Distance d'un point à un plan : formule et applications – Fiche BAC Terminale Maths

Définition

La distance d'un point $A(x_A; y_A; z_A)$ à un plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $ax + by + cz + d = 0$ est la plus courte distance entre le point $A$ et un point $M$ du plan $\mathcal{P}$. Elle est donnée par la formule : $$d(A, \mathcal{P}) = \frac{|ax_A + by_A + cz_A + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$$ où $(a; b; c)$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.

💡 Bon réflexe : Toujours vérifier que l'équation du plan est sous forme cartésienne $ax+by+cz+d=0$ avant d'appliquer la formule, et ne pas oublier la valeur absolue au numérateur.

Méthode — Distance d'un point à un plan : formule et applications

Identifier les coordonnées du point et l'équation du plan

Soit le point $A(x_A; y_A; z_A)$ et le plan $\mathcal{P}$ d'équation $ax + by + cz + d = 0$. Il est crucial que l'équation du plan soit sous cette forme générale. Si elle est donnée sous une autre forme (par exemple, paramétrique), il faut d'abord la convertir en équation cartésienne.

Extraire les coefficients de l'équation du plan

Les coefficients $a$, $b$, $c$ et $d$ sont directement lus dans l'équation cartésienne du plan $ax + by + cz + d = 0$. Le triplet $(a; b; c)$ représente les coordonnées d'un vecteur normal au plan.

Appliquer la formule de la distance

Substituer les coordonnées du point $A$ et les coefficients du plan dans la formule : $$d(A, \mathcal{P}) = \frac{|ax_A + by_A + cz_A + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$$ Le numérateur est la valeur absolue de l'évaluation de l'expression $ax + by + cz + d$ au point $A$. Le dénominateur est la norme du vecteur normal $\vec{n}(a; b; c)$.

Calculer et simplifier le résultat

Effectuer les calculs numériques. La distance est toujours une valeur positive ou nulle. Simplifier la racine carrée au dénominateur si possible et donner la valeur exacte ou une valeur approchée si demandé.

Exemple résolu

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère le point $A(1; -2; 3)$ et le plan $\mathcal{P}$ d'équation $2x - y + 2z - 5 = 0$. Calculer la distance du point $A$ au plan $\mathcal{P}$.

Identifier les coordonnées du point et l'équation du plan

Le point est $A(x_A; y_A; z_A) = A(1; -2; 3)$. Le plan $\mathcal{P}$ a pour équation $2x - y + 2z - 5 = 0$.

Extraire les coefficients de l'équation du plan

En comparant avec $ax + by + cz + d = 0$, on a $a = 2$, $b = -1$, $c = 2$ et $d = -5$. Le vecteur normal au plan est $\vec{n}(2; -1; 2)$.

Appliquer la formule de la distance

On substitue les valeurs dans la formule : $$d(A, \mathcal{P}) = \frac{|ax_A + by_A + cz_A + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$$ $$d(A, \mathcal{P}) = \frac{|2(1) + (-1)(-2) + 2(3) + (-5)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}}$$ $$d(A, \mathcal{P}) = \frac{|2 + 2 + 6 - 5|}{\sqrt{4 + 1 + 4}}$$ $$d(A, \mathcal{P}) = \frac{|5|}{\sqrt{9}}$$

Calculer et simplifier le résultat

$$d(A, \mathcal{P}) = \frac{5}{3}$$

La distance du point $A$ au plan $\mathcal{P}$ est $\boxed{\frac{5}{3}}$.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Erreurs de signe et de calcul

Oublier la valeur absolue au numérateur : la distance est toujours positive ou nulle.
Erreurs de signe lors de la substitution des coordonnées du point, surtout si elles sont négatives.
Confondre les coefficients $a, b, c$ avec les coordonnées du point $A$.
Ne pas simplifier la racine carrée au dénominateur ou faire des erreurs de calcul avec les carrés.

Exercice type BAC

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère :

Le point $A(2; -1; 4)$.

Le plan $\mathcal{P}$ passant par les points $B(1; 0; 1)$, $C(0; 2; 1)$ et $D(1; 1; 0)$.

