Probabilités conditionnelles et indépendance (approfondissement) – Fiche BAC Terminale Maths

Q: Quelle est la différence entre des événements indépendants et des événements incompatibles ?

Des événements $A$ et $B$ sont indépendants si la réalisation de l'un n'influence pas la probabilité de l'autre, c'est-à-dire $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$. Des événements incompatibles (ou disjoints) sont des événements qui ne peuvent pas se produire en même temps, c'est-à-dire $A \cap B = \emptyset$, ce qui implique $P(A \cap B) = 0$. Si $A$ et $B$ sont incompatibles et $P(A) \neq 0$ et $P(B) \neq 0$, alors ils ne peuvent pas être indépendants car $P(A) \times P(B) \neq 0$ alors que $P(A \cap B) = 0$.

Définition

Soient $A$ et $B$ deux événements d'un univers $\Omega$ muni d'une probabilité $P$. La probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$, notée $P_A(B)$ ou $P(B|A)$, est définie par $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ pourvu que $P(A) \neq 0$. Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$. Cette condition est équivalente à $P_A(B) = P(B)$ (si $P(A) \neq 0$) ou $P_B(A) = P(A)$ (si $P(B) \neq 0$).

💡 Bon réflexe : Toujours bien définir les événements et traduire les informations de l'énoncé en probabilités (simples ou conditionnelles) avant de commencer les calculs.

Méthode — Probabilités conditionnelles et indépendance (approfondissement)

Calculer une probabilité conditionnelle

Pour calculer $P_A(B)$, on utilise la formule de définition : $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$. Il faut donc d'abord calculer la probabilité de l'intersection $A \cap B$ et la probabilité de l'événement $A$. Si un arbre pondéré est donné, $P_A(B)$ est la probabilité de la branche menant de $A$ à $B$.

Utiliser la formule des probabilités totales

Si $(A_i)_{i \in I}$ est un système complet d'événements (partition de l'univers), alors pour tout événement $B$, la formule des probabilités totales s'écrit : $P(B) = \sum_{i \in I} P(B \cap A_i) = \sum_{i \in I} P(B|A_i) \times P(A_i)$. Cette formule est très utile pour calculer la probabilité d'un événement $B$ en le décomposant selon les différentes branches d'un arbre pondéré.

Tester l'indépendance de deux événements

Pour vérifier si deux événements $A$ et $B$ sont indépendants, on calcule $P(A \cap B)$ et le produit $P(A) \times P(B)$. Si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$, alors $A$ et $B$ sont indépendants. Sinon, ils ne le sont pas. Une autre méthode est de calculer $P_A(B)$ (si $P(A) \neq 0$) et de vérifier si $P_A(B) = P(B)$. Si c'est le cas, ils sont indépendants.

Appliquer la formule de Bayes (cas simple)

La formule de Bayes permet de calculer une probabilité conditionnelle 'inverse'. Si on connaît $P_A(B)$, on peut calculer $P_B(A)$ à l'aide de la formule : $P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(B|A) \times P(A)}{P(B)}$. Le dénominateur $P(B)$ est souvent calculé à l'aide de la formule des probabilités totales.

Exemple résolu

Une entreprise fabrique des composants électroniques. On sait que 2% des composants produits sont défectueux. Le contrôle qualité est effectué par une machine. Cette machine détecte 95% des composants défectueux, mais elle déclare à tort défectueux 1% des composants qui ne le sont pas. On choisit un composant au hasard.

