Géométrie Plane · Fiche N°45 / 104

Le théorème de Pythagore : calculer l'hypoténuse

Définition, méthode pas à pas, exemples corrigés et exercice type Brevet.

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Définition

Le théorème de Pythagore est une propriété fondamentale des triangles rectangles. Il établit une relation entre les longueurs des côtés d'un triangle rectangle. Plus précisément, dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit) est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés (les cathètes).

Si un triangle $\text{ABC}$ est rectangle en $\text{C}$, alors la relation de Pythagore s'écrit : $$ \text{AB}^2 = \text{AC}^2 + \text{BC}^2 $$ où $\text{AB}$ est l'hypoténuse, et $\text{AC}$ et $\text{BC}$ sont les cathètes.

Triangle DEF rectangle en E — hypotenuse DF (en or)
💡 Bon réflexe : Toujours commencer par identifier l'angle droit et l'hypoténuse pour éviter les erreurs d'application de la formule.

Méthode — Le théorème de Pythagore : calculer l'hypoténuse

1

Identifier le triangle rectangle et l'hypoténuse

Assurez-vous que le triangle est bien un triangle rectangle. L'hypoténuse est toujours le côté le plus long et celui qui est opposé à l'angle droit. Les deux autres côtés sont appelés les cathètes.

2

Écrire la formule du théorème de Pythagore

Si le triangle est $\text{ABC}$ et qu'il est rectangle en $\text{C}$, alors l'hypoténuse est $\text{AB}$. La formule s'écrit : $\text{AB}^2 = \text{AC}^2 + \text{BC}^2$.

3

Substituer les valeurs connues

Remplacez les longueurs des cathètes (les côtés de l'angle droit) par leurs valeurs numériques dans la formule.

4

Calculer le carré de l'hypoténuse

Effectuez les calculs pour trouver la valeur de $\text{AB}^2$ (ou le carré de l'hypoténuse).

5

Calculer la longueur de l'hypoténuse

Pour trouver la longueur de l'hypoténuse $\text{AB}$, prenez la racine carrée du résultat obtenu à l'étape précédente : $\text{AB} = \sqrt{\text{AC}^2 + \text{BC}^2}$.

Exemple résolu

Soit un triangle $\text{DEF}$ rectangle en $\text{E}$. On sait que $\text{DE} = 6 \text{ cm}$ et $\text{EF} = 8 \text{ cm}$. Calculons la longueur de l'hypoténuse $\text{DF}$.

1
Le triangle $\text{DEF}$ est-il rectangle ?
✓ OuiL'énoncé précise que le triangle $\text{DEF}$ est rectangle en $\text{E}$.
2
Quel est le côté opposé à l'angle droit $\text{E}$ ?
DF — Le côté $\text{DF}$ est l'hypoténuse.
3
Les longueurs des cathètes sont-elles connues ?
✓ Oui$\text{DE} = 6 \text{ cm}$ et $\text{EF} = 8 \text{ cm}$.

1. Le triangle $\text{DEF}$ est rectangle en $\text{E}$.
2. D'après le théorème de Pythagore, nous avons : $$ \text{DF}^2 = \text{DE}^2 + \text{EF}^2 $$ 3. Substituons les valeurs : $$ \text{DF}^2 = 6^2 + 8^2 $$ $$ \text{DF}^2 = 36 + 64 $$ $$ \text{DF}^2 = 100 $$ 4. Pour trouver $\text{DF}$, nous prenons la racine carrée : $$ \text{DF} = \sqrt{100} $$ $$ \text{DF} = 10 \text{ cm} $$ L'hypoténuse $\text{DF}$ mesure donc $10 \text{ cm}$.

⚠️ Confondre l'hypoténuse avec une cathète

  1. Le piège le plus courant est de ne pas identifier correctement l'hypoténuse.
  2. L'hypoténuse est TOUJOURS le côté le plus long et celui qui est opposé à l'angle droit.
  3. Si vous appliquez la formule en pensant que l'hypoténuse est une cathète, votre calcul sera faux.
  4. Par exemple, si vous cherchez une cathète, la formule sera $\text{AC}^2 = \text{AB}^2 - \text{BC}^2$ et non une somme.

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Exercice type Brevet

Exercice : Calcul de l'hypoténuse

Un triangle $\text{GHI}$ est rectangle en $\text{H}$. La longueur du côté $\text{GH}$ est de $5 \text{ cm}$ et la longueur du côté $\text{HI}$ est de $12 \text{ cm}$.

  1. Quelle est la nature du triangle $\text{GHI}$ ?
  2. Quel est le nom de l'hypoténuse ?
  3. Écrire la relation de Pythagore pour ce triangle.
  4. Calculer la longueur de l'hypoténuse $\text{GI}$.

Correction de l'exercice

  1. Le triangle $\text{GHI}$ est un triangle rectangle.
  2. L'angle droit est en $\text{H}$, donc le côté opposé est $\text{GI}$. L'hypoténuse est donc $\text{GI}$.
  3. D'après le théorème de Pythagore, la relation est : $$ \text{GI}^2 = \text{GH}^2 + \text{HI}^2 $$
  4. Calculons la longueur de l'hypoténuse $\text{GI}$ :
    On a $\text{GH} = 5 \text{ cm}$ et $\text{HI} = 12 \text{ cm}$.
    $$ \text{GI}^2 = 5^2 + 12^2 $$ $$ \text{GI}^2 = 25 + 144 $$ $$ \text{GI}^2 = 169 $$ Pour trouver $\text{GI}$, on prend la racine carrée :
    $$ \text{GI} = \sqrt{169} $$ $$ \text{GI} = 13 \text{ cm} $$L'hypoténuse $\text{GI}$ mesure $13 \text{ cm}$.

Questions fréquentes

Quand peut-on utiliser le théorème de Pythagore ?
Le théorème de Pythagore ne peut être utilisé uniquement si le triangle est un triangle rectangle. Si le triangle n'est pas rectangle, le théorème ne s'applique pas.
Comment savoir quel côté est l'hypoténuse ?
L'hypoténuse est toujours le côté le plus long du triangle rectangle. C'est aussi le côté qui est opposé à l'angle droit (l'angle de $90°$). Si le triangle est $\text{ABC}$ rectangle en $\text{B}$, alors $\text{AC}$ est l'hypoténuse.
Peut-on utiliser le théorème de Pythagore pour calculer une cathète ?
Oui, absolument ! Si vous connaissez l'hypoténuse et une cathète, vous pouvez trouver l'autre cathète. Par exemple, si $\text{AB}$ est l'hypoténuse, alors $\text{AC}^2 = \text{AB}^2 - \text{BC}^2$ ou $\text{BC}^2 = \text{AB}^2 - \text{AC}^2$.
Est-ce que l'ordre des cathètes dans la somme a de l'importance ?
Non, l'ordre n'a pas d'importance car l'addition est commutative. Que vous écriviez $\text{AC}^2 + \text{BC}^2$ ou $\text{BC}^2 + \text{AC}^2$, le résultat sera le même.

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