Définition
Une variable aléatoire $X$ est dite à densité si sa fonction de répartition $F_X$ est continue sur $\mathbb{R}$ et s'il existe une fonction $f_X$ positive, continue sur $\mathbb{R}$ sauf en un nombre fini de points, telle que pour tout réel $x$, $F_X(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^x f_X(t)\,dt$. La fonction $f_X$ est appelée fonction de densité de la variable aléatoire $X$.
Méthode — Variable aléatoire à densité : définition et propriétés
Vérifier qu'une fonction est une densité de probabilité
Pour qu'une fonction $f$ soit une fonction de densité de probabilité pour une variable aléatoire continue, elle doit satisfaire deux conditions :
1. $f(x) \geq 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
2. $\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,dt = 1$. Souvent, la fonction est nulle en dehors d'un intervalle $[a, b]$, et la deuxième condition se réduit à $\int_a^b f(t)\,dt = 1$.
Calculer la probabilité d'un événement
Pour une variable aléatoire $X$ de densité $f_X$, la probabilité que $X$ appartienne à un intervalle $[a, b]$ est donnée par $P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f_X(t)\,dt$.
Il est important de noter que pour une variable aléatoire continue, $P(X=a) = 0$ pour tout réel $a$. Ainsi, $P(a \leq X \leq b) = P(a < X \leq b) = P(a \leq X < b) = P(a < X < b)$.
Déterminer la fonction de répartition
La fonction de répartition $F_X$ d'une variable aléatoire $X$ de densité $f_X$ est définie pour tout réel $x$ par $F_X(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^x f_X(t)\,dt$.
Si la densité $f_X$ est nulle en dehors d'un intervalle $[a, b]$, alors $F_X(x) = 0$ pour $x < a$, $F_X(x) = 1$ pour $x \geq b$, et $F_X(x) = \int_a^x f_X(t)\,dt$ pour $x \in [a, b]$.
Calculer l'espérance et la variance (si au programme)
L'espérance $E(X)$ d'une variable aléatoire $X$ à densité $f_X$ est donnée par $E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} t \times f_X(t)\,dt$, sous réserve que cette intégrale converge absolument.
La variance $V(X)$ est donnée par $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$, où $E(X^2) = \int_{-\infty}^{+\infty} t^2 \times f_X(t)\,dt$. Ces notions sont souvent introduites pour les lois usuelles (uniforme, exponentielle, normale) mais la formule générale peut être demandée.
Exemple résolu
Soit $X$ une variable aléatoire dont la fonction de densité $f$ est définie par :
$$f(x) = \begin{cases} kx & \text{si } 0 \leq x \leq 2 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}$$
où $k$ est une constante réelle.
1. $f(x) \geq 0$: Puisque $x \geq 0$ sur l'intervalle $[0, 2]$, il faut que $k \geq 0$.
2. $\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,dt = 1$: Comme $f(x)=0$ en dehors de $[0, 2]$, on a :
$$\int_0^2 kx\,dx = 1$$
$$k \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2 = 1$$
$$k \left( \frac{2^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = 1$$
$$k \left( \frac{4}{2} - 0 \right) = 1$$
$$2k = 1$$
$$k = \frac{1}{2}$$
La valeur de la constante est $k = \frac{1}{2}$.
$$P(1 \leq X \leq 1.5) = \int_1^{1.5} \frac{1}{2}t\,dt$$
$$= \frac{1}{2} \left[ \frac{t^2}{2} \right]_1^{1.5}$$
$$= \frac{1}{2} \left( \frac{(1.5)^2}{2} - \frac{1^2}{2} \right)$$
$$= \frac{1}{2} \left( \frac{2.25}{2} - \frac{1}{2} \right)$$
$$= \frac{1}{2} \left( \frac{1.25}{2} \right)$$
$$= \frac{1.25}{4} = 0.3125$$
La probabilité $P(1 \leq X \leq 1.5)$ est $0.3125$.
1. Si $x < 0$, alors $F_X(x) = \int_{-\infty}^x 0\,dt = 0$.
2. Si $0 \leq x \leq 2$, alors $F_X(x) = \int_0^x \frac{1}{2}t\,dt = \frac{1}{2} \left[ \frac{t^2}{2} \right]_0^x = \frac{1}{2} \left( \frac{x^2}{2} - 0 \right) = \frac{x^2}{4}$.
3. Si $x > 2$, alors $F_X(x) = \int_0^2 \frac{1}{2}t\,dt + \int_2^x 0\,dt = 1 + 0 = 1$.
En résumé, la fonction de répartition est :
$$F_X(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0 \\ \frac{x^2}{4} & \text{si } 0 \leq x \leq 2 \\ 1 & \text{si } x > 2 \end{cases}$$
La constante $k$ est $\frac{1}{2}$. La probabilité $P(1 \leq X \leq 1.5)$ est $0.3125$. La fonction de répartition $F_X(x)$ a été déterminée pour tous les réels $x$.
