Définition
Le théorème de Pythagore établit une relation entre les longueurs des côtés d'un triangle rectangle. La réciproque du théorème de Pythagore permet de déterminer si un triangle est rectangle à partir de la longueur de ses trois côtés.
Soit un triangle $ABC$ dont les côtés ont pour longueurs $a$, $b$ et $c$. Si le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle. Autrement dit :
Si $BC^2 = AB^2 + AC^2$, alors le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
Si $AC^2 = AB^2 + BC^2$, alors le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.
Si $AB^2 = AC^2 + BC^2$, alors le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.
La contraposée du théorème de Pythagore permet de prouver qu'un triangle n'est pas rectangle. Si le carré de la longueur du plus grand côté n'est pas égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors le triangle n'est pas rectangle.
Si $BC^2 \neq AB^2 + AC^2$, alors le triangle $ABC$ n'est pas rectangle en $A$.
Méthode — La réciproque de Pythagore
Étape 1 : Identifier le plus grand côté
Dans le triangle donné, identifiez le côté dont la longueur est la plus grande. Ce côté sera potentiellement l'hypoténuse si le triangle est rectangle.
Étape 2 : Calculer le carré du plus grand côté
Calculez la valeur du carré de la longueur du plus grand côté. Par exemple, si le plus grand côté est $BC$, calculez $BC^2$.
Étape 3 : Calculer la somme des carrés des deux autres côtés
Calculez la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Par exemple, si les deux autres côtés sont $AB$ et $AC$, calculez $AB^2 + AC^2$.
Étape 4 : Comparer les résultats
Comparez les deux résultats obtenus aux étapes 2 et 3.
- Si les deux résultats sont égaux (par exemple, $BC^2 = AB^2 + AC^2$), alors, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle. L'angle droit est opposé au plus grand côté (ici, l'angle en $A$).
- Si les deux résultats sont différents (par exemple, $BC^2 \neq AB^2 + AC^2$), alors, d'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle n'est pas rectangle.
Exemple résolu
Considérons plusieurs triangles avec des longueurs de côtés différentes et appliquons la réciproque de Pythagore pour déterminer s'ils sont rectangles.
$BC^2 = 5^2 = 25$.
$AB^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
Puisque $BC^2 = AB^2 + AC^2$, le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ d'après la réciproque du théorème de Pythagore.
$EF^2 = 8^2 = 64$.
$DE^2 + DF^2 = 6^2 + 9^2 = 36 + 81 = 117$.
Puisque $EF^2 \neq DE^2 + DF^2$, le triangle $DEF$ n'est pas rectangle d'après la contraposée du théorème de Pythagore.
$GI^2 = 25^2 = 625$.
$GH^2 + HI^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$.
Puisque $GI^2 = GH^2 + HI^2$, le triangle $GHI$ est rectangle en $H$ d'après la réciproque du théorème de Pythagore.
Ces exemples montrent comment appliquer la réciproque (ou la contraposée) du théorème de Pythagore pour prouver qu'un triangle est (ou n'est pas) rectangle. Il est crucial d'identifier correctement le plus grand côté avant d'effectuer les calculs.
⚠️ Erreur fréquente : Ne pas identifier le plus grand côté ou ne pas l'isoler.
- Ne pas identifier correctement le plus grand côté et de ne pas le placer seul dans l'égalité. Par exemple, si on a un triangle $ABC$ avec $AB=6$, $BC=10$, $AC=8$, et que l'on teste $AB^2+BC^2=AC^2$, on obtiendra $6^2+10^2 = 36+100=136$ et $8^2=64$. $136 \neq 64$, ce qui conclurait à tort que le triangle n'est pas rectangle. Il faut toujours vérifier si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres. Ici, le plus grand côté est $BC=10$. Il faut donc tester si $BC^2 = AB^2 + AC^2$. $10^2 = 100$ et $6^2+8^2 = 36+64=100$. Puisque $100=100$, le triangle est bien rectangle en $A$.
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Exercice type Brevet
Exercice
Pour chacun des triangles suivants, indiquez s'il est rectangle ou non, en justifiant votre réponse à l'aide de la réciproque ou de la contraposée du théorème de Pythagore.
- Triangle $RST$ avec $RS = 12$ cm, $ST = 13$ cm, $RT = 5$ cm.
- Triangle $LMN$ avec $LM = 7$ cm, $MN = 9$ cm, $LN = 11$ cm.
- Triangle $UVW$ avec $UV = 2,5$ cm, $VW = 6$ cm, $UW = 6,5$ cm.
Corrigé
- Triangle $RST$ :
Le plus grand côté est $ST = 13$ cm.
Calculons le carré du plus grand côté : $ST^2 = 13^2 = 169$.
Calculons la somme des carrés des deux autres côtés : $RS^2 + RT^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$.
Puisque $ST^2 = RS^2 + RT^2$ ($169 = 169$), d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $RST$ est rectangle en $R$. - Triangle $LMN$ :
Le plus grand côté est $LN = 11$ cm.
Calculons le carré du plus grand côté : $LN^2 = 11^2 = 121$.
Calculons la somme des carrés des deux autres côtés : $LM^2 + MN^2 = 7^2 + 9^2 = 49 + 81 = 130$.
Puisque $LN^2 \neq LM^2 + MN^2$ ($121 \neq 130$), d'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle $LMN$ n'est pas rectangle. - Triangle $UVW$ :
Le plus grand côté est $UW = 6,5$ cm.
Calculons le carré du plus grand côté : $UW^2 = 6,5^2 = 42,25$.
Calculons la somme des carrés des deux autres côtés : $UV^2 + VW^2 = 2,5^2 + 6^2 = 6,25 + 36 = 42,25$.
Puisque $UW^2 = UV^2 + VW^2$ ($42,25 = 42,25$), d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $UVW$ est rectangle en $V$.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre le théorème de Pythagore et sa réciproque ?
Quand utilise-t-on la contraposée de Pythagore ?
Est-ce que l'ordre des côtés pour la somme des carrés importe ?
Que faire si les longueurs des côtés sont des nombres décimaux ou des fractions ?
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