La fonction exponentielle : définition et propriétés algébriques – Fiche BAC Terminale Maths

Définition

La fonction exponentielle, notée $\exp$ ou $x \mapsto e^x$, est l'unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f'(x) = f(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ et $f(0) = 1$.

Elle est strictement positive sur $\mathbb{R}$, c'est-à-dire $e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

💡 Bon réflexe : Maîtrise les propriétés algébriques de l'exponentielle ($e^{a+b}$, $(e^a)^n$, $e^a/e^b$) pour simplifier les expressions et résoudre les équations rapidement.

Méthode — La fonction exponentielle : définition et propriétés algébriques

Utiliser la propriété fondamentale $e^{a+b} = e^a e^b$

Pour simplifier des expressions ou résoudre des équations/inéquations impliquant des sommes ou des différences dans l'exposant, on utilise la propriété $e^{a+b} = e^a e^b$ et $e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$. Cette propriété est cruciale pour manipuler les produits et quotients d'exponentielles.

Appliquer la propriété $(e^a)^n = e^{na}$

Lorsqu'une exponentielle est élevée à une puissance, on utilise la propriété $(e^a)^n = e^{na}$ pour simplifier l'expression. Cela est particulièrement utile pour les puissances entières ou rationnelles.

Résoudre des équations et inéquations de type $e^x = k$ ou $e^x < k$

Pour résoudre $e^x = k$, on utilise la fonction logarithme népérien (si $k > 0$) : $x = \ln(k)$. Si $k \leq 0$, l'équation n'a pas de solution car $e^x > 0$. Pour les inéquations, la stricte croissance de la fonction exponentielle et de la fonction logarithme népérien est essentielle : $e^x < e^y \iff x < y$ et $e^x < k \iff x < \ln(k)$ (si $k > 0$).

Simplifier des expressions complexes

En combinant les propriétés algébriques, on peut simplifier des expressions qui semblent complexes. Il est souvent utile de factoriser par $e^x$ ou $e^{-x}$ pour mettre en évidence des termes ou des formes connues.

Exemple résolu

Simplifier l'expression $A = \frac{(e^{2x+1})^3 × e^{1-x}}{e^{4x}}$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, puis résoudre l'équation $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$.

Simplification de l'expression $A$

On utilise les propriétés $(e^a)^n = e^{na}$ et $e^a e^b = e^{a+b}$ et $\frac{e^a}{e^b} = e^{a-b}$. $$A = \frac{(e^{2x+1})^3 × e^{1-x}}{e^{4x}}$$ $$A = \frac{e^{3(2x+1)} × e^{1-x}}{e^{4x}}$$ $$A = \frac{e^{6x+3} × e^{1-x}}{e^{4x}}$$ $$A = \frac{e^{(6x+3) + (1-x)}}{e^{4x}}$$ $$A = \frac{e^{5x+4}}{e^{4x}}$$ $$A = e^{(5x+4) - 4x}$$ $$A = e^{x+4}$$

Résolution de l'équation $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$

C'est une équation du second degré déguisée. On pose $Y = e^x$. Puisque $e^x > 0$, on doit avoir $Y > 0$. L'équation devient $Y^2 - 3Y + 2 = 0$. C'est une équation quadratique de la forme $aY^2 + bY + c = 0$ avec $a=1$, $b=-3$, $c=2$. On calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 × 1 × 2 = 9 - 8 = 1$. Puisque $\Delta > 0$, il y a deux solutions réelles pour $Y$ : $$Y_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2 × 1} = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ $$Y_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 × 1} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ Maintenant, on remplace $Y$ par $e^x$ : Pour $Y_1 = 1$ : $e^x = 1 \iff x = \ln(1) \iff x = 0$. Pour $Y_2 = 2$ : $e^x = 2 \iff x = \ln(2)$. Les deux solutions $Y_1=1$ et $Y_2=2$ sont positives, donc les solutions pour $x$ sont valides.

