Définition
En probabilités, un tableau croisé (ou tableau à double entrée) permet de représenter la répartition d'une population selon deux caractères. Chaque cellule contient le nombre d'individus possédant simultanément les deux caractères correspondants. Les totaux en marge donnent les effectifs pour chaque caractère pris isolément.
Un arbre de dénombrement (ou arbre de choix) est une représentation graphique qui permet de visualiser toutes les issues possibles d'une succession d'événements. Chaque branche représente un choix ou un événement, et le chemin complet de la racine à une feuille représente une issue possible.
Méthode : Tableaux croisés et arbres de dénombrement
Identifier les caractères et modalités
Pour un tableau croisé, déterminez les deux caractères étudiés et leurs différentes modalités (valeurs possibles). Pour un arbre, identifiez les étapes successives de l'expérience aléatoire.
Construire le tableau croisé
Placez les modalités du premier caractère en lignes et celles du second en colonnes. Remplissez les cellules avec les effectifs donnés. Calculez les totaux de chaque ligne et de chaque colonne, ainsi que le total général.
Construire l'arbre de dénombrement
Commencez par un point (la racine). Pour la première étape, tracez autant de branches qu'il y a de choix possibles. À l'extrémité de chaque branche, représentez le résultat. Répétez l'opération pour la deuxième étape à partir de chaque résultat de la première étape, et ainsi de suite. Chaque chemin de la racine à une feuille représente une issue.
Interpréter les résultats
À partir du tableau croisé, vous pouvez lire directement les effectifs d'événements conjoints (intersection) ou d'événements simples (marges). Avec l'arbre, comptez le nombre de chemins complets pour trouver le nombre total d'issues, ou identifiez les chemins correspondant à un événement spécifique.
Exemple résolu
| Football | Basketball | Total | |
|---|---|---|---|
| Garçon | $50$ | $80 - 50 = 30$ | $80$ |
| Fille | $150 - 80 - 40 = 30$ | $40$ | $150 - 80 = 70$ |
| Total | $50 + 30 = 80$ | $30 + 40 = 70$ | $150$ |
Confondre effectifs et probabilités
- Ne pas faire la différence entre un effectif (nombre d'individus) et une probabilité (fréquence relative, entre $0$ et $1$). Les tableaux croisés sont souvent remplis d'effectifs.
- Oublier de vérifier les totaux : la somme des totaux de lignes doit être égale à la somme des totaux de colonnes, et égale au total général.
- Mal interpréter les chemins dans un arbre : chaque chemin complet représente une issue unique. Ne pas compter les branches intermédiaires comme des issues finales.
Exercice type contrôle
Une urne contient $3$ boules rouges (R) et $2$ boules vertes (V). On tire successivement et sans remise $2$ boules de l'urne.- Construire l'arbre de dénombrement de cette expérience.
- Combien d'issues différentes y a-t-il ?
- Combien d'issues correspondent à l'événement "Tirer au moins une boule rouge" ?
- Construction de l'arbre :
Au premier tirage, il y a $5$ boules au total ($3$ R et $2$ V).
Au deuxième tirage, il reste $4$ boules.
Racine
├── R
│ ├── R → (R,R)
│ └── V → (R,V)
└── V
├── R → (V,R)
└── V → (V,V) - Nombre d'issues différentes :
En suivant tous les chemins de la racine aux feuilles, on trouve les issues suivantes : (R,R), (R,V), (V,R), (V,V).
Il y a donc $4$ issues différentes. - Issues correspondant à "Tirer au moins une boule rouge" :
Ceci signifie que la première boule est rouge, ou la deuxième est rouge, ou les deux sont rouges.
Les issues concernées sont : (R,R), (R,V), (V,R).
Il y a $3$ issues qui correspondent à l'événement "Tirer au moins une boule rouge".
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre un tableau croisé et un arbre de dénombrement ?
Quand utiliser un tableau croisé plutôt qu'un arbre ?
Est-ce que les probabilités sont toujours indiquées sur les branches d'un arbre ?
Comment vérifier que mon tableau croisé est correct ?
Pour aller plus loin
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