Définition
Un intervalle de $\mathbb{R}$ est un ensemble de nombres réels. Il représente une partie de la droite numérique, délimitée par deux bornes (qui peuvent être incluses ou exclues). Les intervalles sont utilisés pour exprimer des ensembles de solutions d'inéquations ou des domaines de définition de fonctions.
Bon réflexe : Visualise toujours l'intervalle sur une droite numérique pour vérifier le sens des crochets et l'ordre des bornes.
Méthode : Intervalles de ℝ : notation et représentation
1
Identifier les bornes
Déterminez les valeurs qui délimitent l'intervalle. Ces valeurs peuvent être des nombres réels ou l'infini ($-\infty$ ou $+\infty$). L'infini est toujours exclu.
2
Définir l'inclusion des bornes
Pour chaque borne, décidez si elle est incluse ou exclue de l'intervalle.
- Si la borne est incluse (le nombre fait partie de l'intervalle), on utilise un crochet fermé, tourné vers l'intérieur de l'intervalle : $[a$ ou $b]$.
- Si la borne est exclue (le nombre ne fait pas partie de l'intervalle), on utilise un crochet ouvert, tourné vers l'extérieur de l'intervalle : $]a$ ou $b[$.
3
Écrire la notation de l'intervalle
Placez la borne inférieure à gauche et la borne supérieure à droite, séparées par un point-virgule. Entourez chaque borne de son crochet approprié. Par exemple, l'ensemble des nombres $x$ tels que $a \leq x \leq b$ se note $[a\,;b]$. L'ensemble des nombres $x$ tels que $x \gt a$ se note $]a\,;+\infty[$.
4
Représenter sur une droite numérique
Tracez une droite graduée. Placez les bornes sur cette droite.
- Si la borne est incluse, représentez-la par un point plein ou un crochet fermé sur la droite.
- Si la borne est exclue, représentez-la par un point vide ou un crochet ouvert sur la droite.
Exemple résolu
Soit l'ensemble des nombres réels $x$ qui vérifient l'inégalité $2 \leq x \lt 5$. Représenter cet ensemble sous forme d'intervalle et sur une droite numérique.
1
Identifier les bornes
Les bornes de l'intervalle sont $2$ et $5$.
2
Définir l'inclusion des bornes
L'inégalité $2 \leq x$ signifie que $x$ est supérieur ou égal à $2$. La borne $2$ est donc incluse. On utilisera un crochet fermé : $[2$.
L'inégalité $x \lt 5$ signifie que $x$ est strictement inférieur à $5$. La borne $5$ est donc exclue. On utilisera un crochet ouvert : $5[$.
L'inégalité $x \lt 5$ signifie que $x$ est strictement inférieur à $5$. La borne $5$ est donc exclue. On utilisera un crochet ouvert : $5[$.
3
Écrire la notation de l'intervalle
En combinant les bornes et les crochets, l'intervalle est noté $[2\,;5[$. Cet intervalle représente tous les nombres réels $x$ tels que $2 \leq x \lt 5$.
4
Représenter sur une droite numérique
On trace une droite graduée. On place un point plein (ou un crochet fermé) au niveau de $2$ pour indiquer que $2$ est inclus. On place un point vide (ou un crochet ouvert) au niveau de $5$ pour indiquer que $5$ est exclu. On hachure la partie de la droite entre $2$ et $5$.
L'ensemble des nombres réels $x$ tels que $2 \leq x \lt 5$ est l'intervalle $[2\,;5[$. Sur une droite numérique, on représente cet intervalle en hachurant la zone entre $2$ (inclus) et $5$ (exclu).
Piège fréquent en Seconde : Sens des crochets
- Confondre les crochets : un crochet tourné vers l'intérieur de l'intervalle signifie que la borne est incluse ($\leq$ ou $\geq$), tandis qu'un crochet tourné vers l'extérieur signifie qu'elle est exclue ($\lt $ ou $\gt $).
- Inverser les bornes : la borne inférieure doit toujours être à gauche et la borne supérieure à droite dans la notation de l'intervalle. Par exemple, $]5\,;2[$ n'a pas de sens.
- Utiliser des crochets fermés avec l'infini : les symboles $-\infty$ et $+\infty$ représentent des concepts d'illimitation et ne sont jamais des nombres réels. Par conséquent, ils sont toujours exclus et s'écrivent avec des crochets ouverts : $]-\infty\,;a[$ ou $]a\,;+\infty[$.
- Oublier le point-virgule : les bornes d'un intervalle sont séparées par un point-virgule en notation française, par exemple $[0\,;5[$. Ne pas utiliser de virgule, qui est réservée aux nombres décimaux.
Exercice type contrôle
Soit les intervalles $I = [-3\,;4]$ et $J = ]1\,;+\infty[$.- Écrire sous forme d'inégalité l'ensemble des nombres réels $x$ appartenant à l'intervalle $I$.
- Représenter l'intervalle $J$ sur une droite numérique.
- Donner la notation d'intervalle pour l'ensemble des nombres réels $x$ tels que $x \leq -1$.
- L'intervalle $I = [-3\,;4]$ signifie que $x$ est supérieur ou égal à $-3$ ET inférieur ou égal à $4$.
Donc, l'inégalité est $-3 \leq x \leq 4$. - Pour représenter l'intervalle $J = ]1\,;+\infty[$ sur une droite numérique :
On trace une droite graduée. On place un crochet ouvert (ou un point vide) au niveau de $1$ pour indiquer que $1$ est exclu. On hachure toute la partie de la droite à droite de $1$, jusqu'à l'infini. - L'ensemble des nombres réels $x$ tels que $x \leq -1$ signifie que $x$ est inférieur ou égal à $-1$. La borne $-1$ est incluse. Il n'y a pas de borne inférieure finie, donc on utilise $-\infty$.
La notation d'intervalle est $]-\infty\,;-1]$.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre $]a\,;b[$ et $[a\,;b]$ ?
L'intervalle $]a\,;b[$ contient tous les nombres réels $x$ strictement compris entre $a$ et $b$, c'est-à-dire $a \lt x \lt b$. Les bornes $a$ et $b$ sont exclues. L'intervalle $[a\,;b]$ contient tous les nombres réels $x$ compris entre $a$ et $b$, bornes incluses, c'est-à-dire $a \leq x \leq b$. Les bornes $a$ et $b$ font partie de l'intervalle.
Comment représenter l'ensemble de tous les nombres réels ?
L'ensemble de tous les nombres réels est noté $\mathbb{R}$. En notation d'intervalle, il se représente par $]-\infty\,;+\infty[$. Sur une droite numérique, cela correspond à toute la droite, sans aucune limite.
Peut-on avoir un intervalle avec une seule borne ?
Oui, ce sont les intervalles non bornés. Par exemple, $]a\,;+\infty[$ représente tous les nombres réels strictement supérieurs à $a$. L'autre borne est l'infini. De même, $]-\infty\,;b]$ représente tous les nombres réels inférieurs ou égaux à $b$.
Pourquoi utilise-t-on un point-virgule et non une virgule entre les bornes ?
En France, la virgule est utilisée comme séparateur décimal dans les nombres (par exemple $2{,}5$). Pour éviter toute confusion avec un nombre décimal, on utilise le point-virgule pour séparer les bornes d'un intervalle, comme dans $[2{,}5\,;7]$. C'est une convention d'écriture mathématique française.
Pour aller plus loin
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