Géométrie dans l'espace · Fiche N°110 / 110

Étude d'une configuration géométrique complexe dans l'espace

Définition, méthode rigoureuse, exemples corrigés et exercice type BAC.

📚 Terminale Spécialité Maths ⏱ Lecture : 5 min ✅ Programme officiel BO 2019

Définition

L'étude d'une configuration géométrique complexe dans l'espace implique l'analyse des propriétés de figures géométriques (points, droites, plans, sphères) définies par leurs coordonnées ou leurs équations. Elle repose sur l'utilisation des vecteurs, du produit scalaire, des équations de droites et de plans, et des distances, afin de déterminer des positions relatives, des angles, des aires ou des volumes.

💡 Bon réflexe : Toujours visualiser la situation dans l'espace (même mentalement) et bien identifier les vecteurs directeurs et normaux avant de poser les calculs.
Repère OABCMilieux, médianesBarycentres

Méthode — Étude d'une configuration géométrique complexe dans l'espace

1

Représenter les objets géométriques

Définir les points par leurs coordonnées $A(x_A, y_A, z_A)$, les vecteurs par leurs composantes $\vec{u}(x_u, y_u, z_u)$, les droites par un point et un vecteur directeur $D: M(x,y,z) = A + t\vec{u}$ avec $t \in \mathbb{R}$, et les plans par un point et deux vecteurs directeurs non colinéaires ou par une équation normale $P: ax+by+cz+d=0$ avec $\vec{n}(a,b,c)$ un vecteur normal.

2

Utiliser les outils vectoriels et le produit scalaire

Le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_u x_v + y_u y_v + z_u z_v$ permet de calculer des angles (via $\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\theta)$) et de vérifier l'orthogonalité (si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$). La colinéarité de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est vérifiée si $\vec{u} = k\vec{v}$ pour un réel $k$. La coplanarité de trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ est vérifiée si l'un est combinaison linéaire des deux autres.

3

Calculer des distances et des aires

La distance entre deux points $A(x_A, y_A, z_A)$ et $B(x_B, y_B, z_B)$ est $AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2}$. La distance d'un point $M_0(x_0, y_0, z_0)$ à un plan $P: ax+by+cz+d=0$ est $d(M_0, P) = \frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$. L'aire d'un triangle peut être calculée à l'aide du produit vectoriel (hors programme) ou de la formule de Héron (si les longueurs des côtés sont connues).

4

Déterminer les positions relatives

Pour deux droites, elles peuvent être sécantes, parallèles, confondues ou non coplanaires. Pour une droite et un plan, ils peuvent être sécants, parallèles ou la droite peut être incluse dans le plan. Pour deux plans, ils peuvent être sécants (selon une droite), parallèles ou confondus. La résolution de systèmes d'équations est souvent nécessaire pour trouver les points d'intersection.

Exemple résolu

Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points $A(1, -2, 3)$, $B(3, 0, 1)$ et $C(0, 1, 2)$. On considère également le plan $P$ d'équation $x - y + 2z - 1 = 0$ et la droite $D$ passant par le point $E(1, 1, 1)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(2, 1, -1)$.

