Suite monotone bornée et convergence – Fiche BAC Terminale Maths

Définition

Une suite $(u_n)$ est dite monotone si elle est soit croissante (pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} \geq u_n$), soit décroissante (pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} \leq u_n$). Une suite $(u_n)$ est dite bornée si elle est majorée (il existe $M \in \mathbb{R}$ tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \leq M$) et minorée (il existe $m \in \mathbb{R}$ tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \geq m$). Le théorème de convergence monotone stipule que toute suite croissante et majorée converge, et toute suite décroissante et minorée converge.

💡 Bon réflexe : Pour prouver la convergence d'une suite, pense systématiquement au théorème de convergence monotone : prouve d'abord la monotonie, puis le caractère borné, et enfin conclus à la convergence.

Méthode — Suite monotone bornée et convergence

Étape 1 : Démontrer la monotonie de la suite

Pour montrer qu'une suite $(u_n)$ est croissante, on peut étudier le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$. Si $u_{n+1} - u_n \geq 0$ pour tout $n$, la suite est croissante. Pour montrer qu'elle est décroissante, on vérifie si $u_{n+1} - u_n \leq 0$ pour tout $n$. Si la suite est définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ avec $u_n > 0$, on peut aussi étudier le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ par rapport à 1.

Étape 2 : Démontrer que la suite est bornée

Pour montrer qu'une suite est majorée (resp. minorée), on cherche un majorant $M$ (resp. un minorant $m$) tel que $u_n \leq M$ (resp. $u_n \geq m$) pour tout $n$. Cette démonstration se fait souvent par récurrence. L'initialisation consiste à vérifier la propriété pour $n=0$. L'hérédité suppose la propriété vraie pour un certain $k$ et la démontre pour $k+1$ en utilisant la relation de récurrence et les propriétés de la fonction associée.

Étape 3 : Appliquer le théorème de convergence monotone

Si la suite est croissante et majorée, alors elle converge. Si la suite est décroissante et minorée, alors elle converge. Il est crucial de bien identifier les deux conditions (monotonie ET bornée) pour pouvoir conclure à la convergence.

Étape 4 : Calculer la limite (si nécessaire)

Si la suite est définie par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$ et qu'elle converge vers une limite $L$, alors $L$ est un point fixe de $f$, c'est-à-dire $L = f(L)$. Il faut résoudre cette équation pour trouver la valeur de $L$. Il est important de vérifier que la limite trouvée est compatible avec les bornes de la suite (par exemple, si $u_n \in [0, 1]$, alors $L \in [0, 1]$).

Exemple résolu

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = \sqrt{2u_n + 3}$. Montrer que la suite $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.

1. Démontrer que la suite est majorée par 3 (par récurrence).

Initialisation : Pour $n=0$, $u_0 = 0 \leq 3$. La propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : Supposons que pour un certain $k \in \mathbb{N}$, $u_k \leq 3$. Montrons que $u_{k+1} \leq 3$.
On a $u_k \leq 3$, donc $2u_k \leq 6$, ce qui implique $2u_k + 3 \leq 9$.
Puisque la fonction racine carrée est croissante sur $[0, +\infty[$, on a $\sqrt{2u_k + 3} \leq \sqrt{9}$.
Donc $u_{k+1} \leq 3$.
La propriété est héréditaire. Par le principe de récurrence, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \leq 3$. La suite est majorée par 3.

2. Démontrer que la suite est croissante (par récurrence ou par étude de $u_{n+1}-u_n$).

On va étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$.
$u_{n+1} - u_n = \sqrt{2u_n + 3} - u_n$.
Pour étudier le signe, on peut multiplier par l'expression conjuguée ou résoudre l'inéquation $\sqrt{2u_n + 3} \geq u_n$.
Puisque $u_n \geq 0$ (car $u_0=0$ et $u_{n+1} = \sqrt{2u_n+3} \geq 0$), on peut élever au carré :
$2u_n + 3 \geq u_n^2$
$u_n^2 - 2u_n - 3 \leq 0$
On cherche les racines du trinôme $x^2 - 2x - 3 = 0$. Le discriminant est $\Delta = (-2)^2 - 4 × 1 × (-3) = 4 + 12 = 16$.
Les racines sont $x_1 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2-4}{2} = -1$ et $x_2 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2+4}{2} = 3$.
Le trinôme $x^2 - 2x - 3$ est négatif ou nul entre ses racines, donc pour $x \in [-1, 3]$.
Puisque nous avons montré que $0 \leq u_n \leq 3$, on a bien $u_n^2 - 2u_n - 3 \leq 0$ pour tout $n$.
Donc $\sqrt{2u_n + 3} \geq u_n$, ce qui signifie $u_{n+1} \geq u_n$.
La suite $(u_n)$ est croissante.

