Définition
Une forme indéterminée est une situation où l'application directe des règles de calcul des limites ne permet pas de conclure sur la valeur de la limite d'une expression. Les formes indéterminées courantes sont : $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0 × \infty$, $\infty - \infty$, $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$. En Terminale Spécialité, on se concentre principalement sur $\frac{\infty}{\infty}$, $0 × \infty$ et $\infty - \infty$.
Méthode — Lever une forme indéterminée (∞/∞, ∞−∞, 0×∞)
Identifier la forme indéterminée
Avant toute chose, il est crucial de calculer les limites des différentes parties de l'expression pour déterminer si l'on est face à une forme indéterminée. Si ce n'est pas le cas, la limite peut être calculée directement.
Factoriser le terme de plus haut degré (pour les polynômes et fonctions rationnelles)
Pour les formes indéterminées de type $\frac{\infty}{\infty}$ ou $\infty - \infty$ impliquant des polynômes ou des fonctions rationnelles, factoriser le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur (pour les fonctions rationnelles) ou dans l'expression (pour les polynômes) permet souvent de simplifier l'expression et de lever l'indétermination. Pour les fonctions rationnelles, on ne garde que les termes de plus haut degré.
Utiliser l'expression conjuguée (pour les racines carrées)
Lorsque l'expression contient des racines carrées et conduit à une forme indéterminée de type $\infty - \infty$ ou $\frac{0}{0}$, multiplier le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée peut transformer l'expression en une forme plus simple où l'indétermination est levée. Rappel : $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
Changer de variable ou utiliser les croissances comparées
Pour les formes indéterminées $0 × \infty$, on peut souvent transformer l'expression en $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$ (par exemple, $f(x) × g(x) = \frac{f(x)}{1/g(x)}$). Les théorèmes de croissances comparées sont essentiels pour les fonctions exponentielles et logarithmiques, par exemple $\lim_{x\to+\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ et $\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0$ pour tout $n > 0$.
Exemple résolu
Calculer la limite de la fonction $f(x) = \frac{x^2 - 3x + 1}{2x^2 + 5}$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
On est donc face à une forme indéterminée de type $\frac{\infty}{\infty}$.
$$f(x) = \frac{x^2(1 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2})}{x^2(2 + \frac{5}{x^2})}$$
$$f(x) = \frac{1 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}{2 + \frac{5}{x^2}}$$
$\lim_{x\to+\infty} \frac{3}{x} = 0$
$\lim_{x\to+\infty} \frac{1}{x^2} = 0$
$\lim_{x\to+\infty} \frac{5}{x^2} = 0$
Donc, $\lim_{x\to+\infty} (1 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}) = 1 - 0 + 0 = 1$
Et $\lim_{x\to+\infty} (2 + \frac{5}{x^2}) = 2 + 0 = 2$
$$\lim_{x\to+\infty} f(x) = \frac{1}{2}$$
La limite de la fonction $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ est $\frac{1}{2}$.
⚠️ Piège fréquent au BAC — Oublier de justifier la forme indéterminée
- Ne pas écrire clairement la forme indéterminée rencontrée avant d'appliquer une méthode de levée d'indétermination. C'est une étape cruciale de la rédaction.
- Appliquer une méthode (ex: expression conjuguée) sans que la forme indéterminée ne le justifie, ou pour une forme indéterminée qui ne s'y prête pas.
- Faire des simplifications incorrectes, notamment avec des termes de plus haut degré (ex: simplifier $x^2+x$ par $x^2$ en disant que $x$ est négligeable, au lieu de factoriser).
Exercice type BAC
On considère la fonction $f$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x) = x - \sqrt{x^2 + 2x}$.
- Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
- Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $0^+$.
Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
Lorsque $x \to +\infty$, $x \to +\infty$.
Pour $\sqrt{x^2 + 2x}$ : Lorsque $x \to +\infty$, $x^2 + 2x \to +\infty$, donc $\sqrt{x^2 + 2x} \to +\infty$.
On est donc face à une forme indéterminée de type $\infty - \infty$.
Pour lever cette indétermination, on utilise l'expression conjuguée :
$$f(x) = (x - \sqrt{x^2 + 2x}) \times \frac{x + \sqrt{x^2 + 2x}}{x + \sqrt{x^2 + 2x}}$$
$$f(x) = \frac{x^2 - (x^2 + 2x)}{x + \sqrt{x^2 + 2x}}$$
$$f(x) = \frac{x^2 - x^2 - 2x}{x + \sqrt{x^2 + 2x}}$$
$$f(x) = \frac{-2x}{x + \sqrt{x^2 + 2x}}$$
Maintenant, factorisons le terme de plus haut degré au dénominateur. Pour $\sqrt{x^2 + 2x}$, on peut écrire $\sqrt{x^2(1 + \frac{2}{x})} = \sqrt{x^2} \sqrt{1 + \frac{2}{x}}$.
Puisque $x \to +\infty$, $x > 0$, donc $\sqrt{x^2} = x$.
$$f(x) = \frac{-2x}{x + x\sqrt{1 + \frac{2}{x}}}$$
$$f(x) = \frac{-2x}{x(1 + \sqrt{1 + \frac{2}{x}})}$$
Simplifions par $x$ (pour $x \neq 0$) :
$$f(x) = \frac{-2}{1 + \sqrt{1 + \frac{2}{x}}}$$
Calculons la limite de cette nouvelle expression lorsque $x \to +\infty$ :
$\lim_{x\to+\infty} \frac{2}{x} = 0$
Donc $\lim_{x\to+\infty} (1 + \frac{2}{x}) = 1$.
Par composition, $\lim_{x\to+\infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x}} = \sqrt{1} = 1$.
Ainsi, $\lim_{x\to+\infty} (1 + \sqrt{1 + \frac{2}{x}}) = 1 + 1 = 2$.
Finalement, par quotient :
$$\lim_{x\to+\infty} f(x) = \frac{-2}{2} = -1$$
Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $0^+$.
Lorsque $x \to 0^+$ :
$\lim_{x\to 0^+} x = 0$
Pour $\sqrt{x^2 + 2x}$ :
$\lim_{x\to 0^+} (x^2 + 2x) = 0^2 + 2 \times 0 = 0$.
Par composition, $\lim_{x\to 0^+} \sqrt{x^2 + 2x} = \sqrt{0} = 0$.
Donc, $\lim_{x\to 0^+} f(x) = 0 - 0 = 0$.
Il n'y a pas de forme indéterminée dans ce cas.
Questions fréquentes
Quelles sont les formes indéterminées à connaître pour le BAC ?
Quand utiliser la factorisation par le terme de plus haut degré ?
Comment gérer la forme indéterminée $0 × \infty$ ?
Les théorèmes de croissances comparées sont-ils utiles pour lever les formes indéterminées ?
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