1
Vérifier si les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
Pour vérifier l'alignement, on regarde si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires. $\vec{AB} = (3-1, 0-(-2), 1-3) = (2, 2, -2)$. $\vec{AC} = (0-1, 1-(-2), 2-3) = (-1, 3, -1)$. Les composantes de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ ne sont pas proportionnelles (par exemple, $2/(-1) = -2$ mais $2/3 \neq -2$). Donc, les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ ne sont pas colinéaires. Les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
2
Déterminer si le plan $P$ et la droite $D$ sont parallèles.
Un plan $P$ d'équation $ax+by+cz+d=0$ a pour vecteur normal $\vec{n}(a,b,c)$. Ici, $\vec{n}(1, -1, 2)$. La droite $D$ a pour vecteur directeur $\vec{u}(2, 1, -1)$. La droite $D$ est parallèle au plan $P$ si et seulement si son vecteur directeur $\vec{u}$ est orthogonal au vecteur normal $\vec{n}$ du plan. On calcule le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{n}$: $\vec{u} \cdot \vec{n} = (2)(1) + (1)(-1) + (-1)(2) = 2 - 1 - 2 = -1$. Puisque $\vec{u} \cdot \vec{n} \neq 0$, le vecteur $\vec{u}$ n'est pas orthogonal à $\vec{n}$. Donc, la droite $D$ n'est pas parallèle au plan $P$. Ils sont sécants.
3
Calculer la distance du point $A$ au plan $P$.
La distance d'un point $M_0(x_0, y_0, z_0)$ à un plan $P: ax+by+cz+d=0$ est donnée par la formule $d(M_0, P) = \frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$. Ici, $A(1, -2, 3)$ et $P: x - y + 2z - 1 = 0$. $d(A, P) = \frac{|(1)(1) - (1)(-2) + (2)(3) - 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{|1 + 2 + 6 - 1|}{\sqrt{1 + 1 + 4}} = \frac{|8|}{\sqrt{6}} = \frac{8}{\sqrt{6}}$. On peut rationaliser le dénominateur : $d(A, P) = \frac{8\sqrt{6}}{6} = \frac{4\sqrt{6}}{3}$.

Les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés. La droite $D$ et le plan $P$ sont sécants. La distance du point $A$ au plan $P$ est de $\frac{4\sqrt{6}}{3}$ unités de longueur.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Confusion des conditions d'orthogonalité/parallélisme

  1. Confondre la condition de parallélisme d'une droite et d'un plan (vecteur directeur orthogonal au vecteur normal) avec la condition d'orthogonalité (vecteur directeur colinéaire au vecteur normal).
  2. Oublier de vérifier la colinéarité des vecteurs pour l'alignement des points ou le parallélisme des droites, en se basant uniquement sur une composante.
  3. Erreur de signe dans l'application de la formule de distance d'un point à un plan, notamment avec la valeur absolue au numérateur.

Exercice type BAC

Dans un repère orthonormé de l'espace $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points $A(1, 0, -1)$, $B(2, 1, 1)$ et $C(0, 1, 0)$.

  1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.

  2. Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

  3. Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$.

  4. Soit la droite $D$ dont une représentation paramétrique est $\begin{cases} x = 1 + t \ y = 2 - t \ z = 3 + 2t \end{cases}$ avec $t \in \mathbb{R}$. Déterminer l'intersection de la droite $D$ et du plan $(ABC)$.

  1. Détermination d'une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ :

    La droite $(AB)$ passe par le point $A(1, 0, -1)$ et a pour vecteur directeur $\vec{AB}$.

    Calculons les coordonnées de $\vec{AB}$: $\vec{AB} = (2-1, 1-0, 1-(-1)) = (1, 1, 2)$.

    Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est donc :

    $$\begin{cases} x = 1 + 1t \ y = 0 + 1t \ z = -1 + 2t \end{cases} \quad \text{soit} \quad \begin{cases} x = 1 + t \ y = t \ z = -1 + 2t \end{cases} \quad \text{avec } t \in \mathbb{R}.$$

  2. Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés :

    Pour que les points $A$, $B$ et $C$ soient alignés, les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ doivent être colinéaires.

    On a $\vec{AB} = (1, 1, 2)$.

    Calculons les coordonnées de $\vec{AC}$: $\vec{AC} = (0-1, 1-0, 0-(-1)) = (-1, 1, 1)$.

    Vérifions si $\vec{AB} = k\vec{AC}$ pour un réel $k$.

    Si $1 = k(-1)$, alors $k = -1$.

    Si $1 = k(1)$, alors $k = 1$.

    Puisque nous obtenons deux valeurs différentes pour $k$, les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ ne sont pas colinéaires. Par conséquent, les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

  3. Détermination d'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ :

    Un vecteur normal $\vec{n}(a, b, c)$ au plan $(ABC)$ est orthogonal aux vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.

    On a donc le système d'équations :

    $$\begin{cases} \vec{n} \cdot \vec{AB} = 0 \ \vec{n} \cdot \vec{AC} = 0 \end{cases} \quad \text{soit} \quad \begin{cases} 1a + 1b + 2c = 0 \ -1a + 1b + 1c = 0 \end{cases}$$

    De la deuxième équation, $b = a - c$.