3. Conclure à la convergence.

La suite $(u_n)$ est croissante (d'après l'étape 2) et majorée par 3 (d'après l'étape 1).
D'après le théorème de convergence monotone, toute suite croissante et majorée converge. Donc la suite $(u_n)$ converge.

4. Déterminer la limite $L$.

Soit $L$ la limite de la suite $(u_n)$. Puisque $u_{n+1} = \sqrt{2u_n + 3}$, en passant à la limite, on obtient $L = \sqrt{2L + 3}$.
On résout cette équation :
$L^2 = 2L + 3$ (on doit avoir $L \geq 0$ car $u_n \geq 0$ pour tout $n$)
$L^2 - 2L - 3 = 0$
Les solutions de cette équation sont $L = -1$ et $L = 3$ (calculées à l'étape 2).
Puisque $u_n \geq 0$ pour tout $n$, la limite $L$ doit être positive ou nulle. Donc $L = 3$.
La limite de la suite $(u_n)$ est 3.

La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par 3, elle converge donc vers une limite $L$. En résolvant $L = \sqrt{2L+3}$ avec $L \geq 0$, on trouve $L=3$. La suite $(u_n)$ converge vers 3.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Oubli d'une condition ou mauvaise justification

Oublier de prouver la monotonie ou le caractère borné de la suite : les deux conditions sont nécessaires pour appliquer le théorème de convergence monotone.
Confondre 'majorée' et 'minorée' ou 'croissante' et 'décroissante' dans l'application du théorème.
Ne pas vérifier la compatibilité de la limite trouvée avec les bornes de la suite (par exemple, si $u_n \in [0,1]$, la limite ne peut pas être 2).
Ne pas justifier l'élévation au carré lors de la résolution de $L = f(L)$ si $f$ contient une racine carrée (il faut s'assurer que les deux membres sont positifs).

Exercice type BAC

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = \frac{4u_n + 2}{u_n + 3}$.

Calculer $u_1$ et $u_2$.
On admet que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n > 0$. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \leq 2$.
Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
En déduire que la suite $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.

