Montrer qu'une suite est monotone et bornée par récurrence – Fiche BAC Terminale Maths

Définition

Une suite $(u_n)$ est dite monotone si elle est soit croissante (pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} \geq u_n$), soit décroissante (pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} \leq u_n$). Elle est dite bornée si elle est majorée (il existe $M \in \mathbb{R}$ tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \leq M$) et minorée (il existe $m \in \mathbb{R}$ tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \geq m$). La démonstration par récurrence est souvent utilisée pour prouver ces propriétés pour des suites définies par une relation de récurrence.

💡 Bon réflexe : Toujours bien rédiger les trois étapes (initialisation, hérédité, conclusion) de la récurrence et utiliser l'hypothèse de récurrence dans l'hérédité.

Méthode — Montrer qu'une suite est monotone et bornée par récurrence

Étape 1 : Initialisation

Vérifier la propriété (monotonie ou bornitude) pour le premier terme de la suite, généralement $n=0$ ou $n=1$. Par exemple, pour montrer $u_n \geq m$, vérifier $u_0 \geq m$. Pour la monotonie, calculer $u_1$ et comparer $u_1$ et $u_0$.

Étape 2 : Hypothèse de récurrence

Supposer que la propriété est vraie pour un certain entier $k \geq n_0$ (où $n_0$ est l'indice de départ de la suite). C'est l'hypothèse de récurrence (HR). Par exemple, pour la bornitude, supposer $m \leq u_k \leq M$. Pour la monotonie, supposer $u_k \leq u_{k+1}$ (pour une suite croissante).

Étape 3 : Hérédité

Démontrer que si la propriété est vraie pour $k$, alors elle est aussi vraie pour $k+1$. Pour cela, utiliser l'hypothèse de récurrence et la relation de récurrence définissant la suite. Pour la bornitude, montrer $m \leq u_{k+1} \leq M$. Pour la monotonie, montrer $u_{k+1} \leq u_{k+2}$ (pour une suite croissante).

Étape 4 : Conclusion

Conclure, en vertu du principe de récurrence, que la propriété est vraie pour tout entier $n \geq n_0$.

Exemple résolu

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = \sqrt{2u_n + 3}$. Montrer par récurrence que la suite $(u_n)$ est croissante et majorée par 3.

Démonstration que $(u_n)$ est majorée par 3.

Initialisation : Pour $n=0$, $u_0 = 0$. On a bien $0 \leq 3$. La propriété est vraie pour $n=0$.
Hypothèse de récurrence : Supposons que pour un entier $k \geq 0$, $u_k \leq 3$.
Hérédité : Montrons que $u_{k+1} \leq 3$.
D'après l'hypothèse de récurrence, $u_k \leq 3$.
Alors $2u_k \leq 6$.
D'où $2u_k + 3 \leq 9$.
Comme la fonction racine carrée est croissante sur $\mathbb{R}^+$, $\sqrt{2u_k + 3} \leq \sqrt{9}$.
Donc $u_{k+1} \leq 3$.
La propriété est héréditaire.
Conclusion : D'après le principe de récurrence, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \leq 3$. La suite $(u_n)$ est majorée par 3.

Démonstration que $(u_n)$ est croissante.

Initialisation : Pour $n=0$, $u_0 = 0$. Calculons $u_1 = \sqrt{2u_0 + 3} = \sqrt{2 × 0 + 3} = \sqrt{3}$.
On a $u_0 = 0$ et $u_1 = \sqrt{3}$. Puisque $0 \leq \sqrt{3}$, on a $u_0 \leq u_1$. La propriété est vraie pour $n=0$.
Hypothèse de récurrence : Supposons que pour un entier $k \geq 0$, $u_k \leq u_{k+1}$.
Hérédité : Montrons que $u_{k+1} \leq u_{k+2}$.
D'après l'hypothèse de récurrence, $u_k \leq u_{k+1}$.
Alors $2u_k \leq 2u_{k+1}$.
D'où $2u_k + 3 \leq 2u_{k+1} + 3$.
Comme la fonction racine carrée est croissante sur $\mathbb{R}^+$, $\sqrt{2u_k + 3} \leq \sqrt{2u_{k+1} + 3}$.
Donc $u_{k+1} \leq u_{k+2}$.
La propriété est héréditaire.
Conclusion : D'après le principe de récurrence, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \leq u_{n+1}$. La suite $(u_n)$ est croissante.

