Échantillonnage et fluctuation – Fiche Maths Seconde

Définition

L'échantillonnage consiste à prélever un échantillon d'une population pour en étudier une caractéristique. La fréquence observée $f$ d'un caractère dans un échantillon est le rapport du nombre d'individus présentant ce caractère à la taille de l'échantillon. La fluctuation d'échantillonnage est la variation des fréquences observées d'un échantillon à l'autre, même si tous les échantillons sont prélevés dans la même population. Cette fluctuation est naturelle et aléatoire.

Bon réflexe : Toujours vérifier les conditions d'application de l'intervalle de fluctuation avant de l'utiliser : $n \geq 25$, $np \geq 5$ et $n(1-p) \geq 5$.

Méthode : Échantillonnage et fluctuation

Calculer la fréquence observée

Pour un échantillon de taille $n$ dans lequel un caractère apparaît $k$ fois, la fréquence observée est $f = \frac{k}{n}$.

Déterminer l'intervalle de fluctuation

Pour une proportion $p$ connue dans une population, l'intervalle de fluctuation à 95 % pour un échantillon de taille $n$ (avec $n \geq 25$, $np \geq 5$ et $n(1-p) \geq 5$) est donné par : $$I = \left[p - \frac{1}{\sqrt{n}} \,;\, p + \frac{1}{\sqrt{n}}\right]$$ Cet intervalle contient environ 95 % des fréquences observées dans des échantillons de taille $n$ si l'hypothèse de la proportion $p$ est vraie.

Prendre une décision

Si la fréquence observée $f$ de l'échantillon appartient à l'intervalle $I$, on considère que l'échantillon est compatible avec la proportion $p$ de la population. Si $f$ n'appartient pas à $I$, on peut douter de l'hypothèse que l'échantillon est issu d'une population de proportion $p$.

Exemple résolu

Une usine affirme que $20\,\%$ des pièces produites présentent un défaut d'aspect ($p = 0{,}2$). Pour le vérifier, on prélève au hasard un échantillon de $n = 100$ pièces : $27$ présentent ce défaut.

Calculer la fréquence observée $f$

$f = \frac{27}{100} = 0{,}27$.

Vérifier les conditions d'utilisation

$n = 100 \geq 25$ et $0{,}2 \leq p \leq 0{,}8$ : on peut utiliser l'intervalle de fluctuation au seuil de $95\,\%$.

Calculer l'intervalle de fluctuation

$I = \left[p - \frac{1}{\sqrt{n}}\,;\,p + \frac{1}{\sqrt{n}}\right] = \left[0{,}2 - \frac{1}{10}\,;\,0{,}2 + \frac{1}{10}\right] = [0{,}1\,;\,0{,}3]$.

Conclure

$f = 0{,}27$ appartient à $[0{,}1\,;\,0{,}3]$ : l'écart avec $20\,\%$ s'explique par la fluctuation d'échantillonnage.

L'échantillon est compatible avec l'affirmation de l'usine : rien ne permet de la remettre en cause au seuil de $95\,\%$.

Confondre fréquence et proportion

La proportion $p$ est une valeur théorique ou connue pour l'ensemble de la population.
La fréquence observée $f$ est une valeur calculée à partir d'un échantillon spécifique et peut varier d'un échantillon à l'autre (fluctuation).
L'intervalle de fluctuation est calculé à partir de la proportion $p$ de la population, pas de la fréquence $f$ de l'échantillon.

Exercice type contrôle

Un sondage national indique que 60 % des lycéens (population) sont favorables à l'instauration d'une semaine de 4 jours. Un lycée décide de sonder ses propres élèves pour voir si cette proportion est la même chez eux.

Un échantillon aléatoire de 250 lycéens de cet établissement est interrogé. Parmi eux, 135 se déclarent favorables à la semaine de 4 jours.

Calculer la fréquence observée $f$ de lycéens favorables dans cet échantillon.
Déterminer l'intervalle de fluctuation à 95 % de la fréquence des lycéens favorables, en supposant que la proportion nationale s'applique à ce lycée.
Que peut-on conclure sur l'opinion des lycéens de cet établissement par rapport à l'opinion nationale ?