    Substituons $b$ dans la première équation : $a + (a - c) + 2c = 0 \Rightarrow 2a + c = 0 \Rightarrow c = -2a$.

    Alors $b = a - (-2a) = 3a$.

    On peut choisir $a=1$. Alors $b=3$ et $c=-2$.

    Un vecteur normal au plan $(ABC)$ est $\vec{n}(1, 3, -2)$.

    L'équation du plan $(ABC)$ est de la forme $1x + 3y - 2z + d = 0$.

    Le plan passe par le point $A(1, 0, -1)$. Substituons les coordonnées de $A$ dans l'équation :

    $1(1) + 3(0) - 2(-1) + d = 0 \Rightarrow 1 + 0 + 2 + d = 0 \Rightarrow 3 + d = 0 \Rightarrow d = -3$.

    Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est $x + 3y - 2z - 3 = 0$.

  4. Détermination de l'intersection de la droite $D$ et du plan $(ABC)$ :

    La droite $D$ a pour représentation paramétrique : $\begin{cases} x = 1 + t \ y = 2 - t \ z = 3 + 2t \end{cases}$.

    L'équation du plan $(ABC)$ est $x + 3y - 2z - 3 = 0$.

    Pour trouver le point d'intersection, substituons les expressions de $x, y, z$ de la droite dans l'équation du plan :

    $(1 + t) + 3(2 - t) - 2(3 + 2t) - 3 = 0$

    $1 + t + 6 - 3t - 6 - 4t - 3 = 0$

    Regroupons les termes en $t$ et les constantes :

    $(t - 3t - 4t) + (1 + 6 - 6 - 3) = 0$

    $-6t - 2 = 0$

    $-6t = 2$

    $t = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$.

    Maintenant, substituons cette valeur de $t$ dans les équations paramétriques de la droite $D$ pour trouver les coordonnées du point d'intersection $I(x_I, y_I, z_I)$ :

    $x_I = 1 + (-\frac{1}{3}) = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

    $y_I = 2 - (-\frac{1}{3}) = \frac{6}{3} + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$.

    $z_I = 3 + 2(-\frac{1}{3}) = \frac{9}{3} - \frac{2}{3} = \frac{7}{3}$.

    Le point d'intersection de la droite $D$ et du plan $(ABC)$ est $I(\frac{2}{3}, \frac{7}{3}, \frac{7}{3})$.

Questions fréquentes

Comment savoir si trois points sont coplanaires ?
Trois points $A$, $B$, $C$ sont toujours coplanaires (ils définissent un plan, sauf s'ils sont alignés). Si on ajoute un quatrième point $D$, pour vérifier si $A, B, C, D$ sont coplanaires, on peut déterminer l'équation du plan $(ABC)$ et vérifier si les coordonnées de $D$ satisfont cette équation.
Quelle est la différence entre un vecteur directeur et un vecteur normal ?
Un vecteur directeur $\vec{u}$ d'une droite est un vecteur qui donne la direction de la droite. Un vecteur normal $\vec{n}$ à un plan est un vecteur orthogonal à tous les vecteurs contenus dans ce plan. Il est perpendiculaire au plan.
Comment déterminer l'angle entre deux droites ou entre une droite et un plan ?
L'angle $\theta$ entre deux droites de vecteurs directeurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est tel que $\cos(\theta) = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{||\vec{u}|| \times ||\vec{v}||}$. L'angle $\alpha$ entre une droite de vecteur directeur $\vec{u}$ et un plan de vecteur normal $\vec{n}$ est tel que $\sin(\alpha) = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{||\vec{u}|| \times ||\vec{n}||}$ (attention, c'est le sinus, car l'angle est complémentaire de celui entre $\vec{u}$ et $\vec{n}$).
Quand utilise-t-on le produit scalaire dans l'étude des configurations géométriques ?
Le produit scalaire est fondamental pour vérifier l'orthogonalité (si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$), calculer des longueurs (via $||\vec{u}||^2 = \vec{u} \cdot \vec{u}$), et déterminer des angles entre vecteurs. Il est aussi utilisé pour trouver l'équation d'un plan (en utilisant le vecteur normal) ou pour projeter un point sur une droite ou un plan.

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