L'expression simplifiée est $A = e^{x+4}$. Les solutions de l'équation $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$ sont $x = 0$ et $x = \ln(2)$.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Confusion avec les puissances

Ne pas confondre $e^{a+b}$ avec $e^a + e^b$. La somme des exponentielles n'est pas l'exponentielle de la somme.
Oublier que $e^x$ est toujours strictement positif. Une équation $e^x = k$ n'a pas de solution si $k \leq 0$.
Erreur de signe lors de l'application de $(e^a)^n = e^{na}$, notamment avec des exposants négatifs ou des fractions.

Exercice type BAC

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (e^x - 1)(e^x - 3)$.

Développer l'expression de $f(x)$.
Résoudre l'équation $f(x) = 0$.
Résoudre l'inéquation $f(x) > 0$.

Développement de $f(x)$ :
On utilise la double distributivité :
$$f(x) = (e^x - 1)(e^x - 3)$$$$f(x) = e^x × e^x - 3e^x - 1e^x + (-1) × (-3)$$$$f(x) = e^{2x} - 4e^x + 3$$
Résolution de l'équation $f(x) = 0$ :
On a $e^{2x} - 4e^x + 3 = 0$.
On pose $Y = e^x$. Comme $e^x > 0$, on a $Y > 0$. L'équation devient :
$$Y^2 - 4Y + 3 = 0$$
On calcule le discriminant $\Delta = (-4)^2 - 4 × 1 × 3 = 16 - 12 = 4$.
Les solutions pour $Y$ sont :
$$Y_1 = \frac{-(-4) - \sqrt{4}}{2 × 1} = \frac{4 - 2}{2} = 1$$$$Y_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2 × 1} = \frac{4 + 2}{2} = 3$$
On revient à $x$ :
- $e^x = 1 \iff x = \ln(1) \iff x = 0$
- $e^x = 3 \iff x = \ln(3)$
Les solutions de l'équation $f(x) = 0$ sont $S = \{0, \ln(3)\}$.
Résolution de l'inéquation $f(x) > 0$ :
On utilise la forme factorisée $f(x) = (e^x - 1)(e^x - 3)$.
On étudie le signe de chaque facteur :
- $e^x - 1 > 0 \iff e^x > 1 \iff x > \ln(1) \iff x > 0$
- $e^x - 3 > 0 \iff e^x > 3 \iff x > \ln(3)$
On construit un tableau de signes :
$x$ $-\infty$ $0$ $\ln(3)$ $+\infty$
Signe de $e^x - 1$ $-$ $0$ $+$ $+$
Signe de $e^x - 3$ $-$ $-$ $0$ $+$
Signe de $f(x)$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$
L'inéquation $f(x) > 0$ est vérifiée lorsque $x \in ]-\infty; 0[ \cup ]\ln(3); +\infty[$.

$x$	$-\infty$	$0$	$\ln(3)$	$+\infty$
Signe de $e^x - 1$	$-$	$0$	$+$	$+$
Signe de $e^x - 3$	$-$	$-$	$0$	$+$
Signe de $f(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Questions fréquentes

Pourquoi la fonction exponentielle est-elle toujours positive ?

La fonction exponentielle est définie comme l'unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f'(x) = f(x)$ et $f(0) = 1$. On peut montrer que $e^x = (e^{x/2})^2$. Comme un carré est toujours positif ou nul, et que $e^{x/2}$ ne peut pas être nul (car $e^x$ n'atteint jamais 0), $e^x$ est toujours strictement positif pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Quelle est la relation entre la fonction exponentielle et la fonction logarithme népérien ?

La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Cela signifie que pour tout $x > 0$, $e^{\ln(x)} = x$, et pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\ln(e^x) = x$. Cette relation est fondamentale pour résoudre les équations et inéquations impliquant ces fonctions.

Comment dériver une fonction composée avec l'exponentielle, par exemple $e^{u(x)}$ ?

La dérivée d'une fonction de la forme $e^{u(x)}$ est $u'(x)e^{u(x)}$. Par exemple, si $f(x) = e^{3x^2+1}$, alors $u(x) = 3x^2+1$, donc $u'(x) = 6x$. La dérivée est alors $f'(x) = 6xe^{3x^2+1}$.

Peut-on avoir $e^x = 0$ ?

Non, la fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb{R}$, c'est-à-dire $e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Sa courbe représentative ne coupe jamais l'axe des abscisses.

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