominateur : $2n + 5 = n \left(2 + \frac{5}{n}\right)$
Ainsi, $u_n = \frac{n^2 \left(1 + \frac{3}{n} - \frac{1}{n^2}\right)}{n \left(2 + \frac{5}{n}\right)}$

Simplifier l'expression et calculer les limites des termes restants

On peut simplifier par $n$ :
$$u_n = \frac{n \left(1 + \frac{3}{n} - \frac{1}{n^2}\right)}{2 + \frac{5}{n}}$$Calculons les limites des différentes parties :
$\lim_{n \to +\infty} n = +\infty$
$\lim_{n \to +\infty} \left(1 + \frac{3}{n} - \frac{1}{n^2}\right) = 1 + 0 - 0 = 1$
$\lim_{n \to +\infty} \left(2 + \frac{5}{n}\right) = 2 + 0 = 2$

Appliquer les règles d'opérations sur les limites

On a une limite de la forme $« \frac{+\infty × 1}{2} »$.
Le numérateur tend vers $+\infty × 1 = +\infty$.
Le dénominateur tend vers $2$.
Par conséquent, $\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{+\infty}{2} = +\infty$.

La limite de la suite $(u_n)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ est $+\infty$. Donc, $\boxed{\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty}$.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Formes indéterminées

Oublier de lever une forme indéterminée ($« \infty - \infty »$, $« \frac{\infty}{\infty} »$, $« 0 × \infty »$, $« \frac{0}{0} »$) et conclure hâtivement.
Confondre les règles d'opérations sur les limites avec les règles pour les nombres réels (par exemple, penser que $« \infty - \infty » = 0$).
Ne pas justifier les étapes de calcul de limite, notamment l'utilisation des théorèmes de comparaison ou des opérations sur les limites.

Exercice type BAC

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n \geq 1$ par $u_n = \frac{n^3 - 2n^2 + 1}{n^2 + 4}$.

Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n \geq 1$ par $v_n = \sqrt{n^2 + 1} - n$. Montrer que $\lim_{n \to +\infty} v_n = 0$.
En déduire la limite de la suite $(w_n)$ définie pour tout entier naturel $n \geq 1$ par $w_n = u_n + v_n$.

Pour déterminer la limite de la suite $(u_n)$, nous avons $u_n = \frac{n^3 - 2n^2 + 1}{n^2 + 4}$.
Lorsque $n \to +\infty$, le numérateur $n^3 - 2n^2 + 1$ tend vers $+\infty$ et le dénominateur $n^2 + 4$ tend vers $+\infty$. C'est une forme indéterminée du type $« \frac{\infty}{\infty} »$.
Factorisons le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur :
$$u_n = \frac{n^3 \left(1 - \frac{2n^2}{n^3} + \frac{1}{n^3}\right)}{n^2 \left(1 + \frac{4}{n^2}\right)} = \frac{n^3 \left(1 - \frac{2}{n} + \frac{1}{n^3}\right)}{n^2 \left(1 + \frac{4}{n^2}\right)}$$
Simplifions par $n^2$ :
$$u_n = n \times \frac{1 - \frac{2}{n} + \frac{1}{n^3}}{1 + \frac{4}{n^2}}$$
Calculons les limites des différentes parties :
- $\lim_{n \to +\infty} n = +\infty$
- $\lim_{n \to +\infty} \left(1 - \frac{2}{n} + \frac{1}{n^3}\right) = 1 - 0 + 0 = 1$
- $\lim_{n \to +\infty} \left(1 + \frac{4}{n^2}\right) = 1 + 0 = 1$
Par conséquent, par produit et quotient de limites :
$$\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty \times \frac{1}{1} = +\infty$$
Pour la suite $(v_n) = \sqrt{n^2 + 1} - n$.
Lorsque $n \to +\infty$, $\sqrt{n^2 + 1}$ tend vers $+\infty$ et $n$ tend vers $+\infty$. C'est une forme indéterminée du type $« \infty - \infty »$.
Pour lever l'indétermination, nous allons multiplier par l'expression conjuguée :
$$v_n = (\sqrt{n^2 + 1} - n) \times \frac{\sqrt{n^2 + 1} + n}{\sqrt{n^2 + 1} + n}$$
En utilisant l'identité remarquable $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ :
$$v_n = \frac{(\sqrt{n^2 + 1})^2 - n^2}{\sqrt{n^2 + 1} + n} = \frac{n^2 + 1 - n^2}{\sqrt{n^2 + 1} + n} = \frac{1}{\sqrt{n^2 + 1} + n}$$
Maintenant, calculons la limite du dénominateur :
- $\lim_{n \to +\infty} \sqrt{n^2 + 1} = +\infty$
- $\lim_{n \to +\infty} n = +\infty$
Donc, $\lim_{n \to +\infty} (\sqrt{n^2 + 1} + n) = +\infty + +\infty = +\infty$.
Par conséquent, par quotient de limites :
$$\lim_{n \to +\infty} v_n = \frac{1}{+\infty} = 0$$
Pour la suite $(w_n) = u_n + v_n$.
Nous avons trouvé :
- $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$
- $\lim_{n \to +\infty} v_n = 0$
Par la règle d'opérations sur les limites (somme) :
$$\lim_{n \to +\infty} w_n = \lim_{n \to +\infty} (u_n + v_n) = +\infty + 0 = +\infty$$

Questions fréquentes

Comment prouver formellement qu'une suite diverge vers $+\infty$ ?

Pour prouver formellement que $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$, il faut montrer que pour tout réel $A$, il existe un rang $N$ tel que pour tout $n \geq N$, $u_n > A$. C'est la définition formelle de la divergence vers $+\infty$.

Quelles sont les principales formes indéterminées pour les limites de suites ?

Les principales formes indéterminées sont : $« \infty - \infty »$, $« \frac{\infty}{\infty} »$, $« 0 × \infty »$, et $« \frac{0}{0} »$. Il est crucial de les reconnaître pour appliquer les méthodes appropriées (factorisation, multiplication par l'expression conjuguée, etc.).

Peut-on utiliser la règle de l'Hospital pour les suites ?

Non, la règle de l'Hospital s'applique aux limites de fonctions dérivables. Pour les suites, on utilise des techniques algébriques (factorisation, simplification), les croissances comparées ou les théorèmes de comparaison. On peut parfois passer par une fonction associée si elle est définie sur $\mathbb{R}^+$ et que sa limite est la même que celle de la suite.

Quand une suite n'a-t-elle pas de limite ?

Une suite n'a pas de limite si elle ne converge pas vers un réel $L$ et ne diverge pas vers $+\infty$ ou $-\infty$. C'est le cas des suites oscillantes, comme $u_n = (-1)^n$, qui alterne entre $-1$ et $1$ sans se stabiliser ni tendre vers l'infini.

Pour aller plus loin

Vous bloquez sur ce chapitre ?

Adil accompagne les lycéens en Terminale Spécialité, en ligne ou à domicile dans le Val d'Oise. Résultats en 1 séance.

📞 Appeler Cours Terminale →