Définition
Une droite est une asymptote à la courbe représentative d'une fonction $f$ si la distance entre la courbe et la droite tend vers $0$ lorsque la variable tend vers l'infini ou vers une valeur finie. On distingue les asymptotes horizontales et verticales.
Méthode — Asymptotes horizontales et verticales
Identifier les types d'asymptotes à rechercher
Pour une fonction $f$ définie sur un intervalle, on recherche des asymptotes horizontales aux bornes infinies de l'ensemble de définition et des asymptotes verticales aux bornes finies où la fonction n'est pas définie (valeurs interdites) ou aux points de rupture de définition.
Rechercher une asymptote horizontale
Si $\lim_{x\to+\infty} f(x) = L$ (où $L$ est un nombre réel), alors la droite d'équation $y=L$ est une asymptote horizontale à la courbe de $f$ en $+\infty$.
De même, si $\lim_{x\to-\infty} f(x) = L'$ (où $L'$ est un nombre réel), alors la droite d'équation $y=L'$ est une asymptote horizontale à la courbe de $f$ en $-\infty$.
Rechercher une asymptote verticale
Si $\lim_{x\to a} f(x) = +\infty$ ou $\lim_{x\to a} f(x) = -\infty$ (où $a$ est un nombre réel), alors la droite d'équation $x=a$ est une asymptote verticale à la courbe de $f$.
Il est souvent nécessaire de distinguer les limites à gauche et à droite de $a$, c'est-à-dire $\lim_{x\to a^-} f(x)$ et $\lim_{x\to a^+} f(x)$.
Conclure et interpréter graphiquement
Une fois les limites calculées, énoncer clairement les équations des asymptotes trouvées et leur type (horizontale ou verticale). Visualiser mentalement ou esquisser comment la courbe se rapproche de ces droites.
Exemple résolu
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ par $f(x) = \frac{2x+3}{x-1}$. Déterminer les asymptotes éventuelles à la courbe représentative de $f$.
Pour les fonctions rationnelles, on utilise la règle des termes de plus haut degré :
$\lim_{x\to+\infty} f(x) = \lim_{x\to+\infty} \frac{2x+3}{x-1} = \lim_{x\to+\infty} \frac{2x}{x} = \lim_{x\to+\infty} 2 = 2$.
$\lim_{x\to-\infty} f(x) = \lim_{x\to-\infty} \frac{2x+3}{x-1} = \lim_{x\to-\infty} \frac{2x}{x} = \lim_{x\to-\infty} 2 = 2$.
Puisque $\lim_{x\to+\infty} f(x) = 2$ et $\lim_{x\to-\infty} f(x) = 2$, la droite d'équation $y=2$ est une asymptote horizontale à la courbe de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
Pour $x \to 1^+$ :
Le numérateur $2x+3 \to 2(1)+3 = 5$.
Le dénominateur $x-1 \to 0^+$.
Donc $\lim_{x\to 1^+} f(x) = \frac{5}{0^+} = +\infty$.
Pour $x \to 1^-$ :
Le numérateur $2x+3 \to 2(1)+3 = 5$.
Le dénominateur $x-1 \to 0^-$.
Donc $\lim_{x\to 1^-} f(x) = \frac{5}{0^-} = -\infty$.
Puisque $\lim_{x\to 1^+} f(x) = +\infty$ et $\lim_{x\to 1^-} f(x) = -\infty$, la droite d'équation $x=1$ est une asymptote verticale à la courbe de $f$.
La courbe représentative de la fonction $f$ admet une asymptote horizontale d'équation $y=2$ en $+\infty$ et en $-\infty$, et une asymptote verticale d'équation $x=1$.
⚠️ Piège fréquent au BAC — Confusion des types d'asymptotes
- Confondre les conditions d'existence d'une asymptote horizontale ($\lim_{x\to\pm\infty} f(x) = L$) et d'une asymptote verticale ($\lim_{x\to a} f(x) = \pm\infty$).
- Oublier de vérifier les limites aux bornes de l'ensemble de définition, notamment aux valeurs interdites pour les asymptotes verticales.
- Ne pas distinguer les limites à gauche et à droite pour une asymptote verticale, ce qui peut être crucial pour le signe de l'infini.
- Mal appliquer les règles de calcul de limites, en particulier pour les formes indéterminées ou les fonctions rationnelles.
Exercice type BAC
Soit la fonction $g$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par $g(x) = \frac{e^x}{x}$.
- Déterminer la limite de $g(x)$ lorsque $x$ tend vers $0$ par valeurs positives. En déduire l'existence d'une asymptote verticale et donner son équation.
- Déterminer la limite de $g(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$. La courbe de $g$ admet-elle une asymptote horizontale en $+\infty$ ? Justifier.
On cherche la limite de $g(x)$ lorsque $x \to 0^+$.
On a $\lim_{x\to 0^+} e^x = e^0 = 1$.
Et $\lim_{x\to 0^+} x = 0^+$.
Donc, par quotient des limites, $\lim_{x\to 0^+} g(x) = \lim_{x\to 0^+} \frac{e^x}{x} = \frac{1}{0^+} = +\infty$.
Puisque $\lim_{x\to 0^+} g(x) = +\infty$, la droite d'équation $x=0$ (l'axe des ordonnées) est une asymptote verticale à la courbe représentative de $g$.
On cherche la limite de $g(x)$ lorsque $x \to +\infty$.
On a $\lim_{x\to +\infty} e^x = +\infty$.
Et $\lim_{x\to +\infty} x = +\infty$.
On est en présence d'une forme indéterminée de type $\frac{\infty}{\infty}$.
On utilise la propriété des croissances comparées qui stipule que $\lim_{x\to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ pour tout entier $n \geq 1$. Ici, $n=1$.
Donc $\lim_{x\to +\infty} g(x) = \lim_{x\to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$.
Puisque la limite de $g(x)$ en $+\infty$ est $+\infty$ (et non un réel $L$), la courbe de $g$ n'admet pas d'asymptote horizontale en $+\infty$.
Questions fréquentes
Une fonction peut-elle avoir plusieurs asymptotes horizontales ?
Comment savoir si la courbe est au-dessus ou en-dessous de l'asymptote horizontale ?
Une asymptote verticale peut-elle être traversée par la courbe ?
Les asymptotes obliques sont-elles au programme de Terminale Spécialité ?
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