Formules de duplication et linéarisation : sin(2x), cos(2x) – Fiche BAC Terminale Maths

Définition

Les formules de duplication permettent d'exprimer $\cos(2x)$ et $\sin(2x)$ en fonction de $\cos(x)$ et $\sin(x)$. La linéarisation est le processus inverse, qui consiste à transformer des puissances de $\cos(x)$ ou $\sin(x)$ en sommes de termes de la forme $\cos(kx)$ ou $\sin(kx)$, souvent à l'aide des formules de duplication ou des formules d'Euler.

💡 Bon réflexe : Pour la linéarisation, toujours penser à ramener les puissances de $\cos(x)$ et $\sin(x)$ à des termes en $\cos(kx)$ ou $\sin(kx)$ pour faciliter les calculs, notamment les intégrales.

Méthode — Formules de duplication et linéarisation : $\sin(2x)$, $\cos(2x)$

1. Connaître les formules de duplication

Les formules fondamentales à maîtriser sont :

$\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$
$\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$
$\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$
$\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$

Ces formules sont directement déductibles des formules d'addition en posant $a=b=x$ dans $\cos(a+b)$ et $\sin(a+b)$.

2. Utiliser les formules pour la linéarisation

Pour linéariser des termes comme $\cos^2(x)$ ou $\sin^2(x)$, on réarrange les formules de duplication de $\cos(2x)$ :

De $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$, on tire $\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$.
De $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$, on tire $\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$.

Ces expressions sont très utiles pour le calcul intégral.

3. Appliquer les formules d'Euler (pour des puissances supérieures)

Pour linéariser des puissances plus élevées comme $\cos^3(x)$ ou $\sin^3(x)$, il est souvent plus efficace d'utiliser les formules d'Euler :

$\cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$
$\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$

On développe ensuite l'expression en utilisant la formule du binôme de Newton, puis on regroupe les termes $e^{ikx} + e^{-ikx}$ ou $e^{ikx} - e^{-ikx}$ pour revenir à des $\cos(kx)$ ou $\sin(kx)$.

4. Simplifier l'expression obtenue

Après application des formules, il est important de simplifier l'expression résultante. Cela peut impliquer de regrouper des termes, de réduire des fractions ou d'utiliser d'autres identités trigonométriques si nécessaire pour obtenir la forme la plus simple possible.

Exemple résolu

Linéariser l'expression $\cos^2(x)\sin^2(x)$ et calculer l'intégrale $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(x)\sin^2(x) \,dx$.

Linéariser $\cos^2(x)\sin^2(x)$

On utilise les formules de linéarisation pour $\cos^2(x)$ et $\sin^2(x)$ :
$\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$
$\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$
Donc :
$\cos^2(x)\sin^2(x) = \left(\frac{1 + \cos(2x)}{2}\right) \left(\frac{1 - \cos(2x)}{2}\right)$
$= \frac{1 - \cos^2(2x)}{4}$
On utilise à nouveau la formule de linéarisation pour $\cos^2(2x)$ :
$\cos^2(2x) = \frac{1 + \cos(2 × 2x)}{2} = \frac{1 + \cos(4x)}{2}$
En substituant :
$\cos^2(x)\sin^2(x) = \frac{1 - \left(\frac{1 + \cos(4x)}{2}\right)}{4}$
$= \frac{\frac{2 - (1 + \cos(4x))}{2}}{4}$
$= \frac{1 - \cos(4x)}{8}$

Calculer l'intégrale

Maintenant, nous pouvons calculer l'intégrale :
$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(x)\sin^2(x) \,dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos(4x)}{8} \,dx$
$= \frac{1}{8} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos(4x)) \,dx$
$= \frac{1}{8} \left[ x - \frac{\sin(4x)}{4} \right]_0^{\frac{\pi}{2}}$
$= \frac{1}{8} \left( \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\sin(4 × \frac{\pi}{2})}{4} \right) - \left( 0 - \frac{\sin(0)}{4} \right) \right)$
$= \frac{1}{8} \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\sin(2\pi)}{4} - 0 + 0 \right)$
$= \frac{1}{8} \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right)$
$= \frac{\pi}{16}$

L'expression linéarisée de $\cos^2(x)\sin^2(x)$ est $\frac{1 - \cos(4x)}{8}$. L'intégrale vaut $\frac{\pi}{16}$.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Confusion des formules

Confondre $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$ avec $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$ ou oublier le facteur 2.
Oublier le $2$ dans $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$.
Ne pas savoir réarranger les formules de duplication pour obtenir les expressions de $\cos^2(x)$ et $\sin^2(x)$ en vue de la linéarisation.

Exercice type BAC

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \cos^4(x)$.

Montrer que $\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$.
En déduire une expression linéarisée de $f(x)$, c'est-à-dire une expression de la forme $A + B\cos(2x) + C\cos(4x)$, où $A$, $B$ et $C$ sont des constantes à déterminer.
Calculer la valeur exacte de l'intégrale $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(x) \,dx$.