Calcul de la fréquence observée $f$ :
Le nombre de lycéens favorables dans l'échantillon est $k = 135$.
La taille de l'échantillon est $n = 250$.
La fréquence observée est $f = \frac{k}{n} = \frac{135}{250} = 0{,}54$.
Détermination de l'intervalle de fluctuation à 95 % :
La proportion nationale est $p = 0{,}60$. La taille de l'échantillon est $n = 250$.
Vérifions les conditions d'application :
- $n = 250 \geq 25$ (condition vérifiée)
- $np = 250 \times 0{,}60 = 150 \geq 5$ (condition vérifiée)
- $n(1-p) = 250 \times (1-0{,}60) = 250 \times 0{,}40 = 100 \geq 5$ (condition vérifiée)
L'intervalle de fluctuation est : $$I = \left[p - \frac{1}{\sqrt{n}} \,;\, p + \frac{1}{\sqrt{n}}\right]$$
$$I = \left[0{,}60 - \frac{1}{\sqrt{250}} \,;\, 0{,}60 + \frac{1}{\sqrt{250}}\right]$$
Calculons $\frac{1}{\sqrt{250}} \approx \frac{1}{15{,}81} \approx 0{,}0632$.
$$I \approx [0{,}60 - 0{,}0632 \,;\, 0{,}60 + 0{,}0632]$$
$$I \approx [0{,}5368 \,;\, 0{,}6632]$$
Arrondissons à quatre décimales : $I = [0{,}5368 \,;\, 0{,}6632]$.
Conclusion :
La fréquence observée est $f = 0{,}54$.
L'intervalle de fluctuation est $I = [0{,}5368 \,;\, 0{,}6632]$.
On constate que $0{,}54 \in [0{,}5368 \,;\, 0{,}6632]$. La fréquence observée appartient à l'intervalle de fluctuation.
On peut donc considérer que l'échantillon de ce lycée est compatible avec la proportion nationale de 60 % de lycéens favorables à la semaine de 4 jours. Il n'y a pas de raison de penser que l'opinion des lycéens de cet établissement est significativement différente de l'opinion nationale.

Questions fréquentes

Pourquoi utilise-t-on un intervalle de fluctuation et pas une valeur exacte ?

À cause de la fluctuation d'échantillonnage ! Chaque échantillon est différent. Si on prélève plusieurs échantillons dans la même population, on obtiendra des fréquences observées légèrement différentes. L'intervalle de fluctuation nous donne une plage de valeurs "normales" pour ces fréquences, en tenant compte de cette variabilité naturelle.

Que signifie "à 95 %" pour l'intervalle de fluctuation ?

Cela signifie que si l'on prélève un très grand nombre d'échantillons de même taille dans la population, environ 95 % des fréquences observées dans ces échantillons tomberont dans cet intervalle. Il y a donc 5 % de chance que la fréquence observée soit en dehors de cet intervalle, même si l'échantillon est bien issu de la population avec la proportion $p$.

Peut-on utiliser l'intervalle de fluctuation pour n'importe quelle taille d'échantillon ?

Non, il y a des conditions d'application importantes pour que la formule soit valide en Seconde : la taille de l'échantillon $n$ doit être suffisamment grande ($n \geq 25$), et les nombres $np$ et $n(1-p)$ (qui représentent les effectifs attendus des deux catégories) doivent être supérieurs ou égaux à 5. Si ces conditions ne sont pas remplies, la formule n'est pas adaptée.

Si la fréquence observée est en dehors de l'intervalle, est-ce que l'hypothèse est fausse ?

Non, pas nécessairement "fausse", mais on peut "douter" de l'hypothèse. Il y a toujours une petite probabilité (5 % dans notre cas) que la fréquence observée tombe en dehors de l'intervalle par pur hasard, même si l'hypothèse est vraie. Cependant, si la fréquence est loin de l'intervalle, cela renforce le doute et suggère que l'échantillon pourrait provenir d'une population avec une proportion différente.

Pour aller plus loin

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