Définir les événements et traduire les données en probabilités

Soient $D$ l'événement 'le composant est défectueux' et $T$ l'événement 'la machine déclare le composant défectueux'. Les données se traduisent par :

$P(D) = 0,02$ (2% des composants sont défectueux)
$P(\overline{D}) = 1 - P(D) = 0,98$ (98% des composants ne sont pas défectueux)
$P_D(T) = 0,95$ (la machine détecte 95% des défectueux)
$P_{\overline{D}}(T) = 0,01$ (la machine déclare à tort défectueux 1% des non-défectueux)

Calculer la probabilité qu'un composant soit défectueux et déclaré défectueux

On cherche $P(D \cap T)$. On utilise la formule $P(D \cap T) = P_D(T) \times P(D)$. $P(D \cap T) = 0,95 \times 0,02 = 0,019$. La probabilité qu'un composant soit défectueux et déclaré défectueux est $0,019$.

Calculer la probabilité qu'un composant soit déclaré défectueux

On cherche $P(T)$. Les événements $D$ et $\overline{D}$ forment un système complet d'événements. On utilise la formule des probabilités totales : $P(T) = P(T \cap D) + P(T \cap \overline{D})$ On a déjà $P(T \cap D) = 0,019$. Calculons $P(T \cap \overline{D}) = P_{\overline{D}}(T) \times P(\overline{D}) = 0,01 \times 0,98 = 0,0098$. Donc, $P(T) = 0,019 + 0,0098 = 0,0288$. La probabilité qu'un composant soit déclaré défectueux est $0,0288$.

Calculer la probabilité qu'un composant déclaré défectueux soit réellement défectueux

On cherche $P_T(D)$. On utilise la formule de Bayes : $P_T(D) = \frac{P(D \cap T)}{P(T)}$ $P_T(D) = \frac{0,019}{0,0288} \approx 0,6597$. La probabilité qu'un composant déclaré défectueux soit réellement défectueux est environ $0,66$.

Un composant déclaré défectueux par la machine a environ $66\%$ de chances d'être réellement défectueux. Cela signifie que $34\%$ des composants rejetés par la machine sont en fait en bon état.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Confusion entre $P_A(B)$ et $P_B(A)$

Ne pas confondre $P_A(B)$ (probabilité de $B$ sachant $A$) avec $P_B(A)$ (probabilité de $A$ sachant $B$). Ces deux probabilités sont différentes et ne sont égales que dans des cas très spécifiques.
Oublier la condition $P(A) \neq 0$ pour la définition de $P_A(B)$. Bien que rarement un problème dans les exercices, c'est une condition théorique importante.
Confondre 'indépendance' et 'incompatibilité'. Des événements incompatibles ($A \cap B = \emptyset$) ne sont indépendants que si $P(A)=0$ ou $P(B)=0$. En général, ils ne le sont pas.

Exercice type BAC

Dans une ville, 40% des habitants sont abonnés à la salle de sport A, 30% à la salle de sport B, et 10% sont abonnés aux deux salles (A et B).

On choisit un habitant au hasard. Quelle est la probabilité qu'il soit abonné à au moins une salle de sport ?
Un habitant est choisi au hasard. Sachant qu'il est abonné à la salle A, quelle est la probabilité qu'il soit aussi abonné à la salle B ?
Les événements 'être abonné à la salle A' et 'être abonné à la salle B' sont-ils indépendants ? Justifier.
Un habitant est choisi au hasard. Sachant qu'il n'est pas abonné à la salle B, quelle est la probabilité qu'il soit abonné à la salle A ?

Soient les événements :

$A$ : 'l'habitant est abonné à la salle A'
$B$ : 'l'habitant est abonné à la salle B'

D'après l'énoncé, nous avons :