Déterminer un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.
En déduire une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$.
Calculer la distance du point $A$ au plan $\mathcal{P}$.

Déterminer un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.
On calcule les vecteurs $\vec{BC}$ et $\vec{BD}$ :
$\vec{BC} = (0 - 1; 2 - 0; 1 - 1) = (-1; 2; 0)$
$\vec{BD} = (1 - 1; 1 - 0; 0 - 1) = (0; 1; -1)$
Un vecteur normal $\vec{n}(a; b; c)$ au plan $\mathcal{P}$ est orthogonal à $\vec{BC}$ et à $\vec{BD}$. On peut calculer le produit vectoriel $\vec{BC} \times \vec{BD}$ ou résoudre le système :
$\vec{n} \cdot \vec{BC} = 0 \implies -a + 2b = 0 \implies a = 2b$
$\vec{n} \cdot \vec{BD} = 0 \implies b - c = 0 \implies c = b$
En choisissant $b = 1$, on obtient $a = 2$ et $c = 1$.
Donc, un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$ est $\vec{n}(2; 1; 1)$.
En déduire une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$.
L'équation du plan $\mathcal{P}$ est de la forme $ax + by + cz + d = 0$. Avec $\vec{n}(2; 1; 1)$, l'équation est $2x + y + z + d = 0$.
Le plan passe par le point $B(1; 0; 1)$. On substitue ses coordonnées dans l'équation :
$2(1) + 0 + 1 + d = 0$
$2 + 1 + d = 0$
$3 + d = 0 \implies d = -3$
Une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est $2x + y + z - 3 = 0$.
Calculer la distance du point $A$ au plan $\mathcal{P}$.
Le point est $A(2; -1; 4)$. Le plan $\mathcal{P}$ a pour équation $2x + y + z - 3 = 0$.
On utilise la formule de la distance : $$d(A, \mathcal{P}) = \frac{|ax_A + by_A + cz_A + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$$
Ici, $a=2$, $b=1$, $c=1$, $d=-3$, et $x_A=2$, $y_A=-1$, $z_A=4$.
$$d(A, \mathcal{P}) = \frac{|2(2) + 1(-1) + 1(4) + (-3)|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2}}$$
$$d(A, \mathcal{P}) = \frac{|4 - 1 + 4 - 3|}{\sqrt{4 + 1 + 1}}$$
$$d(A, \mathcal{P}) = \frac{|4|}{\sqrt{6}}$$
$$d(A, \mathcal{P}) = \frac{4}{\sqrt{6}}$$
On peut rationaliser le dénominateur :
$$d(A, \mathcal{P}) = \frac{4\sqrt{6}}{6} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$$
La distance du point $A$ au plan $\mathcal{P}$ est $\frac{2\sqrt{6}}{3}$.

Questions fréquentes

Comment savoir si un point appartient à un plan ?

Un point $A(x_A; y_A; z_A)$ appartient à un plan $\mathcal{P}$ d'équation $ax + by + cz + d = 0$ si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation du plan, c'est-à-dire si $ax_A + by_A + cz_A + d = 0$. Dans ce cas, la distance du point au plan est nulle.

Que représente le dénominateur $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ dans la formule ?

Le dénominateur $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ représente la norme (ou la longueur) du vecteur normal $\vec{n}(a; b; c)$ au plan. C'est un facteur de normalisation qui assure que la distance est bien la distance euclidienne.

Peut-on utiliser cette formule si le plan est donné sous forme paramétrique ?

Non, la formule de la distance d'un point à un plan nécessite une équation cartésienne du plan ($ax + by + cz + d = 0$). Si le plan est donné sous forme paramétrique, il faut d'abord convertir cette équation en une équation cartésienne. Cela se fait généralement en trouvant deux vecteurs directeurs du plan, puis en calculant un vecteur normal (par produit vectoriel ou résolution de système), et enfin en utilisant un point du plan pour trouver la constante $d$.

La distance d'un point à un plan peut-elle être négative ?

Non, une distance est toujours une mesure positive ou nulle. C'est pourquoi la formule inclut une valeur absolue au numérateur : $|ax_A + by_A + cz_A + d|$. Si le point est sur le plan, la distance est 0.

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