Algèbre & Combinatoire · Fiche N°5 / 110

La formule du binôme de Newton $(a+b)^n$

Définition, méthode rigoureuse, exemples corrigés et exercice type BAC.

📚 Terminale Spécialité Maths ⏱ Lecture : 5 min ✅ Programme officiel BO 2019

Définition

La formule du binôme de Newton permet de développer une puissance entière $n$ d'une somme de deux termes $a$ et $b$. Pour tous nombres réels ou complexes $a$ et $b$, et pour tout entier naturel $n$, on a : $$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$ où $\binom{n}{k}$ (lu « k parmi n ») désigne le coefficient binomial, représentant le nombre de façons de choisir $k$ éléments parmi $n$ sans ordre et sans répétition.

💡 Bon réflexe : Pour le BAC, maîtrisez le calcul des coefficients binomiaux et soyez rigoureux avec les signes et les puissances lors du développement.
(a + b)ⁿ = Σ Cₙᵏ aⁿ⁻ᵏ bᵏk=0 à n(a+b)² = a² + 2ab + b²(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³Σ Cₙᵏ = 2ⁿ (somme ligne)Σ (−1)ᵏ Cₙᵏ = 0

Méthode — La formule du binôme de Newton $(a+b)^n$

1

Identifier $a$, $b$ et $n$

Dans l'expression $(a+b)^n$ à développer, identifiez clairement les deux termes $a$ et $b$, ainsi que l'exposant $n$. Ces termes peuvent être des nombres, des variables ou des expressions algébriques.

2

Écrire la formule générale du binôme

Rappelez-vous la formule du binôme de Newton : $$(a+b)^n = \binom{n}{0} a^n b^0 + \binom{n}{1} a^{n-1} b^1 + \dots + \binom{n}{k} a^{n-k} b^k + \dots + \binom{n}{n} a^0 b^n$$ ou sous forme de somme : $$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

3

Calculer les coefficients binomiaux

Les coefficients binomiaux $\binom{n}{k}$ peuvent être calculés à l'aide de la formule $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ ou en utilisant le triangle de Pascal. Rappelez-vous les propriétés importantes : $\binom{n}{0} = 1$, $\binom{n}{n} = 1$, $\binom{n}{1} = n$, et $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$.

4

Substituer et simplifier

Remplacez $a$, $b$ et les coefficients binomiaux calculés dans la formule. Développez chaque terme $a^{n-k} b^k$ et simplifiez l'expression résultante. Faites attention aux signes et aux puissances, surtout si $a$ ou $b$ sont des expressions négatives ou des monômes complexes.

Exemple résolu

Développer l'expression $(2x - 3)^4$ en utilisant la formule du binôme de Newton.

1
Identifier $a$, $b$ et $n$
Dans l'expression $(2x - 3)^4$, nous avons : $a = 2x$, $b = -3$ et $n = 4$.
2
Écrire la formule générale du binôme pour $n=4$
Pour $n=4$, la formule est : $$(a+b)^4 = \binom{4}{0} a^4 b^0 + \binom{4}{1} a^3 b^1 + \binom{4}{2} a^2 b^2 + \binom{4}{3} a^1 b^3 + \binom{4}{4} a^0 b^4$$
3
Calculer les coefficients binomiaux pour $n=4$
Nous calculons les coefficients :
  • $\binom{4}{0} = 1$
  • $\binom{4}{1} = 4$
  • $\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 × 3 × 2 × 1}{(2 × 1)(2 × 1)} = 6$
  • $\binom{4}{3} = 4$ (car $\binom{4}{3} = \binom{4}{4-3} = \binom{4}{1}$)
  • $\binom{4}{4} = 1$
4
Substituer et simplifier
Nous substituons $a=2x$, $b=-3$ et les coefficients binomiaux dans la formule : $$(2x - 3)^4 = 1 × (2x)^4 (-3)^0 + 4 × (2x)^3 (-3)^1 + 6 × (2x)^2 (-3)^2 + 4 × (2x)^1 (-3)^3 + 1 × (2x)^0 (-3)^4$$ Simplifions chaque terme :
  • $1 × (16x^4) × 1 = 16x^4$
  • $4 × (8x^3) × (-3) = -96x^3$
  • $6 × (4x^2) × 9 = 216x^2$
  • $4 × (2x) × (-27) = -216x$
  • $1 × 1 × 81 = 81$
5
Écrire le résultat final
En combinant tous les termes simplifiés, nous obtenons le développement complet.

Ainsi, le développement de $(2x - 3)^4$ est : $$(2x - 3)^4 = 16x^4 - 96x^3 + 216x^2 - 216x + 81$$

⚠️ Piège fréquent au BAC — Erreurs de signe et de puissance

  1. Oublier les parenthèses autour de $a$ ou $b$ si ce sont des expressions (ex: $(2x)^n$ et non $2x^n$).
  2. Ne pas gérer correctement les signes négatifs, surtout si $b$ est négatif (ex: $(-3)^2 = 9$ mais $(-3)^3 = -27$).
  3. Faire des erreurs de calcul avec les puissances ou les coefficients binomiaux (ex: $\binom{n}{k}$ vs $\binom{n}{n-k}$).
  4. Oublier que $b^0 = 1$ et $a^0 = 1$ (sauf si $a=0$ ou $b=0$, mais dans le contexte du binôme, on considère généralement $a,b \neq 0$).
  5. Confondre la formule du binôme de Newton avec d'autres identités remarquables ou des développements plus simples.

