Géométrie dans l'espace · Fiche N°95 / 110

Vecteurs de l'espace : coordonnées et opérations

Définition, méthode rigoureuse, exemples corrigés et exercice type BAC.

📚 Terminale Spécialité Maths ⏱ Lecture : 5 min ✅ Programme officiel BO 2019

Définition

Dans un repère orthonormé de l'espace $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, un vecteur $\vec{u}$ est défini par ses coordonnées $(x; y; z)$, noté $\vec{u}(x; y; z)$. Si $A(x_A; y_A; z_A)$ et $B(x_B; y_B; z_B)$ sont deux points de l'espace, les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ sont $(x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)$. La norme d'un vecteur $\vec{u}(x; y; z)$ est sa longueur, notée $||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

💡 Bon réflexe : Toujours vérifier les signes et l'ordre des coordonnées lors des calculs vectoriels pour éviter les erreurs d'inattention.
xzyOu⃗(x,y,z)||u⃗|| = √(x²+y²+z²)Repère orthonormali⃗, j⃗, k⃗

Méthode — Vecteurs de l'espace : coordonnées et opérations

1

Calculer les coordonnées d'un vecteur à partir de deux points

Soient deux points $A(x_A; y_A; z_A)$ et $B(x_B; y_B; z_B)$. Les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ sont obtenues en soustrayant les coordonnées du point d'origine $A$ de celles du point d'extrémité $B$: $\vec{AB}(x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)$.

2

Effectuer la somme ou la différence de vecteurs

Soient $\vec{u}(x_u; y_u; z_u)$ et $\vec{v}(x_v; y_v; z_v)$ deux vecteurs. La somme $\vec{u} + \vec{v}$ a pour coordonnées $(x_u + x_v; y_u + y_v; z_u + z_v)$. La différence $\vec{u} - \vec{v}$ a pour coordonnées $(x_u - x_v; y_u - y_v; z_u - z_v)$.

3

Multiplier un vecteur par un scalaire

Soit $\vec{u}(x_u; y_u; z_u)$ un vecteur et $k$ un nombre réel (scalaire). Le vecteur $k\vec{u}$ a pour coordonnées $(k × x_u; k × y_u; k × z_u)$.

4

Calculer la norme d'un vecteur

Soit $\vec{u}(x; y; z)$ un vecteur. Sa norme $||\vec{u}||$ est calculée par la formule $||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$. Cette formule dérive du théorème de Pythagore appliqué dans l'espace.

5

Déterminer si des vecteurs sont colinéaires

Deux vecteurs non nuls $\vec{u}(x_u; y_u; z_u)$ et $\vec{v}(x_v; y_v; z_v)$ sont colinéaires s'il existe un réel $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$. Cela signifie que leurs coordonnées sont proportionnelles: $x_v = kx_u$, $y_v = ky_u$, et $z_v = kz_u$. Si l'une des coordonnées est nulle, il faut être vigilant et vérifier la proportionnalité des autres.

Exemple résolu

Dans un repère orthonormé de l'espace $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points $A(1; -2; 3)$, $B(3; 0; -1)$ et $C(-1; 4; 2)$. On souhaite effectuer diverses opérations vectorielles.

