Définition
La représentation graphique d'une suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$ permet de visualiser le comportement de la suite (convergence, divergence, périodicité) en traçant la courbe de la fonction $f$ et la droite d'équation $y=x$. Cette méthode est souvent appelée méthode de la toile d'araignée.
Méthode — Représentation graphique d\'une suite récurrente (toile d\'araignée)
Tracer la fonction $f$ et la droite $y=x$
Dans un repère orthonormé, tracer la courbe représentative de la fonction $f$ telle que $u_{n+1} = f(u_n)$, ainsi que la droite d'équation $y=x$. La fonction $f$ doit être définie sur un intervalle contenant les termes de la suite.
Placer le premier terme $u_0$
Placer le point $(u_0, 0)$ sur l'axe des abscisses. Ce point représente la valeur initiale de la suite.
Construire $u_1$
À partir de $u_0$ sur l'axe des abscisses, monter verticalement jusqu'à la courbe de $f$. Le point d'intersection a pour coordonnées $(u_0, f(u_0))$, c'est-à-dire $(u_0, u_1)$. Pour reporter $u_1$ sur l'axe des abscisses, se déplacer horizontalement jusqu'à la droite $y=x$. Le point d'intersection a pour coordonnées $(u_1, u_1)$. Descendre ensuite verticalement jusqu'à l'axe des abscisses pour marquer $u_1$.
Construire les termes suivants $u_n$
Répéter l'étape précédente : à partir de $u_n$ sur l'axe des abscisses, monter (ou descendre) verticalement jusqu'à la courbe de $f$ pour obtenir $u_{n+1}$ sur l'axe des ordonnées. Puis se déplacer horizontalement jusqu'à la droite $y=x$ pour reporter $u_{n+1}$ sur l'axe des abscisses. Continuer ce processus pour visualiser les premiers termes de la suite.
Interpréter le comportement
Observer la trajectoire des points. Si les points se rapprochent d'un point d'intersection entre $f(x)$ et $y=x$, la suite converge vers l'abscisse de ce point. Si les points s'éloignent, la suite diverge. Si les points alternent entre deux valeurs, la suite peut être périodique.
Exemple résolu
Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 0,5$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = -0,5u_n^2 + 2u_n - 0,5$. Représenter graphiquement les premiers termes de la suite et conjecturer son comportement.
La représentation graphique montre que les termes de la suite $(u_n)$ se rapprochent du point d'intersection de la courbe de $f$ et de la droite $y=x$, qui est $x=1$. On conjecture que la suite $(u_n)$ converge vers $1$.
⚠️ Piège fréquent au BAC — Interprétation hâtive
- Confondre l'abscisse et l'ordonnée des points sur la courbe $f(x)$ : le point est $(u_n, u_{n+1})$, pas $(u_n, u_n)$.
- Oublier de tracer la droite $y=x$, essentielle pour reporter les termes sur l'axe des abscisses.
- Tirer des conclusions de convergence ou divergence sans observer suffisamment de termes ou sans tenir compte de la position des points fixes.
- Ne pas vérifier que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle où se trouvent les termes de la suite.
Exercice type BAC
Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 0,2$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = \sqrt{2u_n + 3}$.
- Dans un repère orthonormé, tracer la courbe représentative de la fonction $f(x) = \sqrt{2x + 3}$ pour $x \geq -1,5$ et la droite d'équation $y=x$.
- Placer $u_0$ sur l'axe des abscisses, puis construire graphiquement les trois premiers termes $u_1$, $u_2$, $u_3$ de la suite sur l'axe des abscisses.
- À l'aide de cette représentation graphique, conjecturer le sens de variation de la suite $(u_n)$ et sa convergence éventuelle.
Tracé de la courbe de $f(x) = \sqrt{2x+3}$ et de la droite $y=x$ :
La fonction $f(x) = \sqrt{2x+3}$ est définie pour $2x+3 \geq 0$, soit $x \geq -1,5$. Sa courbe est une demi-parabole horizontale. On peut calculer quelques points : $f(-1,5) = 0$, $f(0) = \sqrt{3} \approx 1,73$, $f(3) = \sqrt{9} = 3$.
La droite $y=x$ passe par l'origine et a une pente de $1$.
Les points fixes sont les solutions de $x = \sqrt{2x+3}$. En élevant au carré, on obtient $x^2 = 2x+3$, soit $x^2 - 2x - 3 = 0$. Le discriminant est $\Delta = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16$. Les solutions sont $x = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}$. Donc $x_1 = \frac{2-4}{2} = -1$ et $x_2 = \frac{2+4}{2} = 3$. Puisque $x = \sqrt{2x+3}$ implique $x \geq 0$, la seule solution valide est $x=3$. Le point d'intersection est $(3,3)$.
Construction des termes $u_1, u_2, u_3$ :
On place $u_0 = 0,2$ sur l'axe des abscisses.
Pour $u_1$: Partir de $u_0=0,2$ sur l'axe des abscisses, monter verticalement jusqu'à la courbe de $f$. On atteint le point $(0,2; f(0,2))$. $f(0,2) = \sqrt{2(0,2)+3} = \sqrt{0,4+3} = \sqrt{3,4} \approx 1,84$. Se déplacer horizontalement jusqu'à la droite $y=x$. Puis descendre verticalement jusqu'à l'axe des abscisses pour marquer $u_1 \approx 1,84$.
Pour $u_2$: Partir de $u_1 \approx 1,84$ sur l'axe des abscisses, monter verticalement jusqu'à la courbe de $f$. On atteint le point $(u_1; f(u_1))$. $f(1,84) = \sqrt{2(1,84)+3} = \sqrt{3,68+3} = \sqrt{6,68} \approx 2,58$. Se déplacer horizontalement jusqu'à la droite $y=x$. Puis descendre verticalement jusqu'à l'axe des abscisses pour marquer $u_2 \approx 2,58$.
Pour $u_3$: Partir de $u_2 \approx 2,58$ sur l'axe des abscisses, monter verticalement jusqu'à la courbe de $f$. On atteint le point $(u_2; f(u_2))$. $f(2,58) = \sqrt{2(2,58)+3} = \sqrt{5,16+3} = \sqrt{8,16} \approx 2,86$. Se déplacer horizontalement jusqu'à la droite $y=x$. Puis descendre verticalement jusqu'à l'axe des abscisses pour marquer $u_3 \approx 2,86$.
Conjecture sur le sens de variation et la convergence :
En observant la construction graphique, on constate que $u_0 < u_1 < u_2 < u_3$. Les termes de la suite semblent augmenter. On conjecture que la suite $(u_n)$ est croissante.
De plus, les points successifs sur l'axe des abscisses se rapprochent du point d'intersection de la courbe de $f$ et de la droite $y=x$, qui est $x=3$. On conjecture que la suite $(u_n)$ converge vers 3.
Questions fréquentes
Pourquoi trace-t-on la droite $y=x$ ?
Comment savoir si la suite converge ou diverge graphiquement ?
Est-ce que la représentation graphique est une preuve de convergence ?
Que se passe-t-il si la courbe de $f$ coupe $y=x$ en plusieurs points ?
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