Suites & Récurrence · Fiche N°20 / 110

Suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ : étude complète

Définition, méthode rigoureuse, exemples corrigés et exercice type BAC.

📚 Terminale Spécialité Maths ⏱ Lecture : 5 min ✅ Programme officiel BO 2019

Définition

Une suite $(u_n)$ est définie par une relation de récurrence de la forme $u_{n+1} = f(u_n)$ lorsqu'elle est donnée par son premier terme $u_0$ (ou $u_1$) et une fonction $f$ qui permet de calculer chaque terme à partir du précédent. L'étude de telles suites implique souvent l'analyse de la fonction $f$ associée, notamment sa monotonie et ses points fixes.

💡 Bon réflexe : Toujours commencer par l'étude de la fonction $f$ associée, puis prouver par récurrence que la suite est bornée et monotone avant d'appliquer le théorème de convergence monotone et de calculer la limite.
y=f(x)y=xuₙ₊₁ = f(uₙ)

Méthode — Suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ : étude complète

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1. Étudier la fonction $f$

Déterminer le domaine de définition de $f$. Étudier sa monotonie (dérivée $f'(x)$) et ses limites aux bornes de son domaine. Ces informations sont cruciales pour l'analyse de la suite.

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2. Montrer que la suite est bornée et/ou monotone (par récurrence)

Pour prouver que la suite est bornée (par exemple, $u_n \in [a, b]$ pour tout $n$), on utilise souvent un raisonnement par récurrence. L'initialisation consiste à vérifier que $u_0 \in [a, b]$. L'hérédité suppose $u_k \in [a, b]$ et utilise la monotonie de $f$ sur cet intervalle pour montrer que $u_{k+1} = f(u_k) \in [a, b]$.
Pour la monotonie, on étudie le signe de $u_{n+1} - u_n = f(u_n) - u_n$. Si $f(x) - x$ est de signe constant sur l'intervalle où se trouvent les termes de la suite, alors la suite est monotone. Cette preuve se fait aussi souvent par récurrence.

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3. Appliquer le théorème de convergence monotone

Si une suite est monotone (croissante ou décroissante) et bornée (majorée si croissante, minorée si décroissante), alors elle converge. C'est le théorème de convergence monotone. Il est essentiel de vérifier ces deux conditions pour conclure à la convergence.

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4. Calculer la limite de la suite

Si la suite $(u_n)$ converge vers une limite $L$, et si la fonction $f$ est continue au point $L$, alors $L$ est un point fixe de $f$, c'est-à-dire $L = f(L)$. Pour trouver $L$, il faut résoudre l'équation $x = f(x)$. Il est important de vérifier que la solution trouvée est compatible avec l'intervalle dans lequel la suite est bornée.

Exemple résolu

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{2u_n + 3}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. On souhaite étudier la convergence de cette suite et, le cas échéant, déterminer sa limite.

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1. Étude de la fonction $f$
On considère la fonction $f(x) = \sqrt{2x + 3}$.
Le domaine de définition de $f$ est $2x + 3 \geq 0$, soit $x \geq -3/2$.
Calcul de la dérivée : $f'(x) = \frac{2}{2\sqrt{2x + 3}} = \frac{1}{\sqrt{2x + 3}}$.
Pour $x > -3/2$, $f'(x) > 0$, donc $f$ est strictement croissante sur $[-3/2, +\infty[$.
On note que $u_0 = 0 \geq -3/2$, donc les termes de la suite seront bien définis si $u_n \geq -3/2$ pour tout $n$.
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2. Montrer que la suite est bornée et monotone
a) Montrons par récurrence que $0 \leq u_n \leq 3$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
Initialisation : Pour $n=0$, $u_0 = 0$, et $0 \leq 0 \leq 3$. La propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : Supposons que pour un certain $k \in \mathbb{N}$, $0 \leq u_k \leq 3$.
Comme $f$ est croissante sur $[-3/2, +\infty[$ et que $u_k \in [0, 3]$, on a $f(0) \leq f(u_k) \leq f(3)$.
$f(0) = \sqrt{2(0) + 3} = \sqrt{3}$.
$f(3) = \sqrt{2(3) + 3} = \sqrt{9} = 3$.
Donc $\sqrt{3} \leq u_{k+1} \leq 3$. Puisque $0 \leq \sqrt{3}$, on a bien $0 \leq u_{k+1} \leq 3$.
La propriété est héréditaire.
Conclusion : Par le principe de récurrence, $0 \leq u_n \leq 3$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