Démonstration de $\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$ :
On sait que la formule de duplication pour $\cos(2x)$ est $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$.
En ajoutant $1$ aux deux membres, on obtient :
$\cos(2x) + 1 = 2\cos^2(x)$
En divisant par $2$, on trouve :
$\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$
Déduction d'une expression linéarisée de $f(x) = \cos^4(x)$ :
On a $f(x) = \cos^4(x) = (\cos^2(x))^2$.
En utilisant le résultat de la question 1 :
$f(x) = \left( \frac{1 + \cos(2x)}{2} \right)^2$
$f(x) = \frac{1}{4} (1 + 2\cos(2x) + \cos^2(2x))$
Pour linéariser $\cos^2(2x)$, on utilise la même formule que précédemment, en remplaçant $x$ par $2x$ :
$\cos^2(2x) = \frac{1 + \cos(2 × 2x)}{2} = \frac{1 + \cos(4x)}{2}$
On substitue cette expression dans $f(x)$ :
$f(x) = \frac{1}{4} \left( 1 + 2\cos(2x) + \frac{1 + \cos(4x)}{2} \right)$
$f(x) = \frac{1}{4} \left( \frac{2 + 4\cos(2x) + 1 + \cos(4x)}{2} \right)$
$f(x) = \frac{1}{8} (3 + 4\cos(2x) + \cos(4x))$
Donc, $f(x) = \frac{3}{8} + \frac{4}{8}\cos(2x) + \frac{1}{8}\cos(4x)$
$f(x) = \frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{8}\cos(4x)$
Les constantes sont $A = \frac{3}{8}$, $B = \frac{1}{2}$ et $C = \frac{1}{8}$.
Calcul de l'intégrale $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(x) \,dx$ :
En utilisant l'expression linéarisée de $f(x)$ :
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \left( \frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{8}\cos(4x) \right) \,dx$
On cherche une primitive de chaque terme :
Une primitive de $\frac{3}{8}$ est $\frac{3}{8}x$.
Une primitive de $\frac{1}{2}\cos(2x)$ est $\frac{1}{2} \frac{\sin(2x)}{2} = \frac{1}{4}\sin(2x)$.
Une primitive de $\frac{1}{8}\cos(4x)$ est $\frac{1}{8} \frac{\sin(4x)}{4} = \frac{1}{32}\sin(4x)$.
Donc :
$I = \left[ \frac{3}{8}x + \frac{1}{4}\sin(2x) + \frac{1}{32}\sin(4x) \right]_0^{\frac{\pi}{4}}$
On évalue aux bornes :
$I = \left( \frac{3}{8} \times \frac{\pi}{4} + \frac{1}{4}\sin\left(2 \times \frac{\pi}{4}\right) + \frac{1}{32}\sin\left(4 \times \frac{\pi}{4}\right) \right) - \left( \frac{3}{8} \times 0 + \frac{1}{4}\sin(0) + \frac{1}{32}\sin(0) \right)$
$I = \left( \frac{3\pi}{32} + \frac{1}{4}\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{1}{32}\sin(\pi) \right) - (0 + 0 + 0)$
$I = \frac{3\pi}{32} + \frac{1}{4} \times 1 + \frac{1}{32} \times 0$
$I = \frac{3\pi}{32} + \frac{1}{4}$
Pour avoir un dénominateur commun :
$I = \frac{3\pi}{32} + \frac{8}{32} = \frac{3\pi + 8}{32}$

Questions fréquentes

Pourquoi les formules de duplication sont-elles importantes ?

Elles sont cruciales pour simplifier des expressions trigonométriques, résoudre des équations trigonométriques, et surtout pour la linéarisation, qui est indispensable pour le calcul d'intégrales de fonctions trigonométriques de puissances paires.

Comment retrouver les formules de duplication si je les oublie ?

Les formules de duplication découlent directement des formules d'addition. Pour $\cos(2x)$, utilisez $\cos(a+b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$ avec $a=x$ et $b=x$. Pour $\sin(2x)$, utilisez $\sin(a+b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)$ avec $a=x$ et $b=x$. Ensuite, utilisez $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ pour obtenir les différentes formes de $\cos(2x)$.

Quand utiliser les formules d'Euler pour la linéarisation ?

Les formules d'Euler sont particulièrement efficaces pour linéariser des puissances impaires ou des puissances élevées de $\cos(x)$ ou $\sin(x)$, comme $\cos^3(x)$, $\sin^3(x)$, $\cos^4(x)$ (bien que les formules de duplication fonctionnent aussi pour $\cos^4(x)$ comme vu dans l'exercice). Elles permettent une approche systématique via le développement binomial.

Y a-t-il un lien entre les formules de duplication et la dérivée/primitive ?

Oui, la linéarisation est très souvent utilisée pour calculer des primitives de fonctions trigonométriques qui sont des puissances de $\cos(x)$ ou $\sin(x)$. Par exemple, pour intégrer $\cos^2(x)$, il faut d'abord le linéariser en $\frac{1 + \cos(2x)}{2}$, dont la primitive est facile à trouver.

Pour aller plus loin

Vous bloquez sur ce chapitre ?

Adil accompagne les lycéens en Terminale Spécialité, en ligne ou à domicile dans le Val d'Oise. Résultats en 1 séance.

📞 Appeler Cours Terminale →