La fonction affine : définition – Fiche Brevet Maths

Définition

Une fonction affine est une fonction $f$ qui, à tout nombre $x$, associe un nombre $f(x)$ de la forme $ax + b$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels fixés. On écrit $f(x) = ax + b$.

$a$ est appelé le coefficient directeur ou la pente de la fonction.
$b$ est appelé l'ordonnée à l'origine.

Cas particuliers :

Si $b = 0$, la fonction est de la forme $f(x) = ax$. C'est une fonction linéaire. Sa représentation graphique est une droite passant par l'origine du repère.
Si $a = 0$, la fonction est de la forme $f(x) = b$. C'est une fonction constante. Sa représentation graphique est une droite horizontale.

Fonction affine f(x) = x + 2

💡 Bon réflexe : Toujours vérifier si l'expression est bien de la forme $ax + b$ après simplification.

Méthode — La fonction affine : définition

Identifier les coefficients $a$ et $b$

Pour une fonction donnée sous la forme $f(x) = ax + b$, identifiez directement les valeurs de $a$ et $b$. Par exemple, pour $f(x) = 3x + 2$, $a=3$ et $b=2$.

Calculer l'image d'un nombre

Pour calculer l'image d'un nombre $x_0$ par une fonction affine $f(x) = ax + b$, il suffit de remplacer $x$ par $x_0$ dans l'expression de la fonction. On obtient $f(x_0) = a × x_0 + b$. Par exemple, si $f(x) = 2x - 1$, l'image de $3$ est $f(3) = 2 × 3 - 1 = 6 - 1 = 5$.

Calculer l'antécédent d'un nombre

Pour calculer l'antécédent d'un nombre $y_0$ par une fonction affine $f(x) = ax + b$, il faut résoudre l'équation $ax + b = y_0$. On isole $x$: $ax = y_0 - b$, donc $x = \frac{y_0 - b}{a}$ (si $a \neq 0$). Par exemple, si $f(x) = 2x - 1$, l'antécédent de $7$ est la solution de $2x - 1 = 7$, soit $2x = 8$, donc $x = 4$.

Exemple résolu

Déterminons si les fonctions suivantes sont affines, linéaires ou constantes, et identifions leurs coefficients $a$ et $b$.

$f(x) = 5x - 3$

C'est une fonction affine de la forme $ax + b$ avec $a=5$ et $b=-3$.

$g(x) = -2x$

C'est une fonction linéaire (cas particulier d'affine) de la forme $ax + b$ avec $a=-2$ et $b=0$.

$h(x) = 7$

C'est une fonction constante (cas particulier d'affine) de la forme $ax + b$ avec $a=0$ et $b=7$.

$k(x) = x^2 + 1$

✗ NonL'expression contient un terme en $x^2$, elle n'est pas de la forme $ax + b$.

$m(x) = \frac{1}{x}$

✗ NonL'expression contient $x$ au dénominateur, elle n'est pas de la forme $ax + b$.

$p(x) = (x+1)(x-2) - x^2$

En développant : $p(x) = x^2 - 2x + x - 2 - x^2 = -x - 2$. C'est une fonction affine avec $a=-1$ et $b=-2$.

Il est important de simplifier l'expression d'une fonction avant de conclure sur sa nature.

⚠️ Confondre $a$ et $b$ ou ne pas simplifier l'expression

À bien identifier le coefficient directeur $a$ (celui qui multiplie $x$) et l'ordonnée à l'origine $b$ (le terme constant).
Ne pas oublier de développer et de réduire une expression si elle n'est pas directement sous la forme $ax + b$.
Par exemple, $f(x) = 5 - 2x$ est bien une fonction affine avec $a=-2$ et $b=5$.

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Exercice type Brevet

Exercice sur les fonctions affines

Pour chaque fonction, indiquez si elle est affine, linéaire ou constante. Si elle est affine, donnez les valeurs de $a$ et $b$.
a) $f(x) = 4x + 7$
b) $g(x) = -3x$
c) $h(x) = 12 - x$
d) $k(x) = 5$
e) $m(x) = x^3 - 2x$
f) $p(x) = (x-3)^2 - x^2$
Soit la fonction affine $f(x) = -2x + 5$.
a) Calculez l'image de $3$ par $f$.
b) Calculez l'antécédent de $-1$ par $f$.

Corrigé de l'exercice

a) $f(x) = 4x + 7$: Fonction affine. $a=4$, $b=7$.
b) $g(x) = -3x$: Fonction linéaire (et donc affine). $a=-3$, $b=0$.
c) $h(x) = 12 - x$: Fonction affine. $a=-1$, $b=12$.
d) $k(x) = 5$: Fonction constante (et donc affine). $a=0$, $b=5$.
e) $m(x) = x^3 - 2x$: Ni affine, ni linéaire, ni constante (présence de $x^3$).
f) $p(x) = (x-3)^2 - x^2 = (x^2 - 6x + 9) - x^2 = -6x + 9$: Fonction affine. $a=-6$, $b=9$.
Soit la fonction affine $f(x) = -2x + 5$.
a) Image de $3$: $f(3) = -2 × 3 + 5 = -6 + 5 = -1$.
b) Antécédent de $-1$: On résout l'équation $f(x) = -1$.
$-2x + 5 = -1$
$-2x = -1 - 5$
$-2x = -6$
$x = \frac{-6}{-2}$
$x = 3$.
L'antécédent de $-1$ est $3$.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre une fonction affine et une fonction linéaire ?

Une fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine où l'ordonnée à l'origine $b$ est égale à $0$. Donc, toute fonction linéaire est affine, mais toute fonction affine n'est pas linéaire (sauf si $b=0$). Une fonction linéaire passe toujours par l'origine du repère.

Comment reconnaître graphiquement une fonction affine ?

La représentation graphique d'une fonction affine est toujours une droite. Si la droite passe par l'origine du repère, c'est une fonction linéaire. Si la droite est horizontale, c'est une fonction constante.

Peut-on avoir une fonction affine avec $a=0$ ?

Oui, si $a=0$, la fonction est de la forme $f(x) = b$. C'est une fonction constante. Par exemple, $f(x) = 5$ est une fonction affine avec $a=0$ et $b=5$.

Que représente le coefficient $a$ ?

Le coefficient $a$ (coefficient directeur ou pente) indique la direction de la droite représentative de la fonction. Si $a > 0$, la droite monte (la fonction est croissante). Si $a < 0$, la droite descend (la fonction est décroissante). Si $a = 0$, la droite est horizontale (la fonction est constante).

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