b) Montrons par récurrence que la suite $(u_n)$ est croissante.
Initialisation : $u_0 = 0$, $u_1 = \sqrt{2(0) + 3} = \sqrt{3}$. On a $u_0 \leq u_1$ car $0 \leq \sqrt{3}$. La propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : Supposons que pour un certain $k \in \mathbb{N}$, $u_k \leq u_{k+1}$.
Comme $u_k$ et $u_{k+1}$ sont dans l'intervalle $[0, 3]$ (d'après la partie a)) et que $f$ est croissante sur cet intervalle, on peut appliquer $f$ à l'inégalité :
$f(u_k) \leq f(u_{k+1})$.
Ceci signifie $u_{k+1} \leq u_{k+2}$.
La propriété est héréditaire.
Conclusion : Par le principe de récurrence, la suite $(u_n)$ est croissante.
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3. Appliquer le théorème de convergence monotone
La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par 3 (d'après l'étape 2).
D'après le théorème de convergence monotone, la suite $(u_n)$ converge.
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4. Calculer la limite de la suite
Soit $L$ la limite de la suite $(u_n)$. Puisque $f$ est continue sur $[0, 3]$ (car $f$ est une composition de fonctions continues), $L$ doit vérifier l'équation $L = f(L)$.
$L = \sqrt{2L + 3}$.
Élevons au carré les deux membres (on sait que $L \geq 0$ car $u_n \geq 0$ pour tout $n$ et la suite est croissante) :
$L^2 = 2L + 3$
$L^2 - 2L - 3 = 0$.
C'est une équation du second degré. Le discriminant est $\Delta = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16$.
Les solutions sont $L_1 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = -1$ et $L_2 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3$.
Puisque tous les termes de la suite sont positifs ($u_n \geq 0$) et la suite est croissante, sa limite $L$ doit être positive. De plus, $L$ doit être dans l'intervalle $[0, 3]$ (car $0 \leq u_n \leq 3$).
La solution $L = -1$ est à rejeter.
La seule solution possible est $L = 3$.

La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par 3, elle converge donc vers la limite $L=3$.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Oubli des conditions d'application

  1. Oublier de vérifier la continuité de $f$ avant de résoudre $L = f(L)$. Si $f$ n'est pas continue en $L$, la limite n'est pas nécessairement un point fixe.
  2. Ne pas vérifier que la limite trouvée $L$ est compatible avec l'intervalle dans lequel la suite est bornée. Une équation $L=f(L)$ peut avoir plusieurs solutions, mais une seule est la limite de la suite.
  3. Confondre la monotonie de $f$ avec la monotonie de la suite $(u_n)$. La monotonie de $f$ est un outil pour prouver celle de la suite, mais ce n'est pas la même chose.
  4. Oublier l'étape de l'initialisation ou de l'hérédité dans un raisonnement par récurrence, ou mal formuler l'hypothèse de récurrence.

Exercice type BAC

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = \frac{4u_n}{1+u_n}$.

  1. On considère la fonction $f$ définie sur $[0, +\infty[$ par $f(x) = \frac{4x}{1+x}$.

    1. Étudier les variations de la fonction $f$ sur $[0, +\infty[$.

    2. Résoudre l'équation $f(x) = x$ sur $[0, +\infty[$.

  2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $0 \leq u_n \leq 3$.

  3. Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante.

  4. En déduire que la suite $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.

    1. La fonction $f$ est définie sur $[0, +\infty[$ par $f(x) = \frac{4x}{1+x}$.

      Calculons la dérivée $f'(x)$ : $f'(x) = \frac{4(1+x) - 4x(1)}{(1+x)^2} = \frac{4+4x-4x}{(1+x)^2} = \frac{4}{(1+x)^2}$.

      Pour tout $x \in [0, +\infty[$, $(1+x)^2 > 0$, donc $f'(x) > 0$.

      La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[0, +\infty[$.

    2. Résolvons l'équation $f(x) = x$ sur $[0, +\infty[$.

      $\frac{4x}{1+x} = x$

      $4x = x(1+x)$

      $4x = x + x^2$

      $x^2 - 3x = 0$

      $x(x-3) = 0$

      Les solutions sont $x=0$ ou $x=3$.

  2. Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $0 \leq u_n \leq 3$.

    Initialisation : Pour $n=0$, $u_0 = 1$. On a bien $0 \leq 1 \leq 3$. La propriété est vraie au rang 0.

    Hérédité : Supposons que pour un certain entier $k \geq 0$, $0 \leq u_k \leq 3$.