$P(A) = 0,40$
$P(B) = 0,30$
$P(A \cap B) = 0,10$

Probabilité d'être abonné à au moins une salle de sport :
Ceci correspond à l'événement $A \cup B$. Nous utilisons la formule d'addition des probabilités :
$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$
$$P(A \cup B) = 0,40 + 0,30 - 0,10 = 0,60$$
La probabilité qu'un habitant soit abonné à au moins une salle de sport est de $0,60$.
Probabilité d'être abonné à la salle B sachant qu'il est abonné à la salle A :
Ceci est la probabilité conditionnelle $P_A(B)$.
$$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$$
$$P_A(B) = \frac{0,10}{0,40} = 0,25$$
Sachant qu'il est abonné à la salle A, la probabilité qu'il soit aussi abonné à la salle B est de $0,25$.
Indépendance des événements A et B :
Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.
Calculons le produit $P(A) \times P(B) = 0,40 \times 0,30 = 0,12$.
Nous avons $P(A \cap B) = 0,10$.
Puisque $P(A \cap B) = 0,10 \neq 0,12 = P(A) \times P(B)$, les événements $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.
Probabilité d'être abonné à la salle A sachant qu'il n'est pas abonné à la salle B :
Ceci est la probabilité conditionnelle $P_{\overline{B}}(A)$.
Nous avons besoin de $P(A \cap \overline{B})$ et de $P(\overline{B})$.
L'événement $A$ peut s'écrire comme l'union de deux événements disjoints : $A = (A \cap B) \cup (A \cap \overline{B})$.
Donc $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B})$.
$$0,40 = 0,10 + P(A \cap \overline{B})$$
$$P(A \cap \overline{B}) = 0,40 - 0,10 = 0,30$$
Calculons $P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,30 = 0,70$.
Maintenant, nous pouvons calculer $P_{\overline{B}}(A)$ :
$$P_{\overline{B}}(A) = \frac{P(A \cap \overline{B})}{P(\overline{B})}$$
$$P_{\overline{B}}(A) = \frac{0,30}{0,70} = \frac{3}{7} \approx 0,4286$$
Sachant qu'il n'est pas abonné à la salle B, la probabilité qu'il soit abonné à la salle A est d'environ $0,4286$.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre des événements indépendants et des événements incompatibles ?

Des événements $A$ et $B$ sont indépendants si la réalisation de l'un n'influence pas la probabilité de l'autre, c'est-à-dire $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$. Des événements incompatibles (ou disjoints) sont des événements qui ne peuvent pas se produire en même temps, c'est-à-dire $A \cap B = \emptyset$, ce qui implique $P(A \cap B) = 0$. Si $A$ et $B$ sont incompatibles et $P(A) \neq 0$ et $P(B) \neq 0$, alors ils ne peuvent pas être indépendants car $P(A) \times P(B) \neq 0$ alors que $P(A \cap B) = 0$.

Comment construire un arbre pondéré avec des probabilités conditionnelles ?

Un arbre pondéré est un excellent outil pour visualiser les probabilités conditionnelles. Les branches du premier niveau représentent les probabilités des premiers événements (par exemple, $P(A)$ et $P(\overline{A})$). Les branches du second niveau, partant des nœuds du premier niveau, représentent les probabilités conditionnelles (par exemple, $P_A(B)$ et $P_A(\overline{B})$). La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches qui le composent (par exemple, $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$).

Quand utiliser la formule des probabilités totales ?

La formule des probabilités totales est utilisée lorsque vous voulez calculer la probabilité d'un événement $B$, mais que cet événement dépend de plusieurs situations initiales. Si vous avez un système complet d'événements $(A_1, A_2, ..., A_n)$ (c'est-à-dire qu'ils sont disjoints deux à deux et leur union est l'univers entier), alors $P(B) = P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2) + ... + P(B|A_n)P(A_n)$. C'est très utile pour 'remonter' un arbre pondéré.

Est-ce que $P_A(B) + P_A(\overline{B}) = 1$ ?

Oui, absolument. Pour tout événement $A$ tel que $P(A) \neq 0$, la probabilité conditionnelle $P_A$ est une probabilité à part entière sur l'univers $\Omega$. Par conséquent, les propriétés des probabilités s'appliquent. Puisque $B$ et $\overline{B}$ sont des événements complémentaires, la somme de leurs probabilités conditionnelles sachant $A$ est égale à 1 : $P_A(B) + P_A(\overline{B}) = 1$. C'est une vérification utile dans les calculs.

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