⚠️ Piège fréquent au BAC — Confusion avec les variables discrètes
- Ne pas oublier que pour une variable aléatoire à densité, $P(X=a)=0$. L'égalité stricte ou large n'a pas d'importance pour les bornes des intervalles de probabilité.
- Oublier de vérifier la condition $f(x) \geq 0$ pour la fonction de densité. Une densité doit toujours être positive ou nulle.
- Erreur de bornes d'intégration : bien identifier l'intervalle où la densité est non nulle pour calculer les intégrales correctement.
- Confondre la fonction de densité $f_X$ et la fonction de répartition $F_X$. La première est une dérivée (presque partout) de la seconde, et la seconde est une primitive de la première.
Exercice type BAC
Une entreprise fabrique des composants électroniques. La durée de vie, en années, d'un composant est modélisée par une variable aléatoire $X$ dont la fonction de densité $f$ est définie par :
$$f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & \text{si } x \geq 0 \\ 0 & \text{si } x < 0 \end{cases}$$
où $\lambda$ est une constante réelle strictement positive.
Vérifier que $f$ est bien une fonction de densité de probabilité.
Déterminer la fonction de répartition $F_X(x)$ de la variable aléatoire $X$.
Sachant que la probabilité qu'un composant ait une durée de vie inférieure à 2 ans est $P(X < 2) = 0.393$, déterminer la valeur de $\lambda$ arrondie au centième.
Vérifier que $f$ est bien une fonction de densité de probabilité.
Pour que $f$ soit une fonction de densité, deux conditions doivent être vérifiées :
a) $f(x) \geq 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
Pour $x < 0$, $f(x) = 0$, donc $f(x) \geq 0$.
Pour $x \geq 0$, $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$. Puisque $\lambda > 0$ et $e^{-\lambda x} > 0$ pour tout $x$, on a $f(x) > 0$.
Donc, $f(x) \geq 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.b) $\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,dt = 1$.
$$\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,dt = \int_{-\infty}^0 0\,dt + \int_0^{+\infty} \lambda e^{-\lambda t}\,dt$$
$$= 0 + \lim_{A \to +\infty} \int_0^A \lambda e^{-\lambda t}\,dt$$
Une primitive de $\lambda e^{-\lambda t}$ est $-e^{-\lambda t}$.
$$= \lim_{A \to +\infty} \left[ -e^{-\lambda t} \right]_0^A$$
$$= \lim_{A \to +\infty} (-e^{-\lambda A} - (-e^{-\lambda \times 0}))$$
$$= \lim_{A \to +\infty} (-e^{-\lambda A} + 1)$$
Puisque $\lambda > 0$, $\lim_{A \to +\infty} -\lambda A = -\infty$, donc $\lim_{A \to +\infty} e^{-\lambda A} = 0$.
$$= 0 + 1 = 1$$
Les deux conditions sont vérifiées, donc $f$ est bien une fonction de densité de probabilité.Déterminer la fonction de répartition $F_X(x)$ de la variable aléatoire $X$.
La fonction de répartition $F_X(x)$ est définie par $F_X(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^x f(t)\,dt$.
a) Si $x < 0$ :
$$F_X(x) = \int_{-\infty}^x 0\,dt = 0$$b) Si $x \geq 0$ :
$$F_X(x) = \int_{-\infty}^0 0\,dt + \int_0^x \lambda e^{-\lambda t}\,dt$$
$$= 0 + \left[ -e^{-\lambda t} \right]_0^x$$
$$= -e^{-\lambda x} - (-e^{-\lambda \times 0})$$
$$= -e^{-\lambda x} + 1$$
$$= 1 - e^{-\lambda x}$$En résumé, la fonction de répartition est :
$$F_X(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0 \\ 1 - e^{-\lambda x} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$$Sachant que la probabilité qu'un composant ait une durée de vie inférieure à 2 ans est $P(X < 2) = 0.393$, déterminer la valeur de $\lambda$ arrondie au centième.
On sait que $P(X < 2) = F_X(2)$. Puisque $2 \geq 0$, on utilise la formule $F_X(x) = 1 - e^{-\lambda x}$.
$$P(X < 2) = 1 - e^{-\lambda \times 2}$$
On nous donne $P(X < 2) = 0.393$.
$$1 - e^{-2\lambda} = 0.393$$
$$e^{-2\lambda} = 1 - 0.393$$
$$e^{-2\lambda} = 0.607$$
Pour isoler $\lambda$, on applique la fonction logarithme népérien des deux côtés :
$$\ln(e^{-2\lambda}) = \ln(0.607)$$
$$-2\lambda = \ln(0.607)$$
$$\lambda = -\frac{\ln(0.607)}{2}$$
À l'aide d'une calculatrice :
$$\lambda \approx -\frac{-0.4993}{2} \approx 0.24965$$
Arrondie au centième, la valeur de $\lambda$ est $0.25$.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre une variable aléatoire discrète et une variable aléatoire à densité ?
Pourquoi $P(X=a)=0$ pour une variable aléatoire à densité ?
Comment interpréter la fonction de densité $f_X(x)$ ?
La fonction de répartition $F_X(x)$ est-elle toujours croissante ?
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