Les suites et les limites représentent une part majeure du BAC maths spécialité — présents dans quasiment tous les sujets depuis la réforme du lycée. Ce ne sont pas deux chapitres isolés : comprendre les suites est indispensable pour aborder les limites sereinement, et les deux se retrouvent entremêlés dans la plupart des exercices.

Que vous prépariez le BAC de juin, les rattrapages ou simplement vos interros de Terminale, cet article vous donne l'ensemble des outils, méthodes et réflexes à avoir en tête. Chaque notion est illustrée par un exemple corrigé.

1. Les suites au BAC : ce que l'examinateur attend

Avant d'entrer dans les formules, il est utile de comprendre ce que le jury BAC cherche vraiment à évaluer dans les exercices sur les suites :

ℹ️

Méthode globale : dans un exercice sur les suites, commencez toujours par identifier le type de suite (arithmétique, géométrique, par récurrence), écrire sa définition précise, puis appliquer les formules correspondantes. Ne sautez jamais cette étape d'identification.

2. Suites arithmétiques — méthode et formules

Une suite arithmétique est une suite dont on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre, appelé la raison et noté r.

Définition et terme général

Définition par récurrence
u n+1 = u n + r avec r la raison (constante)
Terme général (formule directe)
u n = u 0 + n × r ou u n = u p + (n − p) × r
Somme de termes consécutifs
S = u 0 + u 1 + … + u n = (n + 1) × (u 0 + u n) / 2
Nombre de termes × moyenne du premier et du dernier

Sens de variation

Exemple corrigé

Exemple — Suite arithmétique
Soit (u n) la suite arithmétique de premier terme u 0 = 3 et de raison r = 5.
1. Calculer u 10.
2. Calculer la somme S = u 0 + u 1 + … + u 10.

Question 1 — Calcul de u 10

Formuleu n = u 0 + n × r
Donnéesu 0 = 3, r = 5, n = 10
Calculu 10 = 3 + 10 × 5 = 3 + 50 = 53
u 10 = 53

Question 2 — Somme des 11 premiers termes

FormuleS = (n + 1) × (u 0 + u n) / 2
Donnéesn = 10, u 0 = 3, u 10 = 53
CalculS = 11 × (3 + 53) / 2 = 11 × 56 / 2 = 11 × 28 = 308
S = 308

3. Suites géométriques — méthode et formules

Une suite géométrique est une suite dont on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre, appelé la raison et noté q.

Définition et terme général

Définition par récurrence
u n+1 = u n × q avec q ≠ 0 la raison
Terme général (formule directe)
u n = u 0 × q n ou u n = u p × q n − p
Somme de termes consécutifs (si q ≠ 1)
S = u 0 × (1 − q n+1) / (1 − q)
Si q = 1 : S = (n + 1) × u 0

Sens de variation

Exemple corrigé

Exemple — Suite géométrique
Soit (u n) la suite géométrique de premier terme u 0 = 1 et de raison q = 2.
Calculer u 8.
Formuleu n = u 0 × q n
Donnéesu 0 = 1, q = 2, n = 8
Calculu 8 = 1 × 2 8 = 256
u 8 = 256
⚠️

Piège classique : ne pas confondre u 0 et u 1 comme premier terme. Vérifiez toujours si l'énoncé donne u 0 ou u 1 avant d'appliquer la formule. Si le premier terme est u 1, alors u n = u 1 × q n − 1.

4. Suites définies par récurrence

Une suite définie par récurrence est donnée par une relation entre u n+1 et u n (et parfois les termes précédents), ainsi qu'une valeur initiale u 0 (ou u 1). Contrairement aux suites arithmétiques et géométriques, il n'existe pas toujours de formule explicite pour le terme général.

Comment calculer les premiers termes

On applique la relation de récurrence à partir du terme initial, terme par terme :

Exemple : u 0 = 2, u n+1 = 2u n + 1
u 1 = 2 × 2 + 1 = 5
u 2 = 2 × 5 + 1 = 11
u 3 = 2 × 11 + 1 = 23

Comment étudier le sens de variation

Pour une suite définie par récurrence, on calcule u n+1 − u n et on étudie le signe de cette différence :

Pour certaines suites à termes strictement positifs, on peut aussi étudier le rapport u n+1 / u n et le comparer à 1.

⚠️

Piège fréquent : ne pas confondre les deux méthodes d'étude du sens de variation. Pour les suites à termes positifs, certains élèves mélangent u n+1 − u n (à comparer à 0) et u n+1 / u n (à comparer à 1). Choisissez la méthode adaptée à la forme de la relation de récurrence et soyez cohérent dans votre rédaction.

5. Raisonnement par récurrence

Le raisonnement par récurrence est une technique de démonstration qui permet de prouver qu'une propriété P(n) est vraie pour tout entier naturel n. C'est l'une des démonstrations les plus attendues au BAC — elle est quasi systématiquement au programme.

