Somme des termes d'une suite : méthode télescopique – Fiche BAC Terminale Maths

Définition

La méthode télescopique est une technique de calcul de sommes de termes d'une suite, où chaque terme de la somme peut être exprimé comme une différence de deux termes consécutifs d'une autre suite. Cela permet d'annuler la plupart des termes intermédiaires, ne laissant que le premier et le dernier terme.

💡 Bon réflexe : Face à une somme complexe, cherche toujours si chaque terme $u_k$ peut s'écrire comme une différence $v_{k+1} - v_k$ pour appliquer la méthode télescopique.

Méthode — Somme des termes d'une suite : méthode télescopique

Identifier la forme télescopique

Pour une somme $S_N = \sum_{k=p}^{N} u_k$, l'objectif est d'exprimer chaque terme $u_k$ sous la forme $u_k = v_{k+1} - v_k$ (ou $v_k - v_{k+1}$) pour une certaine suite $(v_k)$. Cette étape est cruciale et demande souvent de la manipulation algébrique ou une reconnaissance de formes.

Écrire la somme sous forme développée

Une fois $u_k = v_{k+1} - v_k$ identifié, on écrit la somme en détaillant les premiers et les derniers termes : $$S_N = (v_{p+1} - v_p) + (v_{p+2} - v_{p+1}) + (v_{p+3} - v_{p+2}) + \dots + (v_{N+1} - v_N)$$.

Simplifier la somme

Observer que les termes intermédiaires s'annulent deux à deux. Par exemple, $-v_{p+1}$ s'annule avec $+v_{p+1}$, $-v_{p+2}$ avec $+v_{p+2}$, etc. C'est l'effet 'télescope' qui donne son nom à la méthode.

Écrire le résultat final

Après simplification, il ne reste que le premier terme (avec son signe) et le dernier terme (avec son signe). Dans le cas $u_k = v_{k+1} - v_k$, la somme se réduit à $S_N = v_{N+1} - v_p$.

Exemple résolu

Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n \geq 1$ par $u_n = \frac{1}{n(n+1)}$. Calculer la somme $S_N = \sum_{k=1}^{N} u_k = \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{k(k+1)}$ pour tout $N \geq 1$.

Identifier la forme télescopique

On cherche à écrire $u_k = \frac{1}{k(k+1)}$ sous la forme $v_{k+1} - v_k$. On peut utiliser la décomposition en éléments simples : $$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+1}$$ En multipliant par $k(k+1)$, on obtient $1 = A(k+1) + Bk$. Pour $k=0$, $1 = A$. Pour $k=-1$, $1 = -B$, donc $B=-1$. Ainsi, $u_k = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$. On peut donc poser $v_k = -\frac{1}{k+1}$ ou $v_k = \frac{1}{k}$. Si on choisit $v_k = \frac{1}{k}$, alors $v_{k+1} = \frac{1}{k+1}$. Donc $u_k = v_k - v_{k+1}$. Si on choisit $v_k = -\frac{1}{k+1}$, alors $v_{k+1} = -\frac{1}{k+2}$. Ce n'est pas la bonne forme. Reprenons : $u_k = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$. Si on pose $v_k = \frac{1}{k}$, alors $u_k = v_k - v_{k+1}$. C'est une forme télescopique.

Écrire la somme sous forme développée

La somme $S_N$ s'écrit : $$S_N = \sum_{k=1}^{N} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right)$$ Développons les termes : $$S_N = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \dots + \left( \frac{1}{N} - \frac{1}{N+1} \right)$$.

Simplifier la somme

On observe que les termes intermédiaires s'annulent : $$S_N = \frac{1}{1} \cancel{- \frac{1}{2}} \cancel{+ \frac{1}{2}} \cancel{- \frac{1}{3}} \cancel{+ \frac{1}{3}} \cancel{- \frac{1}{4}} + \dots \cancel{+ \frac{1}{N}} - \frac{1}{N+1}$$.

Écrire le résultat final

Après simplification, il ne reste que le premier terme de la première parenthèse et le dernier terme de la dernière parenthèse : $$S_N = 1 - \frac{1}{N+1}$$.

La somme $S_N = \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{k(k+1)}$ est égale à $1 - \frac{1}{N+1}$.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Erreur de bornes

Oublier de vérifier les indices de début et de fin de la somme lors de la simplification télescopique. Si la somme commence à $k=p$ et se termine à $k=N$, les termes restants seront $v_{N+1}$ et $v_p$ (ou $v_N$ et $v_{p-1}$ selon la forme $v_{k+1}-v_k$ ou $v_k-v_{k+1}$).
Ne pas identifier correctement la forme $v_{k+1} - v_k$ ou $v_k - v_{k+1}$. Une erreur de signe peut conduire à un résultat incorrect.
Tenter d'appliquer la méthode télescopique à une somme qui n'est pas de cette forme. La décomposition en éléments simples ou une factorisation sont souvent nécessaires pour faire apparaître la forme télescopique.

