Fonctions de Référence · Fiche N°66 / 110

Dérivée de $\ln(x)$ : variations et représentation graphique

Définition, méthode rigoureuse, exemples corrigés et exercice type BAC.

📚 Terminale Spécialité Maths ⏱ Lecture : 5 min ✅ Programme officiel BO 2019

Définition

La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est définie sur $]0 ; +\infty[$. Elle est la primitive de la fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ sur $]0 ; +\infty[$ qui s'annule en $1$. Sa dérivée est donnée par $(\ln(x))' = \frac{1}{x}$ pour tout $x \in ]0 ; +\infty[$.

💡 Bon réflexe : Toujours vérifier le domaine de définition de la fonction $\ln(u(x))$ en s'assurant que $u(x) > 0$ avant de dériver ou d'étudier la fonction.
xyO1f′(x) = 1/x > 0croissante sur ]0,+∞[Tangente en 1 : y = x−1

Méthode — Dérivée de $\ln(x)$ : variations et représentation graphique

1

Calculer la dérivée d'une fonction composée avec $\ln(u(x))$

Si $u$ est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$, alors la fonction $f(x) = \ln(u(x))$ est dérivable sur $I$ et sa dérivée est $f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}$. Il est crucial de s'assurer que $u(x) > 0$ sur l'intervalle d'étude.

2

Étudier les variations de la fonction $\ln(x)$

Pour étudier les variations de $f(x) = \ln(x)$, on calcule sa dérivée $f'(x) = \frac{1}{x}$. On analyse ensuite le signe de $f'(x)$ sur son domaine de définition $]0 ; +\infty[$. Puisque $x > 0$, alors $f'(x) = \frac{1}{x} > 0$. La fonction $\ln(x)$ est donc strictement croissante sur $]0 ; +\infty[$.

3

Déterminer les limites aux bornes du domaine de définition

Pour la fonction $\ln(x)$, le domaine de définition est $]0 ; +\infty[$. On calcule les limites : $\lim_{x\to 0^+} \ln(x) = -\infty$ et $\lim_{x\to +\infty} \ln(x) = +\infty$. Ces limites sont essentielles pour esquisser la représentation graphique.

4

Tracer la représentation graphique de $\ln(x)$

La courbe représentative de $\ln(x)$ passe par le point $(1 ; 0)$ car $\ln(1) = 0$. Elle admet l'axe des ordonnées (d'équation $x=0$) comme asymptote verticale car $\lim_{x\to 0^+} \ln(x) = -\infty$. La fonction est strictement croissante et sa concavité est tournée vers le bas (car $(\ln(x))'' = -\frac{1}{x^2} < 0$).

Exemple résolu

Soit la fonction $f$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x) = x \ln(x) - x$. Nous allons étudier ses variations et esquisser sa représentation graphique.

1
Calculer la dérivée de $f(x)$
La fonction $f(x) = x \ln(x) - x$ est de la forme $u(x)v(x) - w(x)$ avec $u(x) = x$, $v(x) = \ln(x)$ et $w(x) = x$.
On a $u'(x) = 1$ et $v'(x) = \frac{1}{x}$.
La dérivée de $x \ln(x)$ est $u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 1 \times \ln(x) + x \times \frac{1}{x} = \ln(x) + 1$.
La dérivée de $-x$ est $-1$.
Donc, $f'(x) = (\ln(x) + 1) - 1 = \ln(x)$.
2
Étudier le signe de la dérivée $f'(x)$
Nous avons $f'(x) = \ln(x)$.
Sur $]0 ; +\infty[$, le signe de $\ln(x)$ est :
- $\ln(x) < 0$ pour $x \in ]0 ; 1[$
- $\ln(x) = 0$ pour $x = 1$
- $\ln(x) > 0$ pour $x \in ]1 ; +\infty[$
3
En déduire les variations de $f(x)$
Puisque $f'(x) < 0$ sur $]0 ; 1[$, la fonction $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.
Puisque $f'(x) > 0$ sur $]1 ; +\infty[$, la fonction $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.
La fonction $f$ admet un minimum local en $x=1$. La valeur de ce minimum est $f(1) = 1 \times \ln(1) - 1 = 1 \times 0 - 1 = -1$.
4
Calculer les limites aux bornes du domaine de définition
Pour $x \to 0^+$ : $\lim_{x\to 0^+} x \ln(x) = 0$ (limite de référence). Donc $\lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+} (x \ln(x) - x) = 0 - 0 = 0$.
Pour $x \to +\infty$ : $\lim_{x\to +\infty} x = +\infty$ et $\lim_{x\to +\infty} \ln(x) = +\infty$. Donc $\lim_{x\to +\infty} x \ln(x) = +\infty$.
On peut factoriser $f(x) = x(\ln(x) - 1)$. Comme $\lim_{x\to +\infty} x = +\infty$ et $\lim_{x\to +\infty} (\ln(x) - 1) = +\infty$, alors $\lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty$.

La fonction $f(x) = x \ln(x) - x$ est décroissante sur $]0 ; 1]$ et croissante sur $[1 ; +\infty[$. Elle admet un minimum en $x=1$ de valeur $f(1) = -1$. Ses limites aux bornes sont $\lim_{x\to 0^+} f(x) = 0$ et $\lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty$.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Domaine de définition de $\ln(u(x))$

  1. Oublier de vérifier que l'argument de $\ln$ est strictement positif. La fonction $\ln(u(x))$ n'est définie que si $u(x) > 0$.
  2. Confondre la dérivée de $\ln(x)$ avec celle de $x^n$ ou $e^x$. La dérivée de $\ln(x)$ est $\frac{1}{x}$.
  3. Ne pas utiliser la formule de dérivation des fonctions composées pour $\ln(u(x))$, c'est-à-dire oublier le $u'(x)$ au numérateur.

