Définition
En mathématiques, les nombres sont classés dans des ensembles. Chaque ensemble possède des propriétés spécifiques et contient les ensembles précédents. Comprendre ces ensembles est fondamental pour bien manipuler les nombres et résoudre des problèmes.
Bon réflexe : Toujours simplifier un nombre au maximum avant de tenter de le classer dans un ensemble.
Méthode : Les ensembles de nombres : ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ et ℝ
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Identifier la nature d'un nombre
Pour déterminer l'ensemble le plus petit auquel un nombre appartient, on commence par l'ensemble le plus restreint ($\mathbb{N}$) et on vérifie si le nombre respecte les conditions de chaque ensemble, en élargissant progressivement.
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Simplifier l'écriture du nombre
Avant de classer un nombre, il est souvent nécessaire de le simplifier. Par exemple, une fraction peut être réductible, une racine carrée peut être simplifiée, ou une expression peut être calculée. $$\frac{6}{3} = 2$$
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Vérifier les définitions
Pour chaque ensemble, on applique sa définition :
- $\mathbb{N}$ : nombre entier positif ou nul.
- $\mathbb{Z}$ : nombre entier (positif, négatif ou nul).
- $\mathbb{D}$ : nombre décimal (peut s'écrire sous la forme $\frac{a}{10^n}$ avec $a \in \mathbb{Z}$ et $n \in \mathbb{N}$).
- $\mathbb{Q}$ : nombre rationnel (peut s'écrire sous la forme $\frac{a}{b}$ avec $a \in \mathbb{Z}$ et $b \in \mathbb{Z}^*$).
- $\mathbb{R}$ : tout nombre réel (inclut les irrationnels comme $\pi$ ou $\sqrt{2}$).
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Conclure sur l'ensemble le plus petit
Le nombre appartient à tous les ensembles qui le contiennent, mais on cherche l'ensemble le plus petit auquel il appartient. Par exemple, $2$ appartient à $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{D}$, $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}$, mais l'ensemble le plus petit est $\mathbb{N}$.
Exemple résolu
Classer les nombres suivants dans le plus petit ensemble de nombres auquel ils appartiennent : $A = 7$, $B = -3$, $C = \frac{1}{2}$, $D = \frac{10}{5}$, $E = \sqrt{2}$, $F = \frac{1}{3}$, $G = 0{,}25 \times 10^2$.
1
Pour $A = 7$
C'est un entier positif. Il appartient à $\mathbb{N}$. Comme $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$, il appartient aussi à tous les autres ensembles, mais $\mathbb{N}$ est le plus petit.
2
Pour $B = -3$
C'est un entier, mais il est négatif. Il n'appartient pas à $\mathbb{N}$. Il appartient à $\mathbb{Z}$. $\mathbb{Z}$ est le plus petit ensemble.
3
Pour $C = \frac{1}{2}$
C'est une fraction. $1 \in \mathbb{Z}$ et $2 \in \mathbb{Z}^*$. C'est un rationnel. On peut l'écrire $0{,}5$, qui est un nombre décimal ($0{,}5 = \frac{5}{10^1}$). Il appartient à $\mathbb{D}$. $\mathbb{D}$ est le plus petit ensemble.
4
Pour $D = \frac{10}{5}$
On simplifie : $\frac{10}{5} = 2$. C'est un entier positif. Il appartient à $\mathbb{N}$. $\mathbb{N}$ est le plus petit ensemble.
5
Pour $E = \sqrt{2}$
C'est une racine carrée qui ne peut pas être simplifiée en un entier ou une fraction. Sa valeur décimale est $1{,}41421356...$ et elle ne se termine pas et n'est pas périodique. C'est un nombre irrationnel. Il appartient à $\mathbb{R}$. $\mathbb{R}$ est le plus petit ensemble.
6
Pour $F = \frac{1}{3}$
C'est une fraction. $1 \in \mathbb{Z}$ et $3 \in \mathbb{Z}^*$. C'est un rationnel. Sa valeur décimale est $0{,}333...$ (périodique). Elle ne peut pas s'écrire sous la forme $\frac{a}{10^n}$. Il n'appartient pas à $\mathbb{D}$. Il appartient à $\mathbb{Q}$. $\mathbb{Q}$ est le plus petit ensemble.
7
Pour $G = 0{,}25 \times 10^2$
On calcule : $0{,}25 \times 10^2 = 0{,}25 \times 100 = 25$. C'est un entier positif. Il appartient à $\mathbb{N}$. $\mathbb{N}$ est le plus petit ensemble.
