Définition
Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction et qui fait intervenir cette fonction ainsi que certaines de ses dérivées. L'équation différentielle linéaire du premier ordre $y' = ay + b$ (où $a$ et $b$ sont des réels avec $a \neq 0$) a pour ensemble de solutions les fonctions $f$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = C e^{ax} - \frac{b}{a}$, où $C$ est une constante réelle quelconque.
Méthode — Équations différentielles $y\' = ay + b$ : solution complète
Identifier les coefficients $a$ et $b$
La première étape consiste à bien identifier les valeurs des coefficients $a$ et $b$ dans l'équation différentielle donnée sous la forme $y' = ay + b$. Attention aux signes et aux réarrangements si l'équation n'est pas directement sous cette forme.
Écrire la forme générale des solutions
Une fois $a$ et $b$ identifiés, on applique directement la formule du cours : les solutions générales sont de la forme $f(x) = C e^{ax} - \frac{b}{a}$, où $C$ est une constante réelle arbitraire. Il est crucial de ne pas oublier le terme constant $- \frac{b}{a}$.
Déterminer la constante $C$ (si une condition initiale est donnée)
Si l'énoncé fournit une condition initiale (par exemple, la valeur de $f(x_0)$ pour un certain $x_0$), on utilise cette information pour trouver la valeur unique de la constante $C$. On remplace $x$ par $x_0$ et $f(x)$ par $f(x_0)$ dans l'expression générale de $f(x)$, puis on résout l'équation pour $C$. Par exemple, si $f(x_0) = y_0$, alors $y_0 = C e^{ax_0} - \frac{b}{a}$.
Écrire la solution particulière (si $C$ a été déterminée)
Après avoir calculé $C$, on remplace cette valeur dans l'expression générale de $f(x)$ pour obtenir la solution particulière qui satisfait la condition initiale donnée. Cette solution est unique.
Exemple résolu
On considère l'équation différentielle $(E): y' = 2y - 6$. Déterminer l'ensemble des solutions de $(E)$, puis trouver la solution particulière $f$ de $(E)$ qui vérifie $f(0) = 5$.
On identifie $a = 2$ et $b = -6$.
En substituant $a=2$ et $b=-6$, on obtient :
$$f(x) = C e^{2x} - \frac{-6}{2}$$
$$f(x) = C e^{2x} + 3$$
où $C$ est une constante réelle quelconque.
On remplace $x$ par $0$ et $f(x)$ par $5$ dans l'expression générale :
$$5 = C e^{2 \times 0} + 3$$
$$5 = C e^0 + 3$$
Puisque $e^0 = 1$, on a :
$$5 = C \times 1 + 3$$
$$5 = C + 3$$
$$C = 5 - 3$$
$$C = 2$$
$$f(x) = 2 e^{2x} + 3$$
L'ensemble des solutions de l'équation différentielle $y' = 2y - 6$ est $f(x) = C e^{2x} + 3$, où $C \in \mathbb{R}$.
La solution particulière qui vérifie $f(0) = 5$ est $f(x) = 2 e^{2x} + 3$.
⚠️ Piège fréquent au BAC — Oubli ou erreur de signe
- Oublier le terme constant $- \frac{b}{a}$ dans la solution générale. Ce terme est la solution particulière constante de l'équation.
- Faire une erreur de signe lors du calcul de $- \frac{b}{a}$, surtout si $b$ est négatif (par exemple, $- \frac{-6}{2} = 3$, et non $-3$).
- Confondre $a$ et $b$ ou mal identifier leurs valeurs si l'équation n'est pas directement sous la forme $y' = ay + b$ (ex: $y' - 2y = -6$ doit être réécrite en $y' = 2y - 6$).
- Erreur de calcul de $e^{ax_0}$ lors de la détermination de $C$, notamment $e^0 = 1$.
Exercice type BAC
On modélise l'évolution de la température $T$ (en °C) d'un objet placé dans une pièce à température constante. La température de la pièce est de $20$ °C. À l'instant $t=0$ (en minutes), l'objet a une température de $80$ °C.
L'évolution de la température $T(t)$ de l'objet est modélisée par l'équation différentielle :
$$T'(t) = -0,1 (T(t) - 20)$$- Montrer que l'équation différentielle peut s'écrire sous la forme $T'(t) = a T(t) + b$, en précisant les valeurs de $a$ et $b$.
- Déterminer l'ensemble des solutions de cette équation différentielle.
- Déterminer la solution particulière $T(t)$ qui correspond à la situation décrite, en utilisant la condition initiale donnée.
- Calculer la température de l'objet au bout de $10$ minutes (arrondir au dixième de degré près).
L'équation différentielle donnée est $T'(t) = -0,1 (T(t) - 20)$.
On développe le membre de droite :
$$T'(t) = -0,1 T(t) + (-0,1) × (-20)$$$$T'(t) = -0,1 T(t) + 2$$
Cette équation est bien de la forme $T'(t) = a T(t) + b$ avec $a = -0,1$ et $b = 2$.
L'ensemble des solutions de l'équation différentielle $T'(t) = a T(t) + b$ est donné par $T(t) = C e^{at} - \frac{b}{a}$.
Avec $a = -0,1$ et $b = 2$, on a :
$$T(t) = C e^{-0,1t} - \frac{2}{-0,1}$$$$T(t) = C e^{-0,1t} + 20$$
où $C$ est une constante réelle quelconque.
La condition initiale est qu'à l'instant $t=0$, la température de l'objet est de $80$ °C, soit $T(0) = 80$.
On utilise l'expression générale des solutions et on remplace $t$ par $0$ et $T(t)$ par $80$ :
$$80 = C e^{-0,1 × 0} + 20$$$$80 = C e^0 + 20$$
Puisque $e^0 = 1$ :
$$80 = C × 1 + 20$$$$80 = C + 20$$
$$C = 80 - 20$$
$$C = 60$$
La solution particulière est donc :
$$T(t) = 60 e^{-0,1t} + 20$$Pour calculer la température de l'objet au bout de $10$ minutes, on remplace $t$ par $10$ dans l'expression de $T(t)$ trouvée à la question précédente :
$$T(10) = 60 e^{-0,1 × 10} + 20$$$$T(10) = 60 e^{-1} + 20$$
En utilisant une calculatrice :
$$e^{-1} \approx 0,367879$$$$T(10) \approx 60 × 0,367879 + 20$$
$$T(10) \approx 22,07274 + 20$$
$$T(10) \approx 42,07274$$
Arrondi au dixième de degré près, la température de l'objet au bout de $10$ minutes est de $42,1$ °C.
Questions fréquentes
Qu'est-ce qu'une équation différentielle ?
Pourquoi la solution générale contient-elle une constante $C$ ?
Comment savoir si une équation différentielle est du premier ordre ?
Peut-on avoir $a=0$ dans l'équation $y' = ay + b$ ?
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