1
Calculer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.
Pour $\vec{AB}$: $x_B - x_A = 3 - 1 = 2$, $y_B - y_A = 0 - (-2) = 2$, $z_B - z_A = -1 - 3 = -4$. Donc $\vec{AB}(2; 2; -4)$.
Pour $\vec{AC}$: $x_C - x_A = -1 - 1 = -2$, $y_C - y_A = 4 - (-2) = 6$, $z_C - z_A = 2 - 3 = -1$. Donc $\vec{AC}(-2; 6; -1)$.
2
Calculer les coordonnées du vecteur $\vec{u} = 2\vec{AB} - \vec{AC}$.
D'abord, $2\vec{AB}$ a pour coordonnées $(2 × 2; 2 × 2; 2 × (-4)) = (4; 4; -8)$.
Ensuite, $\vec{u} = (4 - (-2); 4 - 6; -8 - (-1)) = (4 + 2; 4 - 6; -8 + 1) = (6; -2; -7)$.
Donc $\vec{u}(6; -2; -7)$.
3
Calculer la norme du vecteur $\vec{AB}$.
$||\vec{AB}|| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24}$.
On peut simplifier $\sqrt{24} = \sqrt{4 × 6} = 2\sqrt{6}$.
Donc $||\vec{AB}|| = 2\sqrt{6}$.
4
Déterminer si les points $A$, $B$ et $D(5; 2; -5)$ sont alignés.
Les points $A$, $B$ et $D$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AD}$ sont colinéaires.
On a $\vec{AB}(2; 2; -4)$.
Calculons $\vec{AD}$: $x_D - x_A = 5 - 1 = 4$, $y_D - y_A = 2 - (-2) = 4$, $z_D - z_A = -5 - 3 = -8$. Donc $\vec{AD}(4; 4; -8)$.
On observe que $4 = 2 × 2$, $4 = 2 × 2$, et $-8 = 2 × (-4)$.
Ainsi, $\vec{AD} = 2\vec{AB}$. Les vecteurs sont colinéaires, donc les points $A$, $B$ et $D$ sont alignés.

Les coordonnées des vecteurs ont été calculées: $\vec{AB}(2; 2; -4)$, $\vec{AC}(-2; 6; -1)$. Le vecteur $\vec{u} = 2\vec{AB} - \vec{AC}$ a pour coordonnées $(6; -2; -7)$. La norme de $\vec{AB}$ est $2\sqrt{6}$. Les points $A$, $B$ et $D$ sont alignés car $\vec{AD} = 2\vec{AB}$.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Ordre des coordonnées

  1. Ne pas inverser l'ordre des coordonnées lors du calcul d'un vecteur $\vec{AB}$: c'est toujours (coordonnées de B) - (coordonnées de A).
  2. Oublier un signe moins lors des soustractions de coordonnées, surtout avec des nombres négatifs.
  3. Confondre la norme d'un vecteur avec ses coordonnées; la norme est une longueur (un scalaire), pas un vecteur.
  4. Lors de la vérification de colinéarité, ne pas vérifier toutes les coordonnées ou mal gérer les cas où une coordonnée est nulle.

Exercice type BAC

Dans un repère orthonormé de l'espace $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points $A(1; 2; -1)$, $B(3; -2; 1)$ et $C(0; 1; 4)$.

  1. Calculer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.
  2. Calculer la norme du vecteur $\vec{AB}$.
  3. Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.
  4. Les points $A$, $B$ et $E(7; -10; 5)$ sont-ils alignés ? Justifier votre réponse.

  1. Calcul des coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ :

    Pour $\vec{AB}$ :

    • $x_B - x_A = 3 - 1 = 2$
    • $y_B - y_A = -2 - 2 = -4$
    • $z_B - z_A = 1 - (-1) = 2$

    Donc $\vec{AB}(2; -4; 2)$.

    Pour $\vec{AC}$ :

    • $x_C - x_A = 0 - 1 = -1$
    • $y_C - y_A = 1 - 2 = -1$
    • $z_C - z_A = 4 - (-1) = 5$

    Donc $\vec{AC}(-1; -1; 5)$.

  2. Calcul de la norme du vecteur $\vec{AB}$ :

    $||\vec{AB}|| = \sqrt{x_{\vec{AB}}^2 + y_{\vec{AB}}^2 + z_{\vec{AB}}^2}$

    $||\vec{AB}|| = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + 2^2}$

    $||\vec{AB}|| = \sqrt{4 + 16 + 4}$

    $||\vec{AB}|| = \sqrt{24}$

    $||\vec{AB}|| = 2\sqrt{6}$.