Exercice type BAC

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n \geq 1$ par $u_n = \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right)$.

Montrer que pour tout $n \geq 1$, $u_n = \ln(n+1) - \ln(n)$.
En déduire l'expression simplifiée de la somme $S_N = \sum_{k=1}^{N} u_k$ pour tout entier $N \geq 1$.
Déterminer la limite de $S_N$ lorsque $N$ tend vers $+\infty$.

Pour tout entier $n \geq 1$, on a :
$$u_n = \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right)$$
On réduit au même dénominateur l'expression à l'intérieur du logarithme :
$$u_n = \ln\left(\frac{n}{n} + \frac{1}{n}\right) = \ln\left(\frac{n+1}{n}\right)$$
En utilisant la propriété du logarithme $\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$, on obtient :
$$u_n = \ln(n+1) - \ln(n)$$
Ceci est bien la forme demandée.
Nous devons calculer la somme $S_N = \sum_{k=1}^{N} u_k = \sum_{k=1}^{N} (\ln(k+1) - \ln(k))$.
C'est une somme télescopique. Développons les termes :
$$S_N = (\ln(1+1) - \ln(1)) + (\ln(2+1) - \ln(2)) + (\ln(3+1) - \ln(3)) + \dots + (\ln(N+1) - \ln(N))$$$$S_N = (\ln(2) - \ln(1)) + (\ln(3) - \ln(2)) + (\ln(4) - \ln(3)) + \dots + (\ln(N+1) - \ln(N))$$
On observe que les termes intermédiaires s'annulent :
$$S_N = \cancel{\ln(2)} - \ln(1) + \cancel{\ln(3)} - \cancel{\ln(2)} + \cancel{\ln(4)} - \cancel{\ln(3)} + \dots + \ln(N+1) - \cancel{\ln(N)}$$
Il ne reste que le premier terme de la première parenthèse (avec son signe) et le dernier terme de la dernière parenthèse (avec son signe) :
$$S_N = \ln(N+1) - \ln(1)$$
Puisque $\ln(1) = 0$, on obtient :
$$S_N = \ln(N+1)$$
Nous devons déterminer la limite de $S_N$ lorsque $N$ tend vers $+\infty$.
On a $S_N = \ln(N+1)$.
Lorsque $N \to +\infty$, alors $N+1 \to +\infty$.
On sait que $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$.
Donc, $\lim_{N \to +\infty} S_N = \lim_{N \to +\infty} \ln(N+1) = +\infty$.

Questions fréquentes

La méthode télescopique est-elle toujours applicable ?

Non, la méthode télescopique n'est applicable que si chaque terme de la somme peut être exprimé comme une différence de termes consécutifs d'une autre suite, c'est-à-dire sous la forme $u_k = v_{k+1} - v_k$ ou $u_k = v_k - v_{k+1}$. Il faut souvent manipuler l'expression de $u_k$ pour faire apparaître cette forme.

Comment reconnaître une somme télescopique ?

Une somme télescopique est souvent reconnaissable par la présence de fractions avec des produits au dénominateur (comme $\frac{1}{k(k+1)}$), ou des logarithmes de quotients (comme $\ln(\frac{k+1}{k})$), ou des expressions impliquant des racines carrées (comme $\sqrt{k+1} - \sqrt{k}$). L'idée est de pouvoir décomposer $u_k$ en une différence.

Que se passe-t-il si la somme commence à un indice différent de 1 ?

La méthode reste la même. Si la somme est $\sum_{k=p}^{N} (v_{k+1} - v_k)$, alors le résultat sera $v_{N+1} - v_p$. Les termes qui s'annulent sont toujours les intermédiaires, seuls les termes aux bornes de la somme (début et fin) subsistent. Il faut juste être attentif aux indices de ces termes extrêmes.

Y a-t-il d'autres types de sommes que l'on doit savoir calculer au BAC ?

Oui, outre les sommes télescopiques, il faut maîtriser les sommes arithmétiques (somme des termes d'une suite arithmétique : $N \times \frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}$) et les sommes géométriques (somme des termes d'une suite géométrique : $\text{premier terme} \times \frac{1 - \text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1 - \text{raison}}$). La méthode télescopique est une technique spécifique pour certaines formes de suites.

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