Exercice type BAC

Soit $f$ la fonction définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x) = \frac{\ln(x)}{x}$. On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

  1. Calculer les limites de $f(x)$ en $0^+$ et en $+ \infty$. Interpréter graphiquement les résultats.
  2. Montrer que pour tout $x \in ]0 ; +\infty[$, $f'(x) = \frac{1 - \ln(x)}{x^2}$.
  3. Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
  4. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $e$.

  1. Calcul des limites :

    • En $0^+$ : $\lim_{x\to 0^+} \ln(x) = -\infty$ et $\lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$.
      Donc, $\lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+} \frac{\ln(x)}{x} = -\infty$.
      Interprétation graphique : La droite d'équation $x=0$ (l'axe des ordonnées) est une asymptote verticale à la courbe $\mathcal{C}_f$.

    • En $+ \infty$ : C'est une forme indéterminée de type $\frac{\infty}{\infty}$. On utilise la limite de référence $\lim_{x\to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$.
      Donc, $\lim_{x\to +\infty} f(x) = 0$.
      Interprétation graphique : La droite d'équation $y=0$ (l'axe des abscisses) est une asymptote horizontale à la courbe $\mathcal{C}_f$ en $+ \infty$.

  2. Calcul de la dérivée :
    La fonction $f(x) = \frac{\ln(x)}{x}$ est de la forme $\frac{u(x)}{v(x)}$ avec $u(x) = \ln(x)$ et $v(x) = x$.
    On a $u'(x) = \frac{1}{x}$ et $v'(x) = 1$.
    La formule de dérivation d'un quotient est $f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$.
    $f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \times x - \ln(x) \times 1}{x^2} = \frac{1 - \ln(x)}{x^2}$.

  3. Étude du signe de $f'(x)$ et tableau de variations :
    Le dénominateur $x^2$ est strictement positif pour tout $x \in ]0 ; +\infty[$.
    Le signe de $f'(x)$ est donc celui du numérateur $1 - \ln(x)$.
    $1 - \ln(x) > 0 \iff 1 > \ln(x) \iff e^1 > e^{\ln(x)} \iff e > x$.
    $1 - \ln(x) = 0 \iff 1 = \ln(x) \iff x = e$.
    $1 - \ln(x) < 0 \iff 1 < \ln(x) \iff e < x$.
    On a $f(e) = \frac{\ln(e)}{e} = \frac{1}{e}$.
    Tableau de variations :

    $x$$0$$e$$+\infty$
    Signe de $1 - \ln(x)$$+$$0$$-$
    Signe de $f'(x)$$+$$0$$-$
    Variations de $f(x)$$\nearrow$$\frac{1}{e}$$\searrow$
    Limites$-\infty$$0$

  4. Équation de la tangente au point d'abscisse $e$ :
    L'équation de la tangente $T$ au point d'abscisse $a$ est donnée par $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.
    Ici $a=e$.
    On a $f(e) = \frac{1}{e}$ (calculé précédemment).
    On a $f'(e) = \frac{1 - \ln(e)}{e^2} = \frac{1 - 1}{e^2} = \frac{0}{e^2} = 0$.
    L'équation de la tangente est donc $y = 0 \times (x-e) + \frac{1}{e}$.
    $y = \frac{1}{e}$.
    La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $e$ est la droite horizontale d'équation $y = \frac{1}{e}$.

Questions fréquentes

Pourquoi la fonction $\ln(x)$ n'est-elle définie que sur $]0 ; +\infty[$ ?
La fonction $\ln(x)$ est la primitive de $x \mapsto \frac{1}{x}$ qui s'annule en $1$. La fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ n'est pas définie en $0$ et change de signe en $0$. Pour que la primitive soit bien définie et ait des propriétés cohérentes, on la définit sur un intervalle où $x \mapsto \frac{1}{x}$ est continue, soit $]0 ; +\infty[$ ou $]-\infty ; 0[$. Par convention et pour ses propriétés (comme $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$), on choisit $]0 ; +\infty[$. De plus, $\ln(x)$ est l'inverse de $e^x$, et $e^x$ est toujours positif, donc $\ln(x)$ ne peut être définie que pour des valeurs positives.
Quelle est la différence entre $\ln(x)$ et $\log(x)$ ?
En mathématiques françaises du secondaire, $\ln(x)$ désigne le logarithme népérien (ou naturel), dont la base est le nombre $e \approx 2,718$. Sa dérivée est $(\ln(x))' = \frac{1}{x}$. La notation $\log(x)$ peut désigner le logarithme décimal (base $10$) ou, plus généralement en sciences ou en informatique, le logarithme de base $b$ (souvent $e$ ou $2$). Au BAC, $\ln(x)$ est toujours le logarithme népérien.
Comment dériver une fonction du type $f(x) = \ln(ax+b)$ ?
Il s'agit d'une fonction composée de la forme $\ln(u(x))$ où $u(x) = ax+b$. La dérivée est $f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}$. Ici, $u'(x) = a$. Donc, $f'(x) = \frac{a}{ax+b}$. Il faut bien sûr que $ax+b > 0$ pour que la fonction soit définie.
Y a-t-il des limites de référence impliquant $\ln(x)$ à connaître pour le BAC ?
Oui, plusieurs limites sont essentielles :
1. $\lim_{x\to 0^+} \ln(x) = -\infty$
2. $\lim_{x\to +\infty} \ln(x) = +\infty$
3. $\lim_{x\to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$ (croissances comparées)
4. $\lim_{x\to 0^+} x \ln(x) = 0$ (croissances comparées)
5. $\lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$ (taux d'accroissement de $\ln(x)$ en $1$)

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