Déterminer une fonction affine à partir de deux points – Fiche Brevet Maths

Définition

Une fonction affine $f$ est une fonction qui peut s'écrire sous la forme $f(x) = ax + b$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels. Le nombre $a$ est appelé le coefficient directeur (ou pente) et $b$ est l'ordonnée à l'origine. Graphiquement, la représentation d'une fonction affine est une droite.

Determiner f a partir de deux points

💡 Bon réflexe : Toujours vérifier vos calculs, surtout les signes, et si possible, substituer les deux points dans l'équation finale pour s'assurer qu'ils la satisfont.

Méthode — Déterminer une fonction affine à partir de deux points

Étape 1 : Calculer le coefficient directeur $a$

Soient deux points $A(x_A; y_A)$ et $B(x_B; y_B)$ appartenant à la droite représentative de la fonction affine $f$. Le coefficient directeur $a$ est donné par la formule : $$a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$$ Il est crucial que $x_A \neq x_B$. Si $x_A = x_B$, la droite est verticale et ne représente pas une fonction.

Étape 2 : Calculer l'ordonnée à l'origine $b$

Une fois que le coefficient directeur $a$ est déterminé, on sait que la fonction s'écrit $f(x) = ax + b$. Pour trouver $b$, on utilise les coordonnées de l'un des points donnés. Par exemple, en utilisant le point $A(x_A; y_A)$, on a $y_A = a x_A + b$. On peut alors isoler $b$ : $$b = y_A - a x_A$$ On peut vérifier le résultat avec le second point $B(x_B; y_B)$ : $y_B = a x_B + b$ doit être vrai.

Étape 3 : Écrire l'expression de la fonction affine

Après avoir calculé $a$ et $b$, il suffit de remplacer ces valeurs dans la forme générale $f(x) = ax + b$ pour obtenir l'expression complète de la fonction affine.

Exemple résolu

Déterminons l'expression de la fonction affine $f$ dont la représentation graphique passe par les points $A(2; 5)$ et $B(-1; -4)$.

Calcul du coefficient directeur $a$

On utilise la formule $a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$.
Ici, $x_A = 2$, $y_A = 5$, $x_B = -1$, $y_B = -4$.
$a = \frac{-4 - 5}{-1 - 2} = \frac{-9}{-3} = 3$.

Calcul de l'ordonnée à l'origine $b$

La fonction est de la forme $f(x) = 3x + b$.
Utilisons le point $A(2; 5)$ : $f(2) = 3 × 2 + b = 5$.
$6 + b = 5$, donc $b = 5 - 6 = -1$.
Vérifions avec le point $B(-1; -4)$ : $f(-1) = 3 × (-1) + (-1) = -3 - 1 = -4$. Cela correspond bien à $y_B$.

Écriture de l'expression de la fonction

Avec $a = 3$ et $b = -1$, l'expression de la fonction affine est $f(x) = 3x - 1$.

La fonction affine passant par les points $A(2; 5)$ et $B(-1; -4)$ est $f(x) = 3x - 1$.

⚠️ Erreur de signe ou d'ordre dans la formule

Intervertir les coordonnées des points ou de faire des erreurs de signe lors du calcul du coefficient directeur $a$.
Par exemple, écrire $a = \frac{y_B - y_A}{x_A - x_B}$ ou $a = \frac{y_A - y_B}{x_B - x_A}$.
Il faut toujours soustraire les coordonnées du même point au même point, en respectant l'ordre : $(y_B - y_A)$ au numérateur et $(x_B - x_A)$ au dénominateur.
De même, lors du calcul de $b$, veillez à bien substituer les valeurs de $a$, $x$ et $y$ correctement.

Pack Brevet Maths

Reçois 3 fiches gratuites pour préparer le Brevet

Les 3 fiches les plus importantes du programme de 3ème, en PDF prêt à imprimer. Offertes par Adil.

Pas de spam. Désinscription en un clic.

Exercice type Brevet

On considère une fonction affine $g$ dont la représentation graphique passe par les points $C(-3; 7)$ et $D(1; -1)$.

Déterminer le coefficient directeur $a$ de la fonction $g$.
Déterminer l'ordonnée à l'origine $b$ de la fonction $g$.
Écrire l'expression de la fonction affine $g(x)$.

Calcul du coefficient directeur $a$ :
Les points sont $C(-3; 7)$ et $D(1; -1)$.
$a = \frac{y_D - y_C}{x_D - x_C} = \frac{-1 - 7}{1 - (-3)} = \frac{-8}{1 + 3} = \frac{-8}{4} = -2$.
Le coefficient directeur est $a = -2$.
Calcul de l'ordonnée à l'origine $b$ :
La fonction est de la forme $g(x) = -2x + b$.
Utilisons le point $D(1; -1)$ : $g(1) = -2 × 1 + b = -1$.
$-2 + b = -1$, donc $b = -1 + 2 = 1$.
L'ordonnée à l'origine est $b = 1$.
Expression de la fonction affine $g(x)$ :
Avec $a = -2$ et $b = 1$, l'expression de la fonction est $g(x) = -2x + 1$.

Questions fréquentes

Que se passe-t-il si les deux points ont la même abscisse ?

Si les deux points ont la même abscisse ($x_A = x_B$), la droite est verticale. Dans ce cas, la formule du coefficient directeur $a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ conduirait à une division par zéro, ce qui est impossible. Une droite verticale ne représente pas une fonction au sens mathématique habituel (elle ne passe pas le test de la droite verticale).

Peut-on utiliser n'importe quel point pour trouver $b$ ?

Oui, une fois que vous avez calculé le coefficient directeur $a$, vous pouvez utiliser les coordonnées de n'importe lequel des deux points donnés pour trouver $b$. Le résultat sera le même. C'est une bonne pratique de vérifier avec le deuxième point si vous avez le temps.

Comment savoir si ma fonction est bien affine ?

Une fonction est affine si elle peut s'écrire sous la forme $f(x) = ax + b$. Si la relation entre les points n'est pas linéaire (c'est-à-dire qu'ils ne sont pas alignés), alors ce n'est pas une fonction affine. La méthode décrite ici suppose que les points appartiennent bien à une fonction affine.

Est-ce que $a$ peut être égal à zéro ?

Oui, si $a = 0$, la fonction devient $f(x) = b$. C'est une fonction constante, dont la représentation graphique est une droite horizontale. Une fonction constante est un cas particulier de fonction affine.

Pour aller plus loin

Votre enfant bloque sur ce chapitre ?

Adil explique la méthode en 1 séance. Cours en ligne disponibles partout en France à 20€/h.

📞 Être rappelé gratuitement Avance Immédiate →