  3. Détermination des coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme :

    Pour que $ABCD$ soit un parallélogramme, il faut que $\vec{AB} = \vec{DC}$.

    Soient $D(x_D; y_D; z_D)$.

    Les coordonnées de $\vec{DC}$ sont $(x_C - x_D; y_C - y_D; z_C - z_D) = (0 - x_D; 1 - y_D; 4 - z_D)$.

    On a $\vec{AB}(2; -4; 2)$.

    En égalant les coordonnées :

    • $0 - x_D = 2 \Rightarrow x_D = -2$
    • $1 - y_D = -4 \Rightarrow y_D = 1 + 4 = 5$
    • $4 - z_D = 2 \Rightarrow z_D = 4 - 2 = 2$

    Donc le point $D$ a pour coordonnées $(-2; 5; 2)$.

    Alternative : On peut aussi utiliser $\vec{AD} = \vec{BC}$.

    Coordonnées de $\vec{BC}$: $(0-3; 1-(-2); 4-1) = (-3; 3; 3)$.

    Coordonnées de $\vec{AD}$: $(x_D-1; y_D-2; z_D-(-1))$.

    Donc $x_D-1 = -3 \Rightarrow x_D = -2$.

    $y_D-2 = 3 \Rightarrow y_D = 5$.

    $z_D+1 = 3 \Rightarrow z_D = 2$.

    On retrouve $D(-2; 5; 2)$.

  4. Alignement des points $A$, $B$ et $E(7; -10; 5)$ :

    Les points $A$, $B$ et $E$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AE}$ sont colinéaires.

    On a $\vec{AB}(2; -4; 2)$.

    Calculons les coordonnées de $\vec{AE}$ :

    • $x_E - x_A = 7 - 1 = 6$
    • $y_E - y_A = -10 - 2 = -12$
    • $z_E - z_A = 5 - (-1) = 6$

    Donc $\vec{AE}(6; -12; 6)$.

    Vérifions s'il existe un réel $k$ tel que $\vec{AE} = k\vec{AB}$ :

    • $6 = k × 2 \Rightarrow k = 3$
    • $-12 = k × (-4) \Rightarrow k = 3$
    • $6 = k × 2 \Rightarrow k = 3$

    Puisque $k=3$ est le même pour toutes les coordonnées, les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AE}$ sont colinéaires.

    Par conséquent, les points $A$, $B$ et $E$ sont alignés.

Questions fréquentes

Comment savoir si trois points $A, B, C$ sont alignés ?
Trois points $A, B, C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ (ou tout autre couple de vecteurs formés par ces points) sont colinéaires. Cela signifie qu'il existe un réel $k$ tel que $\vec{AC} = k\vec{AB}$.
Quelle est la différence entre un point et un vecteur ?
Un point est une position dans l'espace, définie par ses coordonnées $(x; y; z)$ par rapport à une origine. Un vecteur est une direction, un sens et une longueur, il représente un déplacement. Il n'a pas de position fixe et peut être représenté par n'importe quel segment orienté ayant les mêmes caractéristiques. Ses coordonnées $(x; y; z)$ représentent les composantes de ce déplacement.
Peut-on additionner un point et un vecteur ?
Oui, l'addition d'un point $A(x_A; y_A; z_A)$ et d'un vecteur $\vec{u}(x_u; y_u; z_u)$ donne un nouveau point $B(x_A + x_u; y_A + y_u; z_A + z_u)$. Ce point $B$ est tel que $\vec{AB} = \vec{u}$. C'est une translation du point $A$ par le vecteur $\vec{u}$.
Comment vérifier si deux vecteurs sont orthogonaux ?
Deux vecteurs $\vec{u}(x_u; y_u; z_u)$ et $\vec{v}(x_v; y_v; z_v)$ sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul : $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_u x_v + y_u y_v + z_u z_v = 0$. Cette notion est fondamentale et sera abordée plus en détail dans le chapitre sur le produit scalaire.

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