Fonctions · Fiche N°39 / 104

Représenter graphiquement une fonction linéaire

Définition, méthode pas à pas, exemples corrigés et exercice type Brevet.

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Définition

Une fonction linéaire est une fonction qui peut s'écrire sous la forme $f(x) = ax$, où $a$ est un nombre réel non nul appelé coefficient directeur. Sa représentation graphique est une droite passant par l'origine du repère $(0;0)$.

Droite passant par l'origine
💡 Bon réflexe : Toujours vérifier que la droite passe par l'origine pour une fonction linéaire.

Méthode — Représenter graphiquement une fonction linéaire

1

Identifier la fonction linéaire

Assurez-vous que la fonction est bien de la forme $f(x) = ax$. Le coefficient $a$ est crucial pour la représentation.

2

Placer le premier point : l'origine

La représentation graphique de toute fonction linéaire passe toujours par l'origine du repère, c'est-à-dire le point de coordonnées $(0;0)$. Vous pouvez donc placer ce point immédiatement.

3

Calculer un deuxième point

Pour tracer une droite, il suffit de deux points. Choisissez une valeur simple pour $x$ (différente de $0$), par exemple $x=1$ ou $x=2$. Calculez l'image de cette valeur par la fonction : $f(x) = ax$. Cela vous donnera un deuxième point de coordonnées $(x; f(x))$.

4

Placer le deuxième point

Reportez les coordonnées du deuxième point que vous avez calculé sur le repère.

5

Tracer la droite

Reliez les deux points que vous avez placés (l'origine et le deuxième point) à l'aide d'une règle. Cette droite est la représentation graphique de la fonction linéaire.

Exemple résolu

Traçons la représentation graphique de la fonction linéaire $f(x) = 2x$.

1
La fonction est-elle de la forme $f(x) = ax$ ?
✓ OuiIci, $a=2$. C'est bien une fonction linéaire.
2
Quel est le premier point à placer ?
$(0;0)$ — Toute fonction linéaire passe par l'origine.
3
Calculons un deuxième point pour $x=1$.
$f(1) = 2 × 1 = 2$. Le point est $(1;2)$. — On substitue $x$ par $1$ dans l'expression de la fonction.
4
Calculons un deuxième point pour $x=3$.
$f(3) = 2 × 3 = 6$. Le point est $(3;6)$. — On peut choisir n'importe quelle valeur de $x$ non nulle. Ici, on a choisi $x=3$ pour illustrer.

Nous avons les points $(0;0)$ et $(1;2)$ (ou $(3;6)$). En reliant ces deux points, nous obtenons la droite qui représente la fonction $f(x) = 2x$.

⚠️ Confondre fonction linéaire et fonction affine

  1. Une fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine.
  2. Une fonction affine s'écrit $f(x) = ax + b$.
  3. Si $b \neq 0$, la droite ne passe PAS par l'origine.
  4. Si $b=0$, alors c'est une fonction linéaire.
  5. Ne pas placer l'origine comme point systématiquement si la fonction n'est pas linéaire.

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Exercice type Brevet

Représentez graphiquement les fonctions linéaires suivantes dans un même repère orthogonal :
  1. $f(x) = 3x$
  2. $g(x) = -x$
  3. $h(x) = \frac{1}{2}x$
Pour chaque fonction, nous allons identifier le coefficient directeur et calculer un deuxième point en plus de l'origine $(0;0)$.
1. Pour $f(x) = 3x$ :
  • Coefficient directeur : $a=3$.
  • Premier point : $(0;0)$.
  • Deuxième point : Choisissons $x=1$. $f(1) = 3 × 1 = 3$. Le point est $(1;3)$.
  • Tracer la droite passant par $(0;0)$ et $(1;3)$.
2. Pour $g(x) = -x$ :
  • Coefficient directeur : $a=-1$.
  • Premier point : $(0;0)$.
  • Deuxième point : Choisissons $x=2$. $g(2) = -2$. Le point est $(2;-2)$.
  • Tracer la droite passant par $(0;0)$ et $(2;-2)$.
3. Pour $h(x) = \frac{1}{2}x$ :
  • Coefficient directeur : $a=\frac{1}{2}$.
  • Premier point : $(0;0)$.
  • Deuxième point : Choisissons $x=4$ (pour éviter les fractions). $h(4) = \frac{1}{2} × 4 = 2$. Le point est $(4;2)$.
  • Tracer la droite passant par $(0;0)$ et $(4;2)$.

Questions fréquentes

Pourquoi la droite passe-t-elle toujours par l'origine ?
Parce que pour une fonction linéaire $f(x) = ax$, si on calcule $f(0)$, on obtient $f(0) = a × 0 = 0$. Donc, le point de coordonnées $(0;0)$ est toujours sur la droite.
Que représente le coefficient directeur $a$ ?
Le coefficient directeur $a$ indique la 'pente' de la droite. Si $a > 0$, la droite 'monte' (la fonction est croissante). Si $a < 0$, la droite 'descend' (la fonction est décroissante). Plus la valeur absolue de $a$ est grande, plus la pente est raide.
Est-ce que je peux utiliser plus de deux points ?
Oui, vous pouvez calculer un troisième point pour vérifier que vos calculs sont corrects. Si les trois points sont alignés, c'est bon ! Cependant, deux points suffisent pour tracer une droite.
Comment choisir la valeur de $x$ pour le deuxième point ?
Choisissez une valeur simple et qui vous donne un résultat facile à placer sur le graphique. Souvent $x=1$ ou $x=2$ sont de bons choix. Si le coefficient $a$ est une fraction, choisissez une valeur de $x$ qui est un multiple du dénominateur pour obtenir un nombre entier.

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