Sphère : équation cartésienne, centre et rayon – Fiche BAC Terminale Maths

Q: Comment savoir si une équation donnée représente une sphère ?

Une équation de la forme $x^2 + y^2 + z^2 + ax + by + cz + d = 0$ représente une sphère si, après complétion du carré, le terme constant $R^2 = (a/2)^2 + (b/2)^2 + (c/2)^2 - d$ est strictement positif. Si $R^2 = 0$, c'est un point. Si $R^2 < 0$, l'ensemble est vide.

Q: Peut-on avoir une sphère de rayon nul ?

Non, par définition, le rayon $R$ d'une sphère doit être strictement positif ($R > 0$). Si le calcul aboutit à $R=0$, l'ensemble des points est réduit à un seul point (le centre), ce n'est pas une sphère au sens strict.

Définition

Une sphère $\mathcal{S}$ de centre $A(x_A, y_A, z_A)$ et de rayon $R > 0$ est l'ensemble des points $M(x, y, z)$ de l'espace tels que la distance $AM$ est égale à $R$. Son équation cartésienne est donnée par $(x - x_A)^2 + (y - y_A)^2 + (z - z_A)^2 = R^2$.

💡 Bon réflexe : Toujours vérifier le signe du terme constant après complétion du carré pour déterminer la nature de l'ensemble (sphère, point ou ensemble vide).

Méthode — Sphère : équation cartésienne, centre et rayon

Déterminer l'équation d'une sphère à partir de son centre et de son rayon

Soit une sphère de centre $A(x_A, y_A, z_A)$ et de rayon $R$. L'équation cartésienne est directement $(x - x_A)^2 + (y - y_A)^2 + (z - z_A)^2 = R^2$.

Déterminer le centre et le rayon à partir de l'équation cartésienne développée

Si l'équation est donnée sous la forme développée $x^2 + y^2 + z^2 + ax + by + cz + d = 0$, on utilise la méthode de complétion du carré pour la ramener à la forme $(x - x_A)^2 + (y - y_A)^2 + (z - z_A)^2 = R^2$.
On regroupe les termes en $x$, $y$ et $z$ : $(x^2 + ax) + (y^2 + by) + (z^2 + cz) + d = 0$.
On complète les carrés : $(x + a/2)^2 - (a/2)^2 + (y + b/2)^2 - (b/2)^2 + (z + c/2)^2 - (c/2)^2 + d = 0$.
On obtient alors $(x + a/2)^2 + (y + b/2)^2 + (z + c/2)^2 = (a/2)^2 + (b/2)^2 + (c/2)^2 - d$.
Le centre est $A(-a/2, -b/2, -c/2)$ et le rayon $R = \sqrt{(a/2)^2 + (b/2)^2 + (c/2)^2 - d}$, à condition que l'expression sous la racine soit strictement positive.

Cas particulier : l'ensemble est vide ou un point

Lors de la complétion du carré, si l'expression $(a/2)^2 + (b/2)^2 + (c/2)^2 - d$ est égale à $0$, l'ensemble des points $M$ est réduit au seul point $A(-a/2, -b/2, -c/2)$. Si cette expression est strictement négative, l'ensemble est vide.

Déterminer l'équation d'une sphère définie par son diamètre

Si la sphère est définie par un diamètre $[AB]$ avec $A(x_A, y_A, z_A)$ et $B(x_B, y_B, z_B)$, le centre de la sphère est le milieu $I$ de $[AB]$, soit $I\left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}, \frac{z_A+z_B}{2}\right)$. Le rayon $R$ est la moitié de la distance $AB$, soit $R = \frac{1}{2} \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2}$.

Exemple résolu

On considère l'ensemble $\mathcal{E}$ des points $M(x, y, z)$ de l'espace dont les coordonnées vérifient l'équation : $x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 2y - 6z - 2 = 0$. Déterminer la nature de $\mathcal{E}$ et, si c'est une sphère, préciser son centre et son rayon.

Regrouper les termes et compléter les carrés

L'équation donnée est $x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 2y - 6z - 2 = 0$.
On regroupe les termes : $(x^2 - 4x) + (y^2 + 2y) + (z^2 - 6z) - 2 = 0$.
On complète les carrés pour chaque variable :
Pour $x$: $x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 2^2 = (x - 2)^2 - 4$.
Pour $y$: $y^2 + 2y = (y + 1)^2 - 1^2 = (y + 1)^2 - 1$.
Pour $z$: $z^2 - 6z = (z - 3)^2 - 3^2 = (z - 3)^2 - 9$.
En substituant ces expressions dans l'équation, on obtient :
$(x - 2)^2 - 4 + (y + 1)^2 - 1 + (z - 3)^2 - 9 - 2 = 0$.

Simplifier l'équation pour obtenir la forme canonique

On regroupe les constantes :
$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 - 4 - 1 - 9 - 2 = 0$
$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 - 16 = 0$
$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 16$.

Identifier le centre et le rayon

L'équation est de la forme $(x - x_A)^2 + (y - y_A)^2 + (z - z_A)^2 = R^2$.
En comparant, on a $x_A = 2$, $y_A = -1$, $z_A = 3$. Donc le centre de la sphère est $A(2, -1, 3)$.
On a $R^2 = 16$, donc $R = \sqrt{16} = 4$ (le rayon est une distance, donc positif).

