Définition
Le projeté orthogonal d'un point $A$ sur un plan $\mathcal{P}$ est le point $H$ du plan $\mathcal{P}$ tel que la droite $(AH)$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}$. De même, le projeté orthogonal d'un point $A$ sur une droite $\mathcal{D}$ est le point $H$ de la droite $\mathcal{D}$ tel que la droite $(AH)$ est orthogonale à la droite $\mathcal{D}$. Dans les deux cas, $H$ est le point du support (plan ou droite) le plus proche de $A$.
Méthode — Projeté orthogonal d'un point sur un plan ou une droite
Cas du projeté orthogonal d'un point sur un plan
Soit un point $A(x_A, y_A, z_A)$ et un plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $ax+by+cz+d=0$.
- Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AH)$ : Le vecteur normal $\vec{n}(a,b,c)$ au plan $\mathcal{P}$ est un vecteur directeur de la droite $(AH)$. La droite $(AH)$ passe par $A$. Une représentation paramétrique de $(AH)$ est donc : $$\begin{cases} x = x_A + at \\ y = y_A + bt \\ z = z_A + ct \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$$
- Déterminer les coordonnées du point $H$ : Le point $H$ est l'intersection de la droite $(AH)$ et du plan $\mathcal{P}$. Ses coordonnées $(x_H, y_H, z_H)$ vérifient à la fois la représentation paramétrique de $(AH)$ et l'équation cartésienne de $\mathcal{P}$. On substitue les expressions de $x, y, z$ de la droite dans l'équation du plan pour trouver la valeur de $t$ correspondante : $$a(x_A + at) + b(y_A + bt) + c(z_A + ct) + d = 0$$ On résout cette équation pour $t$, puis on remplace la valeur de $t$ dans les équations paramétriques de $(AH)$ pour obtenir les coordonnées de $H$.
Cas du projeté orthogonal d'un point sur une droite
Soit un point $A(x_A, y_A, z_A)$ et une droite $\mathcal{D}$ passant par un point $B(x_B, y_B, z_B)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(u_x, u_y, u_z)$.
- Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$ : $$\begin{cases} x = x_B + u_x t \\ y = y_B + u_y t \\ z = z_B + u_z t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$$
- Exprimer le vecteur $\vec{AH}$ : Le point $H$ appartient à $\mathcal{D}$, donc ses coordonnées sont de la forme $(x_B + u_x t, y_B + u_y t, z_B + u_z t)$. Le vecteur $\vec{AH}$ a pour coordonnées : $$\vec{AH} = \begin{pmatrix} x_B + u_x t - x_A \\ y_B + u_y t - y_A \\ z_B + u_z t - z_A \end{pmatrix}$$
- Utiliser la condition d'orthogonalité : La droite $(AH)$ est orthogonale à la droite $\mathcal{D}$, donc le vecteur $\vec{AH}$ est orthogonal au vecteur directeur $\vec{u}$ de $\mathcal{D}$. Leur produit scalaire est nul : $$\vec{AH} \cdot \vec{u} = 0$$ $$(x_B + u_x t - x_A)u_x + (y_B + u_y t - y_A)u_y + (z_B + u_z t - z_A)u_z = 0$$ On résout cette équation pour $t$, puis on remplace la valeur de $t$ dans la représentation paramétrique de $\mathcal{D}$ pour obtenir les coordonnées de $H$.
Calcul de la distance du point au plan/droite
Une fois le projeté orthogonal $H$ trouvé, la distance du point $A$ au plan $\mathcal{P}$ (ou à la droite $\mathcal{D}$) est la distance $AH$. On utilise la formule de la distance entre deux points : $$AH = \sqrt{(x_H - x_A)^2 + (y_H - y_A)^2 + (z_H - z_A)^2}$$
Pour la distance d'un point $A(x_A, y_A, z_A)$ à un plan $\mathcal{P}$ d'équation $ax+by+cz+d=0$, il existe une formule directe : $$d(A, \mathcal{P}) = \frac{|ax_A + by_A + cz_A + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$
Exemple résolu
Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère le point $A(1, -2, 3)$ et le plan $\mathcal{P}$ d'équation $2x - y + 2z - 1 = 0$. On cherche à déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ du point $A$ sur le plan $\mathcal{P}$ et la distance du point $A$ au plan $\mathcal{P}$.
