Approximation affine (linéarisation locale en un point) – Fiche BAC Terminale Maths

Définition

Soit $f$ une fonction dérivable en un point $a$. L'approximation affine de $f(x)$ au voisinage de $a$ est donnée par l'équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a$. Elle s'écrit $f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a)$ pour $x$ proche de $a$.

💡 Bon réflexe : Pour une approximation affine, pense toujours à la tangente : elle est la meilleure approximation linéaire locale de la fonction.

Méthode — Approximation affine (linéarisation locale en un point)

Vérifier la dérivabilité de la fonction

Pour pouvoir utiliser l'approximation affine, la fonction $f$ doit être dérivable au point $a$ où l'on souhaite effectuer l'approximation. C'est une condition fondamentale.

Calculer $f(a)$

Évaluer la fonction $f$ au point $a$. C'est la valeur de l'ordonnée du point de tangence.

Calculer la dérivée $f'(x)$ et évaluer $f'(a)$

Déterminer l'expression de la fonction dérivée $f'(x)$, puis calculer sa valeur au point $a$. Cette valeur $f'(a)$ représente le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$.

Appliquer la formule de l'approximation affine

Utiliser la formule $f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a)$. Cette expression est l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point $(a, f(a))$. Elle fournit une bonne approximation de $f(x)$ lorsque $x$ est très proche de $a$.

Exemple résolu

On souhaite déterminer une approximation affine de $\sqrt{4,02}$ en utilisant la fonction $f(x) = \sqrt{x}$.

Identifier la fonction et le point d'approximation

La fonction est $f(x) = \sqrt{x}$. Nous voulons approximer $\sqrt{4,02}$. Le point $a$ le plus proche pour lequel nous connaissons facilement la valeur de la fonction est $a=4$. Ainsi, $x = 4,02$ et $a=4$.

Vérifier la dérivabilité et calculer $f(a)$

La fonction $f(x) = \sqrt{x}$ est dérivable sur $]0, +\infty[$. Puisque $a=4 \in ]0, +\infty[$, la fonction est dérivable en $a=4$.

Calcul de $f(a)$: $f(4) = \sqrt{4} = 2$.

Calculer la dérivée $f'(x)$ et évaluer $f'(a)$

La dérivée de $f(x) = \sqrt{x}$ est $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Calcul de $f'(a)$: $f'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{2 \times 2} = \frac{1}{4} = 0,25$.

Appliquer la formule de l'approximation affine

L'approximation affine est $f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a)$.

En substituant les valeurs: $\sqrt{4,02} \approx f(4) + f'(4)(4,02-4)$

$\sqrt{4,02} \approx 2 + 0,25 \times (0,02)$

$\sqrt{4,02} \approx 2 + 0,005$

$\sqrt{4,02} \approx 2,005$.

L'approximation affine de $\sqrt{4,02}$ est $2,005$. (La valeur exacte est environ $2,00499375$, l'approximation est donc très bonne).

⚠️ Piège fréquent au BAC — Confusion avec la valeur exacte

L'approximation affine n'est valable que pour des valeurs de $x$ très proches de $a$. Plus $x$ s'éloigne de $a$, moins l'approximation est précise.
Ne pas confondre l'approximation affine $f(a) + f'(a)(x-a)$ avec la valeur exacte $f(x)$. L'approximation est une estimation, pas la valeur réelle.
Oublier de vérifier la dérivabilité de la fonction au point $a$ avant d'appliquer la formule.

Exercice type BAC

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (2x+1)e^{-x}$.

Calculer la dérivée $f'(x)$ de la fonction $f$.
Déterminer l'équation de la tangente $T$ à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $0$.
En déduire une approximation affine de $f(0,01)$.

Calcul de la dérivée $f'(x)$ :
La fonction $f$ est de la forme $u(x)v(x)$ avec $u(x) = 2x+1$ et $v(x) = e^{-x}$.
On a $u'(x) = 2$ et $v'(x) = -e^{-x}$.
La formule de dérivation d'un produit est $(uv)' = u'v + uv'$.
Donc $f'(x) = 2e^{-x} + (2x+1)(-e^{-x})$
$f'(x) = e^{-x}(2 - (2x+1))$
$f'(x) = e^{-x}(2 - 2x - 1)$
$f'(x) = (1-2x)e^{-x}$.
Détermination de l'équation de la tangente $T$ au point d'abscisse $0$ :
L'équation de la tangente $T$ au point d'abscisse $a$ est donnée par $y = f(a) + f'(a)(x-a)$. Ici $a=0$.
Calculons $f(0)$ : $f(0) = (2 \times 0 + 1)e^{-0} = 1 \times 1 = 1$.
Calculons $f'(0)$ : $f'(0) = (1 - 2 \times 0)e^{-0} = 1 \times 1 = 1$.
L'équation de la tangente $T$ est donc $y = f(0) + f'(0)(x-0)$
$y = 1 + 1(x-0)$
$y = 1 + x$.
Déduction d'une approximation affine de $f(0,01)$ :
L'approximation affine de $f(x)$ au voisinage de $0$ est donnée par l'équation de la tangente $T$, soit $f(x) \approx 1+x$ pour $x$ proche de $0$.
Pour $x=0,01$, on a :
$f(0,01) \approx 1 + 0,01$
$f(0,01) \approx 1,01$.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre l'approximation affine et la linéarisation ?

Ces deux termes désignent la même notion. L'approximation affine est le fait d'approximer une fonction par une fonction affine (la tangente), tandis que la linéarisation est le processus qui mène à cette approximation. Le terme 'linéarisation locale' souligne que cette approximation n'est valable qu'au voisinage du point considéré.

Pourquoi l'approximation affine est-elle utile ?

Elle est utile car elle permet d'estimer la valeur d'une fonction complexe pour des valeurs proches d'un point connu, sans avoir à effectuer des calculs compliqués. Elle est fondamentale en physique, ingénierie et économie pour simplifier des modèles complexes localement. Par exemple, pour estimer de petites variations.

Comment savoir si l'approximation est 'bonne' ?

L'approximation est d'autant meilleure que $x$ est proche de $a$. Mathématiquement, l'erreur d'approximation est de l'ordre de $(x-a)^2$. Cela signifie que si $x-a$ est petit (par exemple $0,01$), alors $(x-a)^2$ est encore plus petit ($0,0001$), ce qui garantit une bonne précision. Pour une analyse plus poussée, on utilise les développements limités (hors programme de Terminale).

Peut-on utiliser l'approximation affine pour n'importe quelle fonction ?

Non, la fonction doit impérativement être dérivable au point $a$ où l'on souhaite faire l'approximation. Si la fonction n'est pas dérivable en $a$ (par exemple, un point anguleux ou une tangente verticale), l'approximation affine n'est pas définie ou n'a pas de sens.

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