Orthogonalité de vecteurs et distance dans l'espace – Fiche BAC Terminale Maths

Définition

Dans un repère orthonormé de l'espace, l'orthogonalité de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est caractérisée par l'annulation de leur produit scalaire : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$. La distance entre deux points $A(x_A, y_A, z_A)$ et $B(x_B, y_B, z_B)$ est donnée par la norme du vecteur $\vec{AB}$, soit $AB = \|\vec{AB}\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$.

💡 Bon réflexe : Toujours vérifier si le repère est orthonormé avant d'appliquer les formules de produit scalaire et de distance par coordonnées.

Méthode — Orthogonalité de vecteurs et distance dans l'espace

Calculer le produit scalaire de deux vecteurs

Pour déterminer si deux vecteurs $\vec{u}(x, y, z)$ et $\vec{v}(x', y', z')$ sont orthogonaux, on calcule leur produit scalaire : $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'$.

Vérifier l'orthogonalité

Si le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$ est égal à $0$, alors les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux. Sinon, ils ne le sont pas.

Calculer la distance entre deux points

Pour calculer la distance entre deux points $A(x_A, y_A, z_A)$ et $B(x_B, y_B, z_B)$, on détermine d'abord les coordonnées du vecteur $\vec{AB}(x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)$.

Appliquer la formule de la distance

La distance $AB$ est la norme du vecteur $\vec{AB}$, donnée par la formule : $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$.

Exemple résolu

Dans un repère orthonormé de l'espace $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points $A(1, -2, 3)$, $B(3, 0, 2)$ et $C(0, 1, 4)$.

Calculer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.

$\vec{AB} = (3 - 1, 0 - (-2), 2 - 3) = (2, 2, -1)$.

$\vec{AC} = (0 - 1, 1 - (-2), 4 - 3) = (-1, 3, 1)$.

Vérifier si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont orthogonaux.

On calcule le produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ :

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (2) × (-1) + (2) × (3) + (-1) × (1) = -2 + 6 - 1 = 3$.

Puisque $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 3 \neq 0$, les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ ne sont pas orthogonaux.

Calculer la distance $AB$.

En utilisant les coordonnées de $\vec{AB}(2, 2, -1)$ :

$AB = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.

Calculer la distance $BC$.

D'abord, les coordonnées de $\vec{BC} = (0 - 3, 1 - 0, 4 - 2) = (-3, 1, 2)$.

$BC = \sqrt{(-3)^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14}$.

Les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ ne sont pas orthogonaux. La distance $AB$ est de $3$ unités et la distance $BC$ est de $\sqrt{14}$ unités.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Confusion entre orthogonalité et colinéarité

Ne pas confondre l'orthogonalité (produit scalaire nul) avec la colinéarité (vecteurs proportionnels).
Oublier que la formule de la distance et du produit scalaire par coordonnées n'est valable que dans un repère orthonormé.
Faire des erreurs de signe lors du calcul des coordonnées des vecteurs ou de l'application des formules.

Exercice type BAC

Dans un repère orthonormé de l'espace $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points $A(2, -1, 3)$, $B(4, 1, 1)$ et $C(1, 2, 5)$.

Calculer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.
Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
Calculer la longueur des côtés $AB$ et $AC$.

Calcul des coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ :
$\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) = (4 - 2, 1 - (-1), 1 - 3) = (2, 2, -2)$.
$\vec{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A, z_C - z_A) = (1 - 2, 2 - (-1), 5 - 3) = (-1, 3, 2)$.
Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ :
Pour que le triangle $ABC$ soit rectangle en $A$, les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ doivent être orthogonaux. On calcule leur produit scalaire :
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (2) × (-1) + (2) × (3) + (-2) × (2)$
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = -2 + 6 - 4 = 0$.
Puisque le produit scalaire est nul, les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont orthogonaux. Donc, le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
Calcul de la longueur des côtés $AB$ et $AC$ :
La longueur $AB$ est la norme du vecteur $\vec{AB}(2, 2, -2)$ :
$AB = \|\vec{AB}\| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
La longueur $AC$ est la norme du vecteur $\vec{AC}(-1, 3, 2)$ :
$AC = \|\vec{AC}\| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14}$.

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un repère orthonormé ?

Un repère est dit orthonormé si ses vecteurs de base $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ sont unitaires (de norme 1) et deux à deux orthogonaux. C'est la condition nécessaire pour utiliser les formules de produit scalaire et de distance par coordonnées.

Comment prouver que trois points sont alignés ?

Pour prouver que trois points $A, B, C$ sont alignés, on peut montrer que les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires, c'est-à-dire qu'il existe un réel $k$ tel que $\vec{AC} = k\vec{AB}$.

Peut-on utiliser le produit scalaire pour calculer un angle ?

Oui, la formule $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\theta)$ permet de calculer l'angle $\theta$ entre deux vecteurs. Si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$, alors $\cos(\theta) = 0$, ce qui implique $\theta = \frac{\pi}{2}$ (ou $90°$), confirmant l'orthogonalité.

Quelle est la différence entre la distance d'un point à une droite et la distance entre deux points ?

La distance entre deux points est la longueur du segment qui les relie. La distance d'un point à une droite est la plus courte distance entre ce point et n'importe quel point de la droite, ce qui correspond à la longueur du segment perpendiculaire à la droite et passant par le point.

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