L'équation du plan $\mathcal{P}$ est $2x - y + 2z - 1 = 0$. Un vecteur normal à ce plan est $\vec{n}(2, -1, 2)$.
La droite $(AH)$ passe par $A(1, -2, 3)$ et a pour vecteur directeur $\vec{n}$. Une représentation paramétrique de la droite $(AH)$ est : $$\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -2 - t \\ z = 3 + 2t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$$
Le point $H$ est l'intersection de la droite $(AH)$ et du plan $\mathcal{P}$. Ses coordonnées $(x_H, y_H, z_H)$ vérifient les équations paramétriques de $(AH)$ et l'équation du plan $\mathcal{P}$.
On substitue les expressions de $x, y, z$ dans l'équation du plan : $$2(1 + 2t) - (-2 - t) + 2(3 + 2t) - 1 = 0$$ $$2 + 4t + 2 + t + 6 + 4t - 1 = 0$$ $$9t + 9 = 0$$ $$9t = -9$$ $$t = -1$$
On remplace $t = -1$ dans les équations paramétriques de $(AH)$ pour trouver les coordonnées de $H$ : $$\begin{cases} x_H = 1 + 2(-1) = 1 - 2 = -1 \\ y_H = -2 - (-1) = -2 + 1 = -1 \\ z_H = 3 + 2(-1) = 3 - 2 = 1 \end{cases}$$
Donc, les coordonnées du projeté orthogonal $H$ sont $(-1, -1, 1)$.
La distance $d(A, \mathcal{P})$ est égale à la distance $AH$.
En utilisant les coordonnées de $A(1, -2, 3)$ et $H(-1, -1, 1)$ : $$AH = \sqrt{(-1 - 1)^2 + (-1 - (-2))^2 + (1 - 3)^2}$$ $$AH = \sqrt{(-2)^2 + (1)^2 + (-2)^2}$$ $$AH = \sqrt{4 + 1 + 4}$$ $$AH = \sqrt{9}$$ $$AH = 3$$
Alternativement, en utilisant la formule directe : $$d(A, \mathcal{P}) = \frac{|2(1) - (-2) + 2(3) - 1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}}$$ $$d(A, \mathcal{P}) = \frac{|2 + 2 + 6 - 1|}{\sqrt{4 + 1 + 4}}$$ $$d(A, \mathcal{P}) = \frac{|9|}{\sqrt{9}}$$ $$d(A, \mathcal{P}) = \frac{9}{3}$$ $$d(A, \mathcal{P}) = 3$$
Le projeté orthogonal $H$ du point $A(1, -2, 3)$ sur le plan $\mathcal{P}$ est $H(-1, -1, 1)$. La distance du point $A$ au plan $\mathcal{P}$ est $3$.
⚠️ Piège fréquent au BAC — Confusion des vecteurs
- Ne pas confondre le vecteur directeur d'une droite et le vecteur normal d'un plan. Pour le projeté sur un plan, la droite $(AH)$ utilise le vecteur normal du plan comme vecteur directeur. Pour le projeté sur une droite, le vecteur $\vec{AH}$ doit être orthogonal au vecteur directeur de la droite.
- Oublier de vérifier que le point $H$ appartient bien au support (plan ou droite) à la fin des calculs. Une simple substitution des coordonnées de $H$ dans l'équation du plan ou de la droite permet de s'en assurer.
- Erreur de signe lors du calcul du produit scalaire ou de la substitution dans l'équation du plan, surtout avec des coordonnées négatives.
Exercice type BAC
Dans un repère orthonormé de l'espace $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points $A(2, 1, -1)$, $B(0, 2, 1)$ et $C(1, 0, 3)$.
Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ passant par les points $A$, $B$ et $C$.
Soit le point $M(4, -1, 2)$. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ du point $M$ sur le plan $\mathcal{P}$.
Calculer la distance du point $M$ au plan $\mathcal{P}$.
Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
Calculons les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ :
- $\vec{AB} = \begin{pmatrix} 0-2 \\ 2-1 \\ 1-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$
- $\vec{AC} = \begin{pmatrix} 1-2 \\ 0-1 \\ 3-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}$
Les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ ne sont pas colinéaires car leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles (par exemple, $-2/(-1) = 2$ mais $1/(-1) = -1 \neq 2$). Puisque les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ ne sont pas colinéaires, les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ passant par les points $A$, $B$ et $C$.
Un vecteur normal $\vec{n}(a, b, c)$ au plan $\mathcal{P}$ est orthogonal aux vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$. On peut calculer leur produit vectoriel :
$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \times 4 - 2 \times (-1) \\ 2 \times (-1) - (-2) \times 4 \\ (-2) \times (-1) - 1 \times (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 + 2 \\ -2 + 8 \\ 2 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix}$
On peut simplifier ce vecteur normal en prenant $\vec{n}' = \frac{1}{3}\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$.
L'équation du plan $\mathcal{P}$ est de la forme $2x + 2y + z + d = 0$.
Le plan passe par $A(2, 1, -1)$, donc ses coordonnées vérifient l'équation :
$2(2) + 2(1) + (-1) + d = 0$
$4 + 2 - 1 + d = 0$
$5 + d = 0 \implies d = -5$
Une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est $2x + 2y + z - 5 = 0$.
Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ du point $M$ sur le plan $\mathcal{P}$.
Le point $M$ a pour coordonnées $(4, -1, 2)$. Le plan $\mathcal{P}$ a pour équation $2x + 2y + z - 5 = 0$.
La droite $(MH)$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}$, donc elle a pour vecteur directeur le vecteur normal $\vec{n}'(2, 2, 1)$ du plan.
Une représentation paramétrique de la droite $(MH)$ est :
$$\begin{cases} x = 4 + 2t \\ y = -1 + 2t \\ z = 2 + t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$$
Le point $H$ est l'intersection de $(MH)$ et $\mathcal{P}$. On substitue les expressions de $x, y, z$ dans l'équation du plan :
$2(4 + 2t) + 2(-1 + 2t) + (2 + t) - 5 = 0$
$8 + 4t - 2 + 4t + 2 + t - 5 = 0$
$9t + 3 = 0$
$9t = -3$
$t = -3/9 = -1/3$
On remplace $t = -1/3$ dans les équations paramétriques de $(MH)$ pour trouver les coordonnées de $H$ :
- $x_H = 4 + 2(-1/3) = 4 - 2/3 = 12/3 - 2/3 = 10/3$
- $y_H = -1 + 2(-1/3) = -1 - 2/3 = -3/3 - 2/3 = -5/3$
- $z_H = 2 + (-1/3) = 6/3 - 1/3 = 5/3$
Les coordonnées du projeté orthogonal $H$ sont $(10/3, -5/3, 5/3)$.
Calculer la distance du point $M$ au plan $\mathcal{P}$.
On utilise la formule de la distance d'un point à un plan :
$d(M, \mathcal{P}) = \frac{|ax_M + by_M + cz_M + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
Avec $M(4, -1, 2)$ et $\mathcal{P}: 2x + 2y + z - 5 = 0$ :
$d(M, \mathcal{P}) = \frac{|2(4) + 2(-1) + 1(2) - 5|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2}}$
$d(M, \mathcal{P}) = \frac{|8 - 2 + 2 - 5|}{\sqrt{4 + 4 + 1}}$
$d(M, \mathcal{P}) = \frac{|3|}{\sqrt{9}}$
$d(M, \mathcal{P}) = \frac{3}{3}$
$d(M, \mathcal{P}) = 1$
La distance du point $M$ au plan $\mathcal{P}$ est $1$.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre un projeté orthogonal et un projeté tout court ?
Peut-on utiliser le produit scalaire pour trouver le projeté orthogonal sur un plan ?
La formule de distance d'un point à un plan est-elle au programme ?
Comment vérifier que le point $H$ trouvé est bien le projeté orthogonal ?
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