Géométrie dans l'espace · Fiche N°99 / 110

Équation cartésienne d'un plan et vecteur normal

Définition, méthode rigoureuse, exemples corrigés et exercice type BAC.

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Définition

Un plan $\mathcal{P}$ dans l'espace est l'ensemble des points $M(x;y;z)$ dont les coordonnées vérifient une équation de la forme $ax + by + cz + d = 0$, où $a, b, c, d$ sont des réels, et $(a,b,c) \neq (0,0,0)$. Cette équation est appelée équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$.

Le vecteur $\vec{n}(a;b;c)$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$, ce qui signifie qu'il est orthogonal à tout vecteur directeur du plan $\mathcal{P}$.

💡 Bon réflexe : Pour trouver un vecteur normal à un plan défini par trois points, calculez deux vecteurs du plan et utilisez le produit scalaire pour trouver un vecteur orthogonal aux deux.
xzyOn⃗(a,b,c)Plan :ax+by+cz+d=0

Méthode — Équation cartésienne d'un plan et vecteur normal

1

Déterminer l'équation cartésienne d'un plan connaissant un point et un vecteur normal

Soit un plan $\mathcal{P}$ passant par un point $A(x_A;y_A;z_A)$ et de vecteur normal $\vec{n}(a;b;c)$.

  1. Tout point $M(x;y;z)$ appartenant au plan $\mathcal{P}$ vérifie la condition $\vec{AM} \cdot \vec{n} = 0$.
  2. On exprime les coordonnées du vecteur $\vec{AM}$: $\vec{AM}(x-x_A; y-y_A; z-z_A)$.
  3. On calcule le produit scalaire $\vec{AM} \cdot \vec{n}$: $a(x-x_A) + b(y-y_A) + c(z-z_A) = 0$.
  4. On développe et on regroupe les termes pour obtenir l'équation cartésienne sous la forme $ax + by + cz + d = 0$, où $d = -ax_A - by_A - cz_A$.

2

Déterminer l'équation cartésienne d'un plan défini par trois points non alignés

Soient trois points non alignés $A, B, C$ définissant un plan $\mathcal{P}$.

  1. Calculer les coordonnées de deux vecteurs non colinéaires du plan, par exemple $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.
  2. Rechercher un vecteur normal $\vec{n}(a;b;c)$ au plan $\mathcal{P}$. Ce vecteur doit être orthogonal à $\vec{AB}$ et à $\vec{AC}$. On a donc le système d'équations: $$\begin{cases} \vec{n} \cdot \vec{AB} = 0 \\ \vec{n} \cdot \vec{AC} = 0 \end{cases}$$
  3. Résoudre ce système pour trouver $a, b, c$. On peut choisir une valeur non nulle pour l'une des inconnues (par exemple $a=1$) pour trouver une solution non triviale.
  4. Utiliser l'un des trois points (par exemple $A$) et le vecteur normal $\vec{n}$ trouvé pour déterminer l'équation cartésienne du plan comme dans la méthode précédente.

3

Vérifier si un point appartient à un plan

Pour vérifier si un point $M(x_M;y_M;z_M)$ appartient à un plan $\mathcal{P}$ d'équation $ax + by + cz + d = 0$, il suffit de substituer les coordonnées de $M$ dans l'équation. Si $ax_M + by_M + cz_M + d = 0$, alors le point $M$ appartient au plan $\mathcal{P}$. Sinon, il n'y appartient pas.

4

Déterminer la position relative de deux plans

Soient deux plans $\mathcal{P}_1: a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$ et $\mathcal{P}_2: a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$, avec leurs vecteurs normaux respectifs $\vec{n_1}(a_1;b_1;c_1)$ et $\vec{n_2}(a_2;b_2;c_2)$.

  1. Plans parallèles: Les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ sont colinéaires. C'est-à-dire s'il existe un réel $k \neq 0$ tel que $\vec{n_1} = k\vec{n_2}$.
  2. Plans confondus: Si les plans sont parallèles et qu'un point de $\mathcal{P}_1$ appartient à $\mathcal{P}_2$ (ou vice-versa), alors les plans sont confondus. Cela se produit si et seulement si les équations sont proportionnelles: $a_1 = ka_2$, $b_1 = kb_2$, $c_1 = kc_2$, et $d_1 = kd_2$ pour un même $k \neq 0$.
  3. Plans sécants: Si les plans ne sont pas parallèles, ils sont sécants. Leur intersection est alors une droite. Cela se produit si et seulement si leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires.

