Définition
La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est définie sur $]0 ; +\infty[$. Ses limites aux bornes de son ensemble de définition sont :
$\lim_{x\to 0^+} \ln(x) = -\infty$
$\lim_{x\to +\infty} \ln(x) = +\infty$
Méthode — Limites de $\ln(x)$ en $0^+$ et en $+\infty$
Identifier la forme de la limite
Avant de calculer une limite impliquant $\ln(x)$, il est essentiel d'identifier si $x$ tend vers $0^+$ ou vers $+ \infty$. Cela détermine quelle propriété fondamentale de la fonction $\ln$ doit être appliquée.
Appliquer les limites de référence
Si l'expression est simplement $\ln(x)$, on applique directement les limites de référence :
- Si $x \to 0^+$, alors $\ln(x) \to -\infty$.
- Si $x \to +\infty$, alors $\ln(x) \to +\infty$.
Utiliser les opérations sur les limites
Pour des expressions plus complexes (sommes, produits, quotients, compositions), on utilise les règles de calcul sur les limites. Par exemple, si $u(x) \to L$ et $v(x) \to M$, alors $u(x) + v(x) \to L+M$ (sous réserve de formes indéterminées).
Les formes indéterminées à surveiller sont : $$\frac{\infty}{\infty}$$, $$\frac{0}{0}$$, $$\infty - \infty$$ et $$0 \times \infty$$.
Gérer les compositions de fonctions
Si l'on doit calculer $\lim_{x\to a} \ln(u(x))$, on commence par calculer $\lim_{x\to a} u(x)$. Soit $L = \lim_{x\to a} u(x)$.
- Si $L = 0^+$ (et $u(x) > 0$ au voisinage de $a$), alors $\lim_{x\to a} \ln(u(x)) = -\infty$.
- Si $L = +\infty$, alors $\lim_{x\to a} \ln(u(x)) = +\infty$.
- Si $L$ est un réel strictement positif, alors $\lim_{x\to a} \ln(u(x)) = \ln(L)$.
Exemple résolu
Calculer les limites suivantes :
1. $\lim_{x\to +\infty} (\ln(x) - x)$
2. $\lim_{x\to 0^+} (x \ln(x))$
3. $\lim_{x\to +\infty} \ln(x^2 + 1)$
La limite est de la forme $$\infty - \infty$$ qui est une forme indéterminée.
Pour lever l'indétermination, on factorise par le terme dominant, qui est $x$ (car $x$ croît plus vite que $\ln(x)$ en $+ \infty$).
$\ln(x) - x = x \left( \frac{\ln(x)}{x} - 1 \right)$.
On sait que $\lim_{x\to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$ (croissances comparées).
Donc $\lim_{x\to +\infty} \left( \frac{\ln(x)}{x} - 1 \right) = 0 - 1 = -1$.
Par produit, $\lim_{x\to +\infty} x \left( \frac{\ln(x)}{x} - 1 \right) = (+ \infty) \times (-1) = -\infty$.
La limite est de la forme $$0 \times \infty$$ qui est une forme indéterminée.
Il s'agit d'une limite de référence (croissances comparées) à connaître :
$\lim_{x\to 0^+} x \ln(x) = 0$.
On calcule d'abord $\lim_{x\to +\infty} u(x)$.
$\lim_{x\to +\infty} (x^2 + 1) = +\infty$.
Puis, on calcule la limite de $\ln(Y)$ quand $Y \to +\infty$.
$\lim_{Y\to +\infty} \ln(Y) = +\infty$.
Par composition, $\lim_{x\to +\infty} \ln(x^2 + 1) = +\infty$.
Les limites sont :
1. $\lim_{x\to +\infty} (\ln(x) - x) = -\infty$
2. $\lim_{x\to 0^+} (x \ln(x)) = 0$
3. $\lim_{x\to +\infty} \ln(x^2 + 1) = +\infty$
⚠️ Piège fréquent au BAC — Formes indéterminées
- Oublier de vérifier si une forme indéterminée ($0 \times \infty$, $\infty - \infty$, $0/0$, $\infty/\infty$) est présente avant d'appliquer les règles de calcul.
- Ne pas utiliser les croissances comparées pour lever les formes indéterminées impliquant $\ln(x)$ et des puissances de $x$ (ex: $\lim_{x\to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0$ et $\lim_{x\to 0^+} x^n \ln(x) = 0$ pour $n > 0$).
- Confondre $\lim_{x\to 0^+} \ln(x)$ avec $\lim_{x\to 0} \ln(x)$ (la fonction $\ln$ n'est pas définie en $0$ ni pour $x < 0$).
- Appliquer la composition de fonctions sans s'assurer que l'argument du $\ln$ tend vers une valeur strictement positive (ou $0^+$ ou $+ \infty$). Par exemple, si $u(x) \to -1$, $\ln(u(x))$ n'est pas définie.
