Probabilités & Statistiques · Fiche N°77 / 110

Variable aléatoire discrète : loi de probabilité et tableau

Définition, méthode rigoureuse, exemples corrigés et exercice type BAC.

📚 Terminale Spécialité Maths ⏱ Lecture : 5 min ✅ Programme officiel BO 2019

Définition

Une variable aléatoire discrète $X$ est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire. L'ensemble des valeurs que peut prendre $X$ est fini ou dénombrable. La loi de probabilité de $X$ est la donnée de toutes les valeurs $x_i$ que peut prendre $X$ et des probabilités $P(X=x_i)$ associées, généralement présentée sous forme de tableau.

💡 Bon réflexe : Toujours vérifier que la somme des probabilités dans le tableau de la loi de probabilité est égale à 1.
xᵢx₁x₂x₃P(X=xᵢ)p₁p₂p₃Σ pᵢ = 1E(X) = Σ xᵢ pᵢV(X) = Σ xᵢ² pᵢ − E(X)²

Méthode — Variable aléatoire discrète : loi de probabilité et tableau

1

Identifier les valeurs possibles de la variable aléatoire

Déterminer l'ensemble de toutes les valeurs numériques $x_i$ que la variable aléatoire $X$ peut prendre. Ces valeurs sont souvent des entiers naturels, mais peuvent être d'autres nombres réels discrets.

2

Calculer la probabilité de chaque valeur

Pour chaque valeur $x_i$ identifiée, calculer la probabilité $P(X=x_i)$. Cela implique souvent de dénombrer les issues favorables à l'événement $(X=x_i)$ et de diviser par le nombre total d'issues possibles (si l'équiprobabilité est vérifiée), ou d'utiliser d'autres règles de probabilité (probabilités conditionnelles, événements indépendants, etc.).

3

Vérifier la somme des probabilités

S'assurer que la somme de toutes les probabilités calculées est égale à 1. C'est une propriété fondamentale de toute loi de probabilité : $\sum_{i} P(X=x_i) = 1$.

4

Présenter la loi de probabilité sous forme de tableau

Organiser les valeurs $x_i$ et leurs probabilités $P(X=x_i)$ correspondantes dans un tableau à deux lignes. La première ligne contient les valeurs $x_i$ et la seconde ligne contient les probabilités $P(X=x_i)$.

Exemple résolu

On lance deux dés équilibrés à six faces, numérotées de 1 à 6. On s'intéresse à la variable aléatoire $X$ qui représente la somme des deux résultats obtenus. Déterminer la loi de probabilité de $X$.

1
Identifier les valeurs possibles de $X$
Le résultat minimal est $1+1=2$. Le résultat maximal est $6+6=12$. Donc, les valeurs possibles de $X$ sont $x_i \in \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$.
2
Calculer la probabilité de chaque valeur
Il y a $6 × 6 = 36$ issues équiprobables. Nous listons les paires $(d_1, d_2)$ et calculons leur somme:
$P(X=2)$: $(1,1)$ $\implies 1$ issue. $P(X=2) = \frac{1}{36}$.
$P(X=3)$: $(1,2), (2,1)$ $\implies 2$ issues. $P(X=3) = \frac{2}{36}$.
$P(X=4)$: $(1,3), (2,2), (3,1)$ $\implies 3$ issues. $P(X=4) = \frac{3}{36}$.
$P(X=5)$: $(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)$ $\implies 4$ issues. $P(X=5) = \frac{4}{36}$.
$P(X=6)$: $(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)$ $\implies 5$ issues. $P(X=6) = \frac{5}{36}$.
$P(X=7)$: $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$ $\implies 6$ issues. $P(X=7) = \frac{6}{36}$.
$P(X=8)$: $(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)$ $\implies 5$ issues. $P(X=8) = \frac{5}{36}$.
$P(X=9)$: $(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$ $\implies 4$ issues. $P(X=9) = \frac{4}{36}$.
$P(X=10)$: $(4,6), (5,5), (6,4)$ $\implies 3$ issues. $P(X=10) = \frac{3}{36}$.
$P(X=11)$: $(5,6), (6,5)$ $\implies 2$ issues. $P(X=11) = \frac{2}{36}$.
$P(X=12)$: $(6,6)$ $\implies 1$ issue. $P(X=12) = \frac{1}{36}$.
3
Vérifier la somme des probabilités
La somme des numérateurs est $1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1 = 36$. Donc, $\sum P(X=x_i) = \frac{36}{36} = 1$. La somme est bien égale à 1.
4
Présenter la loi de probabilité sous forme de tableau
Le tableau de la loi de probabilité de $X$ est le suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline X & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\ \hline P(X=x) & \frac{1}{36} & \frac{2}{36} & \frac{3}{36} & \frac{4}{36} & \frac{5}{36} & \frac{6}{36} & \frac{5}{36} & \frac{4}{36} & \frac{3}{36} & \frac{2}{36} & \frac{1}{36} \\ \hline \end{array}$$

La loi de probabilité de la somme des résultats des deux dés est correctement établie dans le tableau ci-dessus.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Oubli de l'équiprobabilité

  1. Ne pas vérifier si les issues de l'expérience sont équiprobables avant d'utiliser la formule $\frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$.
  2. Confondre les valeurs de la variable aléatoire avec les probabilités associées.
  3. Oublier de vérifier que la somme de toutes les probabilités est égale à 1. Une erreur de calcul peut être détectée ainsi.