Exemple résolu

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points $A(1; -2; 3)$, $B(0; 1; 2)$ et $C(2; 0; 1)$.

Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ passant par $A$, $B$ et $C$.

1
Calculer les coordonnées de deux vecteurs du plan

Calculons les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ :

  • $\vec{AB}(0-1; 1-(-2); 2-3)$, donc $\vec{AB}(-1; 3; -1)$.
  • $\vec{AC}(2-1; 0-(-2); 1-3)$, donc $\vec{AC}(1; 2; -2)$.

Vérifions que les points ne sont pas alignés en montrant que les vecteurs ne sont pas colinéaires. Il n'existe pas de réel $k$ tel que $\vec{AB} = k\vec{AC}$ car $-1 = k \times 1 \implies k = -1$, mais $3 \neq -1 \times 2$. Donc les points $A, B, C$ ne sont pas alignés et définissent bien un plan.

2
Rechercher un vecteur normal $\vec{n}(a;b;c)$ au plan

Le vecteur $\vec{n}(a;b;c)$ est normal au plan $\mathcal{P}$ s'il est orthogonal à $\vec{AB}$ et à $\vec{AC}$.

On a donc le système d'équations :

  • $\vec{n} \cdot \vec{AB} = 0 \implies a(-1) + b(3) + c(-1) = 0 \implies -a + 3b - c = 0$ (1)
  • $\vec{n} \cdot \vec{AC} = 0 \implies a(1) + b(2) + c(-2) = 0 \implies a + 2b - 2c = 0$ (2)

On peut résoudre ce système. De (2), on tire $a = -2b + 2c$.

Substituons $a$ dans (1) :

$-(-2b + 2c) + 3b - c = 0$

$2b - 2c + 3b - c = 0$

$5b - 3c = 0 \implies 5b = 3c$.

On peut choisir une valeur pour $b$ ou $c$. Par exemple, si on prend $b=3$, alors $5 \times 3 = 3c \implies 15 = 3c \implies c = 5$.

Maintenant, trouvons $a$ en utilisant $a = -2b + 2c = -2(3) + 2(5) = -6 + 10 = 4$.

Un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$ est donc $\vec{n}(4; 3; 5)$.

3
Écrire l'équation cartésienne du plan

L'équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est de la forme $ax + by + cz + d = 0$. Avec $\vec{n}(4; 3; 5)$, l'équation est $4x + 3y + 5z + d = 0$.

Pour trouver $d$, on utilise un des points du plan, par exemple $A(1; -2; 3)$.

$4(1) + 3(-2) + 5(3) + d = 0$

$4 - 6 + 15 + d = 0$

$13 + d = 0 \implies d = -13$.

Une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ passant par $A, B, C$ est donc $4x + 3y + 5z - 13 = 0$.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Colinéarité des vecteurs normaux

  1. Oublier de vérifier si les vecteurs normaux sont colinéaires avant de conclure sur la position relative de deux plans. S'ils sont colinéaires, les plans sont parallèles ou confondus, pas sécants.
  2. Confondre les coefficients $a,b,c$ de l'équation cartésienne avec les coordonnées d'un point du plan. $a,b,c$ sont les coordonnées d'un vecteur normal.
  3. Ne pas vérifier que les trois points définissant un plan ne sont pas alignés. S'ils sont alignés, ils ne définissent pas un plan unique, mais une infinité de plans.

Exercice type BAC

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points $A(1; 0; -1)$, $B(2; 1; 1)$ et $C(0; -1; 2)$.

  1. Montrer que les points $A, B, C$ ne sont pas alignés.
  2. Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ passant par $A, B, C$.
  3. Le point $D(3; 2; 0)$ appartient-il au plan $\mathcal{P}$ ? Justifier votre réponse.

  1. Montrer que les points $A, B, C$ ne sont pas alignés.

    Calculons les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ :

    • $\vec{AB}(2-1; 1-0; 1-(-1))$, donc $\vec{AB}(1; 1; 2)$.
    • $\vec{AC}(0-1; -1-0; 2-(-1))$, donc $\vec{AC}(-1; -1; 3)$.