    Puisque $f$ est strictement croissante sur $[0, +\infty[$ (d'après 1.a)) et que $u_k \in [0, 3]$, on peut appliquer $f$ aux inégalités :

    $f(0) \leq f(u_k) \leq f(3)$.

    $f(0) = \frac{4(0)}{1+0} = 0$.

    $f(3) = \frac{4(3)}{1+3} = \frac{12}{4} = 3$.

    Donc $0 \leq u_{k+1} \leq 3$.

    La propriété est héréditaire.

    Conclusion : Par le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, $0 \leq u_n \leq 3$.

  3. Démontrons que la suite $(u_n)$ est croissante.

    Étudions le signe de $u_{n+1} - u_n$ :

    $u_{n+1} - u_n = \frac{4u_n}{1+u_n} - u_n = \frac{4u_n - u_n(1+u_n)}{1+u_n} = \frac{4u_n - u_n - u_n^2}{1+u_n} = \frac{3u_n - u_n^2}{1+u_n} = \frac{u_n(3-u_n)}{1+u_n}$.

    D'après la question 2, pour tout $n$, $0 \leq u_n \leq 3$.

    Donc :

    • $u_n \geq 0$
    • $3-u_n \geq 0$ (car $u_n \leq 3$)
    • $1+u_n > 0$ (car $u_n \geq 0$)

    Par conséquent, le produit $u_n(3-u_n)$ est positif ou nul, et le dénominateur $1+u_n$ est strictement positif.

    Donc $u_{n+1} - u_n \geq 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

    La suite $(u_n)$ est croissante.

  4. En déduire que la suite $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.

    La suite $(u_n)$ est croissante (question 3) et majorée par 3 (question 2).

    D'après le théorème de convergence monotone, la suite $(u_n)$ converge.

    Soit $L$ sa limite. Puisque $f$ est continue sur $[0, +\infty[$ (car c'est une fonction rationnelle dont le dénominateur ne s'annule pas sur cet intervalle), la limite $L$ doit vérifier l'équation $L = f(L)$.

    D'après la question 1.b), les solutions de $f(x)=x$ sont $x=0$ et $x=3$.

    Puisque la suite $(u_n)$ est croissante et que $u_0 = 1$, tous les termes $u_n$ sont supérieurs ou égaux à $u_0=1$. La limite $L$ doit donc être supérieure ou égale à 1.

    Par conséquent, la limite $L=0$ est à rejeter.

    La limite de la suite $(u_n)$ est $L=3$.

Questions fréquentes

Pourquoi la continuité de $f$ est-elle importante pour trouver la limite ?
La continuité de $f$ est cruciale car elle garantit que si $u_n$ tend vers $L$, alors $f(u_n)$ tend vers $f(L)$. Puisque $u_{n+1} = f(u_n)$, si $(u_n)$ converge vers $L$, alors $(u_{n+1})$ converge aussi vers $L$. En passant à la limite dans l'égalité $u_{n+1} = f(u_n)$, on obtient $L = f(L)$. Sans la continuité de $f$ en $L$, cette étape n'est pas valide.
Comment choisir l'intervalle pour la récurrence ($0 \leq u_n \leq M$) ?
L'intervalle $[a, b]$ est souvent suggéré par l'énoncé ou peut être déduit de l'étude de $f$. Les bornes $a$ et $b$ sont fréquemment des points fixes de $f$ ou des valeurs liées au premier terme $u_0$. Il faut que $f([a,b]) \subseteq [a,b]$ pour que l'hérédité fonctionne.
Que se passe-t-il si la suite n'est pas monotone ?
Si la suite n'est pas monotone, le théorème de convergence monotone ne s'applique pas. La suite peut alors être divergente, ou convergente mais de manière oscillante. Dans ce cas, l'étude est plus complexe et peut nécessiter d'étudier des suites extraites (par exemple, $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$) ou d'utiliser d'autres critères de convergence, comme le critère de Cauchy, qui est hors programme de Terminale.
Est-il toujours nécessaire de faire une récurrence pour la monotonie ?
Non, pas toujours. Si l'on peut étudier le signe de $f(x)-x$ sur l'intervalle où se trouvent les termes de la suite, et que ce signe est constant, alors la monotonie de la suite est établie directement. Par exemple, si $f(x)-x \geq 0$ pour tout $x \in [a,b]$ et que $u_n \in [a,b]$, alors $u_{n+1}-u_n \geq 0$, et la suite est croissante. La récurrence est utile quand l'étude directe de $f(u_n)-u_n$ est plus complexe ou quand on a besoin de montrer que $u_n$ reste dans un certain intervalle pour appliquer la monotonie de $f$.

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