Exercice type BAC

Un jeu de société utilise des dés spéciaux. Chaque dé a 6 faces, numérotées de 1 à 6. On lance 5 dés identiques et on s'intéresse au nombre de dés qui affichent un 6.

  1. En utilisant la formule du binôme de Newton, développer l'expression $(x+y)^5$.
  2. On considère une épreuve de Bernoulli où le succès est d'obtenir un 6 lors du lancer d'un dé. La probabilité de succès est $p = \frac{1}{6}$ et la probabilité d'échec est $q = \frac{5}{6}$. Justifier pourquoi la probabilité d'obtenir exactement $k$ six sur 5 dés lancés est donnée par $\binom{5}{k} p^k q^{5-k}$.
  3. En déduire, sans faire de calculs numériques, la somme des probabilités d'obtenir un nombre quelconque de 6 (de 0 à 5) lors du lancer de 5 dés. Interpréter ce résultat.
  1. Pour développer $(x+y)^5$ en utilisant la formule du binôme de Newton :
    $$(x+y)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} x^{5-k} y^k$$
    Calculons les coefficients binomiaux pour $n=5$ :
    • $\binom{5}{0} = 1$
    • $\binom{5}{1} = 5$
    • $\binom{5}{2} = \frac{5 × 4}{2 × 1} = 10$
    • $\binom{5}{3} = \binom{5}{2} = 10$
    • $\binom{5}{4} = \binom{5}{1} = 5$
    • $\binom{5}{5} = 1$
    Donc, le développement est :
    $$(x+y)^5 = 1x^5y^0 + 5x^4y^1 + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5x^1y^4 + 1x^0y^5$$
    $$(x+y)^5 = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5$$
  2. Lorsqu'on lance 5 dés, chaque lancer est une épreuve de Bernoulli indépendante. On répète cette épreuve 5 fois. La variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de succès (obtenir un 6) suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ avec $n=5$ (nombre de répétitions) et $p=\frac{1}{6}$ (probabilité de succès).
    La probabilité d'obtenir exactement $k$ succès en $n$ répétitions est donnée par la formule de la loi binomiale : $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$.
    Ici, $n=5$, $p=\frac{1}{6}$ et $1-p = q = \frac{5}{6}$.
    Donc, la probabilité d'obtenir exactement $k$ six sur 5 dés lancés est $P(X=k) = \binom{5}{k} \left(\frac{1}{6}\right)^k \left(\frac{5}{6}\right)^{5-k}$.
  3. La somme des probabilités d'obtenir un nombre quelconque de 6 (de 0 à 5) est la somme de toutes les probabilités $P(X=k)$ pour $k$ allant de 0 à 5 :
    $$\sum_{k=0}^{5} P(X=k) = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} \left(\frac{1}{6}\right)^k \left(\frac{5}{6}\right)^{5-k}$$
    En comparant cette somme avec la formule du binôme de Newton développée à la question 1, on remarque qu'elle correspond au développement de $(a+b)^5$ avec $a = \frac{5}{6}$ et $b = \frac{1}{6}$.
    Donc, la somme est égale à :
    $$\left(\frac{5}{6} + \frac{1}{6}\right)^5 = \left(\frac{6}{6}\right)^5 = 1^5 = 1$$
    Interprétation : La somme de toutes les probabilités des événements possibles (obtenir 0 six, 1 six, ..., 5 six) est égale à 1. Cela est logique car l'un de ces événements doit nécessairement se produire, et la somme des probabilités de tous les événements mutuellement exclusifs et exhaustifs est toujours égale à 1.

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un coefficient binomial $\binom{n}{k}$ ?
Le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ représente le nombre de façons de choisir $k$ éléments distincts parmi $n$ éléments distincts, sans tenir compte de l'ordre. Il est calculé par la formule $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, où $n!$ est la factorielle de $n$ ($n! = n × (n-1) × \dots × 1$ et $0! = 1$). Il peut aussi être lu dans le triangle de Pascal.
Comment le triangle de Pascal est-il lié à la formule du binôme ?
Le triangle de Pascal est une disposition triangulaire de nombres où chaque nombre est la somme des deux nombres directement au-dessus de lui. Les nombres de la $n$-ième ligne du triangle de Pascal (en commençant par la ligne 0) sont précisément les coefficients binomiaux $\binom{n}{k}$ pour $k$ allant de $0$ à $n$. Par exemple, la ligne 4 est 1, 4, 6, 4, 1, qui sont les coefficients de $(a+b)^4$.
La formule du binôme de Newton s'applique-t-elle uniquement aux nombres réels ?
Non, la formule du binôme de Newton est valable pour tous nombres réels ou complexes $a$ et $b$. Elle est fondamentale en algèbre et est utilisée dans de nombreux domaines des mathématiques, y compris l'analyse complexe et les probabilités.
Y a-t-il une relation entre la formule du binôme et la loi binomiale en probabilités ?
Oui, il y a une relation directe. La somme des probabilités d'une loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ est donnée par $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$. Cette somme est exactement le développement de $( (1-p) + p )^n$ selon la formule du binôme de Newton. Puisque $(1-p)+p = 1$, cette somme est égale à $1^n = 1$, ce qui est cohérent avec le fait que la somme de toutes les probabilités d'une distribution doit être égale à 1.

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