    Pour que les points $A, B, C$ soient alignés, les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ devraient être colinéaires. Cela signifie qu'il existerait un réel $k$ tel que $\vec{AC} = k\vec{AB}$.

    On aurait alors :

    • $-1 = k \times 1 \implies k = -1$
    • $-1 = k \times 1 \implies k = -1$
    • $3 = k \times 2 \implies k = 3/2$

    Puisque $k$ devrait être à la fois $-1$ et $3/2$, ce qui est impossible, les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ ne sont pas colinéaires. Par conséquent, les points $A, B, C$ ne sont pas alignés.

  2. Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ passant par $A, B, C$.

    Soit $\vec{n}(a;b;c)$ un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$. $\vec{n}$ doit être orthogonal à $\vec{AB}$ et à $\vec{AC}$.

    • $\vec{n} \cdot \vec{AB} = 0 \implies a(1) + b(1) + c(2) = 0 \implies a + b + 2c = 0$ (1)
    • $\vec{n} \cdot \vec{AC} = 0 \implies a(-1) + b(-1) + c(3) = 0 \implies -a - b + 3c = 0$ (2)

    Additionnons les équations (1) et (2) :

    $(a + b + 2c) + (-a - b + 3c) = 0 + 0$

    $5c = 0 \implies c = 0$.

    Substituons $c=0$ dans l'équation (1) :

    $a + b + 2(0) = 0 \implies a + b = 0 \implies b = -a$.

    Choisissons une valeur non nulle pour $a$, par exemple $a=1$. Alors $b = -1$.

    Un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$ est donc $\vec{n}(1; -1; 0)$.

    L'équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est de la forme $ax + by + cz + d = 0$, soit $1x - 1y + 0z + d = 0$, ce qui simplifie en $x - y + d = 0$.

    Pour trouver $d$, utilisons le point $A(1; 0; -1)$ qui appartient au plan :

    $1 - 0 + d = 0 \implies 1 + d = 0 \implies d = -1$.

    Une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est donc $x - y - 1 = 0$.

  3. Le point $D(3; 2; 0)$ appartient-il au plan $\mathcal{P}$ ? Justifier votre réponse.

    Pour vérifier si le point $D(3; 2; 0)$ appartient au plan $\mathcal{P}$ d'équation $x - y - 1 = 0$, nous substituons ses coordonnées dans l'équation :

    $3 - 2 - 1 = 0$

    $1 - 1 = 0$

    $0 = 0$.

    L'égalité est vérifiée. Donc, le point $D$ appartient bien au plan $\mathcal{P}$.

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un vecteur normal à un plan ?
Un vecteur normal à un plan est un vecteur non nul qui est orthogonal à tous les vecteurs directeurs de ce plan. Si l'équation cartésienne du plan est $ax + by + cz + d = 0$, alors $\vec{n}(a;b;c)$ est un vecteur normal au plan.
Comment savoir si deux plans sont parallèles ?
Deux plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires. C'est-à-dire, si $\vec{n_1}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}_1$ et $\vec{n_2}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}_2$, alors $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont parallèles si et seulement s'il existe un réel $k \neq 0$ tel que $\vec{n_1} = k\vec{n_2}$.
Peut-on avoir plusieurs équations cartésiennes pour un même plan ?
Oui, un plan admet une infinité d'équations cartésiennes. Si $ax + by + cz + d = 0$ est une équation d'un plan, alors pour tout réel $k \neq 0$, l'équation $k(ax + by + cz + d) = 0$ (soit $kax + kby + kcz + kd = 0$) est aussi une équation du même plan. Les vecteurs normaux associés sont alors colinéaires.
Comment trouver l'équation d'un plan passant par un point et parallèle à un autre plan ?
Si le plan recherché $\mathcal{P}'$ est parallèle à un plan $\mathcal{P}$ d'équation $ax + by + cz + d = 0$, alors $\mathcal{P}'$ a le même vecteur normal $\vec{n}(a;b;c)$. Son équation sera donc de la forme $ax + by + cz + d' = 0$. Pour trouver $d'$, il suffit de substituer les coordonnées du point donné qui appartient à $\mathcal{P}'$ dans cette nouvelle équation.

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