L'ensemble $\mathcal{E}$ est une sphère de centre $A(2, -1, 3)$ et de rayon $R = 4$.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Rayon négatif ou nul

Oublier de vérifier que $R^2 > 0$ après la complétion du carré. Si $R^2 < 0$, l'ensemble est vide. Si $R^2 = 0$, l'ensemble est un point.
Faire une erreur de signe lors de l'identification des coordonnées du centre. Par exemple, si l'équation est $(x+2)^2$, le centre a pour coordonnée $x_A = -2$, et non $2$.
Confondre le rayon $R$ avec $R^2$ ou oublier de prendre la racine carrée à la fin.

Exercice type BAC

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points $A(1, -2, 3)$ et $B(3, 0, -1)$.

Déterminer une équation cartésienne de la sphère $\mathcal{S}$ de diamètre $[AB]$.
On considère l'ensemble $\mathcal{E}$ des points $M(x, y, z)$ tels que $x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 6z + 14 = 0$. Déterminer la nature de $\mathcal{E}$.
Le point $C(1, -1, 2)$ appartient-il à la sphère $\mathcal{S}$ ? Justifier votre réponse.

Détermination de l'équation de la sphère $\mathcal{S}$ de diamètre $[AB]$ :
Le centre $I$ de la sphère est le milieu du segment $[AB]$.
$I\left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}, \frac{z_A+z_B}{2}\right) = I\left(\frac{1+3}{2}, \frac{-2+0}{2}, \frac{3+(-1)}{2}\right) = I(2, -1, 1)$.
Le rayon $R$ de la sphère est la moitié de la distance $AB$.
$AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2}$
$AB = \sqrt{(3-1)^2 + (0-(-2))^2 + (-1-3)^2}$
$AB = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24}$.
Le rayon est $R = \frac{\sqrt{24}}{2} = \frac{2\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6}$.
L'équation cartésienne de la sphère $\mathcal{S}$ est donc $(x - x_I)^2 + (y - y_I)^2 + (z - z_I)^2 = R^2$.
$(x - 2)^2 + (y - (-1))^2 + (z - 1)^2 = (\sqrt{6})^2$
$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 1)^2 = 6$.
Détermination de la nature de l'ensemble $\mathcal{E}$ :
L'équation de $\mathcal{E}$ est $x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 6z + 14 = 0$.
On regroupe les termes et on complète les carrés :
$(x^2 - 2x) + (y^2 + 4y) + (z^2 - 6z) + 14 = 0$
$(x - 1)^2 - 1^2 + (y + 2)^2 - 2^2 + (z - 3)^2 - 3^2 + 14 = 0$
$(x - 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 + (z - 3)^2 - 9 + 14 = 0$
$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 - 1 - 4 - 9 + 14 = 0$
$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 0$.
L'équation est de la forme $(x - x_J)^2 + (y - y_J)^2 + (z - z_J)^2 = R'^2$ avec $R'^2 = 0$.
Cela signifie que l'ensemble $\mathcal{E}$ est réduit à un seul point, le point $J(1, -2, 3)$.
Vérification si le point $C(1, -1, 2)$ appartient à la sphère $\mathcal{S}$ :
Pour vérifier si $C$ appartient à $\mathcal{S}$, on substitue ses coordonnées dans l'équation de $\mathcal{S}$ trouvée à la question 1 :
$(x_C - 2)^2 + (y_C + 1)^2 + (z_C - 1)^2 = 6$
$(1 - 2)^2 + (-1 + 1)^2 + (2 - 1)^2 = 6$
$(-1)^2 + (0)^2 + (1)^2 = 6$
$1 + 0 + 1 = 6$
$2 = 6$.
Comme $2 \neq 6$, le point $C$ n'appartient pas à la sphère $\mathcal{S}$.

Questions fréquentes

Comment savoir si une équation donnée représente une sphère ?

Une équation de la forme $x^2 + y^2 + z^2 + ax + by + cz + d = 0$ représente une sphère si, après complétion du carré, le terme constant $R^2 = (a/2)^2 + (b/2)^2 + (c/2)^2 - d$ est strictement positif. Si $R^2 = 0$, c'est un point. Si $R^2 < 0$, l'ensemble est vide.

Peut-on avoir une sphère de rayon nul ?

Non, par définition, le rayon $R$ d'une sphère doit être strictement positif ($R > 0$). Si le calcul aboutit à $R=0$, l'ensemble des points est réduit à un seul point (le centre), ce n'est pas une sphère au sens strict.

Comment trouver l'équation d'une sphère passant par quatre points ?

C'est une question plus complexe. On peut substituer les coordonnées des quatre points dans l'équation générale $x^2 + y^2 + z^2 + ax + by + cz + d = 0$. Cela conduit à un système de quatre équations linéaires à quatre inconnues ($a, b, c, d$) qu'il faut résoudre. Si une solution unique existe et que $R^2 > 0$, alors il y a une sphère unique.

Quelle est la différence entre une sphère et une boule ?

La sphère est une surface, c'est l'ensemble des points situés à une distance $R$ du centre. La boule est un volume, c'est l'ensemble des points situés à une distance inférieure ou égale à $R$ du centre. L'équation cartésienne $(x - x_A)^2 + (y - y_A)^2 + (z - z_A)^2 = R^2$ décrit une sphère, tandis que l'inéquation $(x - x_A)^2 + (y - y_A)^2 + (z - z_A)^2 \leq R^2$ décrit une boule.

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