Calcul de $u_1$ et $u_2$ :
$u_1 = \frac{4u_0 + 2}{u_0 + 3} = \frac{4 × 1 + 2}{1 + 3} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.
$u_2 = \frac{4u_1 + 2}{u_1 + 3} = \frac{4 × \frac{3}{2} + 2}{\frac{3}{2} + 3} = \frac{6 + 2}{\frac{3}{2} + \frac{6}{2}} = \frac{8}{\frac{9}{2}} = 8 × \frac{2}{9} = \frac{16}{9}$.
Démonstration par récurrence que $u_n \leq 2$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
Initialisation : Pour $n=0$, $u_0 = 1$. On a $1 \leq 2$. La propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : Supposons que pour un certain $k \in \mathbb{N}$, $u_k \leq 2$. Montrons que $u_{k+1} \leq 2$.
On étudie le signe de $u_{k+1} - 2$ :
$u_{k+1} - 2 = \frac{4u_k + 2}{u_k + 3} - 2 = \frac{4u_k + 2 - 2(u_k + 3)}{u_k + 3} = \frac{4u_k + 2 - 2u_k - 6}{u_k + 3} = \frac{2u_k - 4}{u_k + 3}$.
D'après l'hypothèse de récurrence, $u_k \leq 2$, donc $2u_k \leq 4$, ce qui implique $2u_k - 4 \leq 0$.
De plus, on admet que $u_k > 0$, donc $u_k + 3 > 0$.
Ainsi, le numérateur est négatif ou nul et le dénominateur est strictement positif, donc $u_{k+1} - 2 \leq 0$, ce qui signifie $u_{k+1} \leq 2$.
La propriété est héréditaire. Par le principe de récurrence, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \leq 2$. La suite est majorée par 2.
Démonstration que la suite $(u_n)$ est croissante :
On étudie le signe de $u_{n+1} - u_n$ :
$u_{n+1} - u_n = \frac{4u_n + 2}{u_n + 3} - u_n = \frac{4u_n + 2 - u_n(u_n + 3)}{u_n + 3} = \frac{4u_n + 2 - u_n^2 - 3u_n}{u_n + 3} = \frac{-u_n^2 + u_n + 2}{u_n + 3}$.
On cherche les racines du trinôme $-x^2 + x + 2 = 0$. Le discriminant est $\Delta = 1^2 - 4 × (-1) × 2 = 1 + 8 = 9$.
Les racines sont $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 × (-1)} = \frac{-1 - 3}{-2} = \frac{-4}{-2} = 2$ et $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 × (-1)} = \frac{-1 + 3}{-2} = \frac{2}{-2} = -1$.
Le trinôme $-x^2 + x + 2$ est positif ou nul entre ses racines, c'est-à-dire pour $x \in [-1, 2]$.
On sait que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n > 0$ (admis) et $u_n \leq 2$ (démontré à la question 2). Donc $u_n \in ]0, 2]$.
Sur cet intervalle, $-u_n^2 + u_n + 2 \geq 0$.
De plus, $u_n + 3 > 0$ car $u_n > 0$.
Donc $u_{n+1} - u_n \geq 0$. La suite $(u_n)$ est croissante.
Convergence de la suite $(u_n)$ et détermination de sa limite :
La suite $(u_n)$ est croissante (d'après la question 3) et majorée par 2 (d'après la question 2).
D'après le théorème de convergence monotone, toute suite croissante et majorée converge. Donc la suite $(u_n)$ converge vers une limite $L$.
Puisque $u_{n+1} = \frac{4u_n + 2}{u_n + 3}$, en passant à la limite, on obtient $L = \frac{4L + 2}{L + 3}$.
On résout cette équation :
$L(L + 3) = 4L + 2$
$L^2 + 3L = 4L + 2$
$L^2 - L - 2 = 0$
On cherche les racines du trinôme $x^2 - x - 2 = 0$. Le discriminant est $\Delta = (-1)^2 - 4 × 1 × (-2) = 1 + 8 = 9$.
Les racines sont $x_1 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1$ et $x_2 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2$.
Puisque $u_n > 0$ pour tout $n$, la limite $L$ doit être positive ou nulle. De plus, $u_n \leq 2$ et la suite est croissante, donc la limite $L$ doit être inférieure ou égale à 2. La seule solution compatible est $L = 2$.
La suite $(u_n)$ converge vers 2.

Questions fréquentes

Le théorème de convergence monotone s'applique-t-il si la suite n'est pas définie par une relation de récurrence ?

Oui, le théorème de convergence monotone s'applique à toute suite $(u_n)$ dont on peut prouver qu'elle est monotone (croissante ou décroissante) et bornée (majorée et minorée), quelle que soit sa définition (explicite en fonction de $n$, ou par récurrence).

Comment savoir si une suite est majorée ou minorée sans faire de récurrence ?

La démonstration par récurrence est la méthode la plus courante et la plus rigoureuse pour prouver qu'une suite est bornée, surtout lorsqu'elle est définie par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Pour des suites définies explicitement, on peut parfois étudier la fonction $f(x)$ associée à $u_n = f(n)$ et déterminer ses bornes sur $\mathbb{N}$.

Si une suite est monotone mais non bornée, converge-t-elle ?

Non. Si une suite est croissante et non majorée, elle tend vers $+\infty$. Si elle est décroissante et non minorée, elle tend vers $-\infty$. Dans les deux cas, elle diverge. La condition d'être bornée est essentielle pour la convergence d'une suite monotone.

Est-ce que toutes les suites convergentes sont monotones et bornées ?

Non, pas nécessairement monotones. Une suite convergente est toujours bornée, mais elle n'est pas forcément monotone. Par exemple, la suite $u_n = \frac{(-1)^n}{n+1}$ converge vers 0 mais n'est pas monotone (elle oscille autour de 0). Cependant, à partir d'un certain rang, une suite convergente peut devenir monotone.

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