En résumé : $A \in \mathbb{N}$, $B \in \mathbb{Z}$, $C \in \mathbb{D}$, $D \in \mathbb{N}$, $E \in \mathbb{R}$, $F \in \mathbb{Q}$, $G \in \mathbb{N}$.
Confusion entre décimaux et rationnels
- Un nombre décimal est un nombre rationnel, mais un nombre rationnel n'est pas toujours un nombre décimal. Par exemple, $\frac{1}{3}$ est rationnel mais pas décimal.
- Ne pas simplifier une fraction avant de la classer. Par exemple, $\frac{6}{3}$ est un entier, pas seulement un rationnel.
- Confondre les nombres irrationnels avec les nombres décimaux. Un nombre irrationnel a une écriture décimale infinie non périodique (ex: $\sqrt{2}$, $\pi$).
- Oublier que les ensembles sont emboîtés : si un nombre est dans $\mathbb{N}$, il est aussi dans $\mathbb{Z}$, $\mathbb{D}$, $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}$.
Exercice type contrôle
Classer les nombres suivants dans le plus petit ensemble de nombres auquel ils appartiennent :- $X = \frac{15}{3}$
- $Y = -2{,}7$
- $Z = \sqrt{9}$
- $W = \frac{2}{7}$
- $V = \pi$
- Pour $X = \frac{15}{3}$ : On simplifie $X = 5$. C'est un entier positif. Donc $X \in \mathbb{N}$.
- Pour $Y = -2{,}7$ : C'est un nombre qui s'écrit avec un nombre fini de chiffres après la virgule. On peut l'écrire $Y = -\frac{27}{10^1}$. C'est un nombre décimal. Donc $Y \in \mathbb{D}$.
- Pour $Z = \sqrt{9}$ : On calcule $Z = 3$. C'est un entier positif. Donc $Z \in \mathbb{N}$.
- Pour $W = \frac{2}{7}$ : C'est une fraction irréductible. $2 \in \mathbb{Z}$ et $7 \in \mathbb{Z}^*$. C'est un nombre rationnel. Son écriture décimale est $0{,}285714285714...$ (périodique) et ne se termine pas. Il n'est pas décimal. Donc $W \in \mathbb{Q}$.
- Pour $V = \pi$ : C'est un nombre dont l'écriture décimale est infinie et non périodique ($3{,}14159265...$). C'est un nombre irrationnel. Donc $V \in \mathbb{R}$.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre un nombre décimal et un nombre rationnel ?
Un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire sous la forme $\frac{a}{10^n}$ où $a$ est un entier relatif et $n$ est un entier naturel. Son écriture décimale a un nombre fini de chiffres après la virgule (ex: $0{,}5$, $3{,}14$). Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme $\frac{a}{b}$ où $a$ est un entier relatif et $b$ est un entier relatif non nul. Son écriture décimale est soit finie, soit infinie et périodique (ex: $\frac{1}{3} = 0{,}333...$). Tous les décimaux sont des rationnels, mais l'inverse n'est pas vrai.
Pourquoi dit-on que $\mathbb{N}$ est inclus dans $\mathbb{Z}$ ?
Cela signifie que tout nombre qui appartient à l'ensemble $\mathbb{N}$ (les entiers naturels : $0, 1, 2, ...$) appartient aussi à l'ensemble $\mathbb{Z}$ (les entiers relatifs : $..., -2, -1, 0, 1, 2, ...$). Par exemple, $5$ est un entier naturel, et $5$ est aussi un entier relatif. On note cette inclusion $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$.
Est-ce que $0$ est un entier naturel ?
Oui, en France et dans la plupart des programmes scolaires, l'ensemble des entiers naturels $\mathbb{N}$ inclut $0$. Donc $0 \in \mathbb{N}$.
Comment savoir si une racine carrée est un nombre irrationnel ?
La racine carrée d'un entier positif $k$ est un nombre irrationnel si $k$ n'est pas un carré parfait (le carré d'un entier). Par exemple, $\sqrt{4} = 2$ est un entier, donc rationnel, car $4$ est un carré parfait ; en revanche $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$ et $\sqrt{5}$ sont irrationnels. Attention : pour un nombre non entier, la règle ne s'applique pas, par exemple $\sqrt{2{,}25} = 1{,}5$.
Pour aller plus loin
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