Les 3 étapes obligatoires

  1. Initialisation
    Vérifier que la propriété P(0) — ou P(1) selon le cas — est vraie. C'est une vérification numérique directe. Ne pas sauter cette étape, elle vaut des points.
  2. Hérédité
    Supposer que P(n) est vraie pour un certain entier n (c'est l'hypothèse de récurrence), puis démontrer que P(n+1) est vraie. C'est l'étape centrale — elle justifie la propagation de la propriété.
  3. Conclusion
    Rédiger une phrase de conclusion : « Par le principe de récurrence, P(n) est vraie pour tout entier n. » Cette phrase est obligatoire pour avoir tous les points.

Exemple corrigé : démontrer que u n = 2 n + 1

Démonstration par récurrence
Soit (u n) la suite définie par u 0 = 2 et u n+1 = 2u n − 1.
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, u n = 2 n + 1.

Étape 1 — Initialisation (n = 0)

u 0 = 2 (donné par l'énoncé)
2 0 + 1 = 1 + 1 = 2→ égalité vérifiée
La propriété est vraie au rang 0.

Étape 2 — Hérédité

Supposons que pour un entier n ≥ 0, on a u n = 2 n + 1. (Hypothèse de récurrence)

Montrons que u n+1 = 2 n+1 + 1.

Relationu n+1 = 2u n − 1
H. Rec.= 2(2 n + 1) − 1
Calcul= 2 n+1 + 2 − 1 = 2 n+1 + 1
u n+1 = 2 n+1 + 1 — la propriété est héréditaire

Étape 3 — Conclusion

La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire. Par le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, u n = 2 n + 1.

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6. Convergence d'une suite

Une suite converge si elle se rapproche d'une valeur fixe (appelée sa limite) quand n tend vers l'infini. Si elle ne converge pas, elle diverge (elle tend vers ±∞ ou oscille sans jamais se stabiliser).

Critère fondamental : suite monotone bornée

📐 Théorème

Toute suite monotone et bornée est convergente. Autrement dit : si une suite est croissante et majorée (il existe un réel M tel que u n ≤ M pour tout n), elle converge. De même, une suite décroissante et minorée converge.

Limite d'une suite géométrique

Convergence selon la raison q
|q| < 1 (ex : q = 0,5)→ u n = u 0 × q n → 0 (suite converge vers 0)
q = 1→ u n = u 0 pour tout n (constante)
q > 1 (ex : q = 2)→ u n → +∞ (diverge)
q ≤ −1→ la suite diverge (alterne et ne se stabilise pas)
⚠️

Erreur classique : une suite bornée n'est pas forcément convergente. La suite (−1) n est bornée (entre −1 et 1) mais diverge car elle alterne indéfiniment entre −1 et 1. Il faut la condition monotone ET bornée pour conclure à la convergence.

Calcul de la limite : méthode

Lorsqu'une suite converge vers une limite l, on pose dans la relation de récurrence u n+1 = f(u n) que u n+1 → l et u n → l. On obtient alors l'équation l = f(l), qu'on résout pour trouver la valeur de la limite.

7. Limites de fonctions au BAC

Les limites de fonctions sont l'autre grand pilier de ce chapitre. Elles permettent de décrire le comportement d'une fonction quand la variable tend vers un point ou vers l'infini.

Limites en +∞ et −∞

On étudie ce que devient f(x) quand x devient très grand (positivement ou négativement). Les résultats fondamentaux à connaître :

Fonctions de référence
lim x→+∞ x n = +∞pour n entier ≥ 1
lim x→+∞ e x = +∞et lim x→−∞ e x = 0
lim x→+∞ ln(x) = +∞et lim x→0⁺ ln(x) = −∞
lim x→+∞ 1/x = 0et lim x→0⁺ 1/x = +∞

Formes indéterminées

Certaines limites ne peuvent pas se lire directement — elles demandent un traitement particulier. Ce sont les formes indéterminées :

⚡ Les 3 formes indéterminées au BAC

∞ − ∞ : factoriser par le terme dominant, puis simplifier.
∞ / ∞ : diviser numérateur et dénominateur par le terme dominant.
0 × ∞ : réécrire le produit comme un quotient pour lever l'indétermination.

Règle des croissances comparées

Cette règle est indispensable pour lever de nombreuses formes indéterminées. Elle établit une hiérarchie des vitesses de croissance :

Croissances comparées (quand x → +∞)
e x >> x n >> ln(x) pour tout n ≥ 1
lim x→+∞ x n / e x = 0 → l'exponentielle "écrase" tout polynôme
lim x→+∞ ln(x) / x n = 0 → le logarithme est dominé par toute puissance

Ces règles s'appliquent aussi avec la variable u n quand n → +∞, ce qui fait le pont entre limites de suites et limites de fonctions.

Pour approfondir ces notions, consultez les fiches BAC Limites et Continuité et les fiches Fonctions de référence disponibles en ligne.

8. Exercice type BAC corrigé

Voici un exercice complet en deux parties, proche des exercices que l'on trouve dans les sujets BAC spécialité maths depuis la réforme.