La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par 3. D'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers une limite finie $L$.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Oubli des conditions d'application

Oublier de vérifier l'initialisation, qui est une étape cruciale de la récurrence.
Ne pas utiliser l'hypothèse de récurrence dans l'étape d'hérédité, ce qui invalide la démonstration.
Faire des erreurs de calcul ou des manipulations algébriques incorrectes lors de l'hérédité.
Oublier de justifier l'utilisation de propriétés de fonctions (ex: croissance de la racine carrée) si nécessaire.

Exercice type BAC

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 4$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1$.

Calculer $u_1$ et $u_2$.
Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \geq 2$.
Montrer par récurrence que la suite $(u_n)$ est décroissante.

Calcul de $u_1$ et $u_2$ :
$u_1 = \frac{1}{2}u_0 + 1 = \frac{1}{2} × 4 + 1 = 2 + 1 = 3$.
$u_2 = \frac{1}{2}u_1 + 1 = \frac{1}{2} × 3 + 1 = \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2} = 2,5$.
Démonstration par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \geq 2$ :
- Initialisation : Pour $n=0$, $u_0 = 4$. On a bien $4 \geq 2$. La propriété est vraie pour $n=0$.
- Hypothèse de récurrence : Supposons que pour un entier $k \geq 0$, $u_k \geq 2$.
- Hérédité : Montrons que $u_{k+1} \geq 2$.
  D'après l'hypothèse de récurrence, $u_k \geq 2$.
  En multipliant par $\frac{1}{2}$ (qui est positif), on obtient $\frac{1}{2}u_k \geq \frac{1}{2} × 2$, soit $\frac{1}{2}u_k \geq 1$.
  En ajoutant 1 aux deux membres, on a $\frac{1}{2}u_k + 1 \geq 1 + 1$, soit $u_{k+1} \geq 2$.
  La propriété est héréditaire.
- Conclusion : D'après le principe de récurrence, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \geq 2$. La suite $(u_n)$ est minorée par 2.
Démonstration par récurrence que la suite $(u_n)$ est décroissante :
- Initialisation : Pour $n=0$, nous avons calculé $u_0 = 4$ et $u_1 = 3$. On a $u_0 \geq u_1$. La propriété est vraie pour $n=0$.
- Hypothèse de récurrence : Supposons que pour un entier $k \geq 0$, $u_k \geq u_{k+1}$.
- Hérédité : Montrons que $u_{k+1} \geq u_{k+2}$.
  D'après l'hypothèse de récurrence, $u_k \geq u_{k+1}$.
  En multipliant par $\frac{1}{2}$ (qui est positif), on obtient $\frac{1}{2}u_k \geq \frac{1}{2}u_{k+1}$.
  En ajoutant 1 aux deux membres, on a $\frac{1}{2}u_k + 1 \geq \frac{1}{2}u_{k+1} + 1$.
  Ce qui signifie $u_{k+1} \geq u_{k+2}$.
  La propriété est héréditaire.
- Conclusion : D'après le principe de récurrence, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \geq u_{n+1}$. La suite $(u_n)$ est décroissante.
En combinant les résultats des questions 2 et 3, la suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par 2. D'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers une limite finie.

Questions fréquentes

Quand faut-il utiliser la récurrence pour la monotonie ou la bornitude ?

La récurrence est particulièrement utile lorsque la suite est définie par une relation de récurrence du type $u_{n+1} = f(u_n)$, et qu'il est difficile de déterminer directement le signe de $u_{n+1} - u_n$ ou d'encadrer $u_n$ sans l'hypothèse sur $u_k$.

Peut-on montrer la monotonie sans récurrence ?

Oui, si la suite est définie explicitement par $u_n = f(n)$, on peut étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$ ou le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ (si les termes sont positifs). Si $u_{n+1} = f(u_n)$, on peut aussi étudier la fonction $f$ et sa position par rapport à la droite $y=x$, mais cela nécessite souvent une preuve par récurrence pour $u_n \in [a,b]$.

Qu'est-ce que le théorème de convergence monotone ?

Le théorème de convergence monotone stipule que toute suite croissante et majorée converge vers une limite finie, et toute suite décroissante et minorée converge vers une limite finie. C'est un résultat fondamental après avoir prouvé la monotonie et la bornitude.

Comment choisir la borne $M$ ou $m$ pour la bornitude ?

Souvent, la borne est suggérée par l'énoncé ou peut être trouvée en cherchant les points fixes de la fonction $f$ telle que $u_{n+1} = f(u_n)$. Si $L$ est un point fixe ($L=f(L)$), il est souvent une borne ou la limite de la suite. On peut aussi tester quelques premiers termes pour avoir une idée.

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