Exercice type BAC
On considère la fonction $f$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x) = \frac{\ln(x)}{x} - x + 1$.
- Calculer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $0^+$.
- Calculer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$.
- Dresser le tableau de variations de la fonction $g$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par $g(x) = 1 - \ln(x) - x^2$. En déduire le signe de $g(x)$ sur $]0 ; +\infty[$.
Calcul de $\lim_{x\to 0^+} f(x)$ :
On a $f(x) = \frac{\ln(x)}{x} - x + 1$.
$\lim_{x\to 0^+} \ln(x) = -\infty$.
$\lim_{x\to 0^+} x = 0^+$.
Donc $\lim_{x\to 0^+} \frac{\ln(x)}{x} = \frac{-\infty}{0^+} = -\infty$.
Par ailleurs, $\lim_{x\to 0^+} (-x + 1) = 1$.
Par somme, $\lim_{x\to 0^+} f(x) = -\infty + 1 = -\infty$.
Calcul de $\lim_{x\to +\infty} f(x)$ :
On a $f(x) = \frac{\ln(x)}{x} - x + 1$.
On sait que $\lim_{x\to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$ (croissances comparées).
$\lim_{x\to +\infty} (-x + 1) = -\infty$.
Par somme, $\lim_{x\to +\infty} f(x) = 0 - \infty = -\infty$.
Tableau de variations de $g(x) = 1 - \ln(x) - x^2$ :
La fonction $g$ est définie et dérivable sur $]0 ; +\infty[$.
$g'(x) = -\frac{1}{x} - 2x$.Pour tout $x \in ]0 ; +\infty[$, $x > 0$, donc $\frac{1}{x} > 0$ et $2x > 0$.
Ainsi, $g'(x) = -\frac{1}{x} - 2x < 0$ pour tout $x \in ]0 ; +\infty[$.La fonction $g$ est donc strictement décroissante sur $]0 ; +\infty[$.
Calcul des limites aux bornes :
$\lim_{x\to 0^+} g(x) = \lim_{x\to 0^+} (1 - \ln(x) - x^2)$.
$\lim_{x\to 0^+} \ln(x) = -\infty$, donc $\lim_{x\to 0^+} -\ln(x) = +\infty$.
$\lim_{x\to 0^+} (1 - x^2) = 1$.
Donc $\lim_{x\to 0^+} g(x) = +\infty + 1 = +\infty$.$\lim_{x\to +\infty} g(x) = \lim_{x\to +\infty} (1 - \ln(x) - x^2)$.
$\lim_{x\to +\infty} -\ln(x) = -\infty$.
$\lim_{x\to +\infty} -x^2 = -\infty$.
Donc $\lim_{x\to +\infty} g(x) = -\infty - \infty = -\infty$.Tableau de variations :
$$\begin{array}{|c|ccc|}
\hline
x & 0 & & +\infty \\
\hline
g'(x) & & - & \\
\hline
& +\infty & & \\
g(x) & & \searrow & \\
& & & -\infty \\
\hline
\end{array}$$Signe de $g(x)$ :
La fonction $g$ est continue et strictement décroissante sur $]0 ; +\infty[$.
De plus, $\lim_{x\to 0^+} g(x) = +\infty$ et $\lim_{x\to +\infty} g(x) = -\infty$.
D'après le théorème des valeurs intermédiaires (corollaire), il existe un unique réel $\alpha \in ]0 ; +\infty[$ tel que $g(\alpha) = 0$.
On peut estimer $\alpha$ :
$g(1) = 1 - \ln(1) - 1^2 = 1 - 0 - 1 = 0$.
Donc $\alpha = 1$.Par conséquent :
- Si $x \in ]0 ; 1[$, alors $g(x) > g(1) = 0$.
- Si $x = 1$, alors $g(x) = 0$.
- Si $x \in ]1 ; +\infty[$, alors $g(x) < g(1) = 0$.
Questions fréquentes
Pourquoi la fonction $\ln(x)$ n'est-elle définie que pour $x > 0$ ?
Comment se souvenir des limites de $\ln(x)$ ?
Qu'est-ce que les croissances comparées et quand les utiliser avec $\ln(x)$ ?
- $\lim_{x\to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0$ pour tout $n > 0$. Cela signifie que $x^n$ 'l'emporte' sur $\ln(x)$ en $+ \infty$.
- $\lim_{x\to 0^+} x^n \ln(x) = 0$ pour tout $n > 0$. Cela signifie que $x^n$ 'l'emporte' sur $\ln(x)$ en $0^+$.
Ces propriétés sont cruciales pour résoudre des limites de formes indéterminées comme $\frac{\infty}{\infty}$ ou $0 \times \infty$.
Y a-t-il une asymptote verticale ou horizontale pour $\ln(x)$ ?
Pour aller plus loin
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