Exercice type BAC — Suites et limites
Soit (u n) la suite définie par u 0 = 4 et pour tout entier naturel n : u n+1 = (u n / 2) + 1.

Partie A — Étude de la suite
1. Calculer u 1, u 2 et u 3. Que semble-t-il se passer ?
2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, u n ≥ 2.
3. Étudier la monotonie de la suite (u n).
4. En déduire que la suite converge, puis déterminer sa limite.

Partie B — Lien avec la représentation graphique
5. Soit f la fonction définie par f(x) = x/2 + 1. Expliquer comment on peut représenter graphiquement les termes de la suite à l'aide de la courbe de f et de la droite d'équation y = x.

Corrigé

Question 1 — Premiers termes

u 1 = u 0 / 2 + 1 = 4/2 + 1 = 3
u 2 = u 1 / 2 + 1 = 3/2 + 1 = 2,5
u 3 = u 2 / 2 + 1 = 2,5/2 + 1 = 2,25

La suite semble décroissante et se rapprocher de 2.

Question 2 — Démonstration par récurrence de u n ≥ 2

Initialisation : u 0 = 4 ≥ 2. Vrai.

Hérédité : Supposons u n ≥ 2 pour un certain n.

H. Rec.u n ≥ 2
÷ 2u n / 2 ≥ 1
+ 1u n / 2 + 1 ≥ 2, soit u n+1 ≥ 2
La propriété est héréditaire

Conclusion : Par le principe de récurrence, u n ≥ 2 pour tout entier n.

Question 3 — Monotonie

Calculu n+1 − u n = (u n/2 + 1) − u n = −u n/2 + 1 = (2 − u n) / 2
SigneOr u n ≥ 2, donc 2 − u n ≤ 0, donc u n+1 − u n ≤ 0
La suite (u n) est décroissante

Question 4 — Convergence et limite

La suite est décroissante (Q3) et minorée par 2 (Q2). D'après le théorème des suites monotones bornées, elle converge.

Notons l sa limite. En passant à la limite dans la relation de récurrence u n+1 = u n/2 + 1 :

Limitel = l/2 + 1
Résoudrel − l/2 = 1, soit l/2 = 1, soit l = 2
lim n→+∞ u n = 2

Question 5 — Interprétation graphique

On trace la courbe de f(x) = x/2 + 1 et la droite y = x. Partant du point d'abscisse u 0 = 4 sur l'axe des x, on monte verticalement jusqu'à la courbe de f pour obtenir u 1 = f(u 0) = 3. On se déplace ensuite horizontalement jusqu'à la droite y = x pour reporter cette valeur en abscisse, puis on recommence. Cette construction en escalier converge vers le point fixe l = 2, intersection de la courbe de f et de la droite y = x (car f(2) = 2).

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9. Questions fréquentes sur les suites et les limites au BAC

Les suites tombent-elles à chaque session du BAC ?
Oui, quasiment systématiquement. Les suites figurent dans la quasi-totalité des sujets de BAC maths spécialité depuis la réforme. Elles apparaissent à la fois comme exercice dédié et comme outil dans d'autres problèmes (probabilités, dénombrement, géométrie dans l'espace). C'est un des chapitres les plus rentables à maîtriser.
Quelle est la différence entre une suite arithmétique et géométrique ?
Une suite arithmétique progresse par addition d'une constante r (la raison) : chaque terme s'obtient en ajoutant r au précédent. Une suite géométrique progresse par multiplication : chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par q (la raison). Exemple : 2, 5, 8, 11… est arithmétique (r = 3) ; 2, 6, 18, 54… est géométrique (q = 3).
Comment démontrer qu'une suite converge au BAC ?
La méthode principale est le théorème des suites monotones bornées : toute suite croissante et majorée (ou décroissante et minorée) est convergente. Il faut montrer la monotonie (par u n+1 − u n ou u n+1/u n selon le type), puis l'existence d'une borne, et conclure. Pour les suites géométriques, la convergence dépend directement de la raison q.
Les formes indéterminées sont-elles difficiles à maîtriser ?
Elles demandent de la méthode, mais pas de génie. L'idée est toujours la même : transformer l'expression pour faire apparaître un quotient ou un produit dont on connaît la limite. Les outils sont : factoriser par le terme dominant, multiplier par la quantité conjuguée, ou utiliser les croissances comparées (e x domine x n qui domine ln x).
Faut-il connaître les démonstrations de cours au BAC maths ?
Certaines démonstrations sont explicitement au programme et peuvent être demandées : la démonstration par récurrence, la preuve de la formule du terme général d'une suite arithmétique ou géométrique, et certains raisonnements sur la convergence. Elles représentent en général 2 à 4 points dans un exercice. Les connaître parfaitement est un excellent investissement.

Article rédigé par Adil, professeur de maths indépendant à Cergy, Major de promotion Master Mathématiques et Physique (Université CY Cergy Paris), 15 ans d'expérience en cours particuliers du collège au lycée, spécialité BAC Terminale.