Exercice type BAC

Une urne contient 3 boules rouges (R) et 2 boules vertes (V), toutes indiscernables au toucher. On tire successivement et sans remise 3 boules de l'urne.

  1. Déterminer le nombre total d'issues possibles.
  2. Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de boules rouges tirées. Quelles sont les valeurs possibles de $X$ ?
  3. Établir la loi de probabilité de $X$ et la présenter sous forme de tableau.

  1. Il y a un total de $3+2=5$ boules dans l'urne. On tire 3 boules successivement et sans remise. Le nombre total d'issues possibles est le nombre d'arrangements de 3 boules parmi 5, soit $A_5^3$.

    $A_5^3 = 5 × 4 × 3 = 60$.

    Il y a 60 issues possibles.

  2. La variable aléatoire $X$ compte le nombre de boules rouges tirées. On tire 3 boules au total. Il y a 3 boules rouges dans l'urne.

    Les valeurs possibles de $X$ sont donc 1, 2 ou 3.

    • On ne peut pas tirer 0 boule rouge car il y a au maximum 2 boules vertes, donc au moins 1 rouge sera tirée.
    • On ne peut pas tirer plus de 3 boules rouges car il n'y en a que 3 dans l'urne.

    Donc, $X \in \{1, 2, 3\}$.

  3. Nous allons calculer la probabilité pour chaque valeur de $X$.

    • Calcul de $P(X=1)$ : On tire 1 boule rouge et 2 boules vertes.

      Il y a 3 choix pour la position de la boule rouge (1ère, 2ème ou 3ème tirage).

      Nombre de façons de tirer 1 R et 2 V :

      • Si R est en 1ère position : $3 × 2 × 1 = 6$ (R1, V1, V2)
      • Si R est en 2ème position : $2 × 3 × 1 = 6$ (V1, R1, V2)
      • Si R est en 3ème position : $2 × 1 × 3 = 6$ (V1, V2, R1)

      Nombre de tirages avec 1 R et 2 V : $3 × (3 × 2 × 1) = 18$.

      $P(X=1) = \frac{18}{60} = \frac{3}{10}$.

    • Calcul de $P(X=2)$ : On tire 2 boules rouges et 1 boule verte.

      Il y a 3 choix pour la position de la boule verte (1ère, 2ème ou 3ème tirage).

      Nombre de façons de tirer 2 R et 1 V :

      • Si V est en 1ère position : $2 × 3 × 2 = 12$ (V1, R1, R2)
      • Si V est en 2ème position : $3 × 2 × 2 = 12$ (R1, V1, R2)
      • Si V est en 3ème position : $3 × 2 × 2 = 12$ (R1, R2, V1)

      Nombre de tirages avec 2 R et 1 V : $3 × (3 × 2 × 2) = 36$.

      $P(X=2) = \frac{36}{60} = \frac{3}{5}$.

    • Calcul de $P(X=3)$ : On tire 3 boules rouges.

      Nombre de façons de tirer 3 R : $3 × 2 × 1 = 6$.

      $P(X=3) = \frac{6}{60} = \frac{1}{10}$.

    Vérification : $P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = \frac{18}{60} + \frac{36}{60} + \frac{6}{60} = \frac{18+36+6}{60} = \frac{60}{60} = 1$. La somme est correcte.

    Tableau de la loi de probabilité de $X$ :

    $$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X & 1 & 2 & 3 \\ \hline P(X=x) & \frac{3}{10} & \frac{3}{5} & \frac{1}{10} \\ \hline \end{array}$$

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre une variable aléatoire discrète et continue ?
Une variable aléatoire discrète ne peut prendre qu'un nombre fini ou dénombrable de valeurs (souvent des entiers), comme le nombre de faces obtenues en lançant une pièce. Une variable aléatoire continue peut prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle donné, comme la taille d'une personne ou le temps d'attente.
Comment calculer l'espérance d'une variable aléatoire discrète ?
L'espérance $E(X)$ d'une variable aléatoire discrète $X$ est la somme des produits de chaque valeur $x_i$ par sa probabilité $P(X=x_i)$. La formule est $E(X) = \sum_{i} x_i P(X=x_i)$.
Est-il toujours nécessaire de faire un tableau pour la loi de probabilité ?
Le tableau est la méthode la plus courante et la plus claire pour présenter une loi de probabilité discrète. Bien qu'il soit possible de la décrire par une fonction ou une liste, le tableau est souvent exigé ou fortement recommandé pour sa lisibilité, surtout au BAC.
Que signifie $P(X=x_i)$ ?
$P(X=x_i)$ représente la probabilité que la variable aléatoire $X$ prenne la valeur spécifique $x_i$. C'est la probabilité de l'événement où le résultat de l'expérience aléatoire conduit à ce que $X$ soit égal à $x_i$.

Pour aller plus loin

Vous bloquez sur ce chapitre ?

Adil accompagne les lycéens en Terminale Spécialité, en ligne ou à domicile dans le Val d'Oise. Résultats en 1 séance.

📞 Appeler Cours Terminale →