Définition
Le théorème de Thalès est un outil fondamental en géométrie qui permet de calculer des longueurs dans des configurations spécifiques de droites parallèles et sécantes. Il existe deux configurations principales :
- Configuration « classique » ou « en V » : Deux droites sécantes coupées par deux droites parallèles.
- Configuration « papillon » ou « en sablier » : Deux droites sécantes qui se coupent en un point, et deux droites parallèles qui coupent ces sécantes de part et d'autre du point d'intersection.
Dans les deux cas, si les conditions de parallélisme sont remplies, le théorème établit une proportionnalité entre les longueurs des segments formés.
Énoncé du théorème :
Soient deux droites $(BM)$ et $(CN)$ sécantes en $A$.
Si les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles, alors :
$$\frac{AB}{AM} = \frac{AC}{AN} = \frac{BC}{MN}$$Cette égalité de rapports permet de trouver une longueur inconnue si les autres sont connues.
Méthode — Le théorème de Thalès : calculer une longueur
1. Identifier la configuration de Thalès
Vérifiez que vous êtes bien dans une des deux configurations de Thalès :
- Deux droites sécantes coupées par deux droites parallèles.
- Deux droites sécantes se coupant en un point, et deux droites parallèles coupant ces sécantes.
2. Vérifier les conditions d'application
Le théorème de Thalès ne s'applique que si les droites sont parallèles. Il est crucial de le mentionner dans votre rédaction. Si le parallélisme n'est pas donné, vous ne pouvez pas appliquer le théorème.
3. Écrire l'égalité des rapports
En vous basant sur le point d'intersection des sécantes (le « sommet » de la configuration), écrivez les trois rapports égaux. Par exemple, si les droites $(BM)$ et $(CN)$ sont sécantes en $A$, et que $(BC)$ est parallèle à $(MN)$, alors : $$\frac{AB}{AM} = \frac{AC}{AN} = \frac{BC}{MN}$$ Il est important de bien associer les segments correspondants (petit côté sur grand côté, ou inversement, mais de manière cohérente pour tous les rapports).
4. Remplacer les longueurs connues
Reportez les valeurs numériques des longueurs que vous connaissez dans l'égalité des rapports. Laissez la longueur inconnue sous forme de variable.
5. Résoudre l'équation pour trouver la longueur inconnue
Utilisez le produit en croix pour résoudre l'équation et trouver la valeur de la longueur inconnue. Vous n'aurez besoin que de deux des trois rapports pour former une équation.
Exemple résolu
Soit la figure ci-contre où les droites $(DE)$ et $(BC)$ sont parallèles. On donne $AD = 3$ cm, $AB = 7$ cm et $AE = 4$ cm. Calculer la longueur $AC$.
La longueur $AC$ est de $\frac{28}{3}$ cm, soit environ $9.33$ cm.
⚠️ Oublier de vérifier le parallélisme
- Le piège le plus courant est d'appliquer le théorème de Thalès sans avoir au préalable vérifié ou démontré que les droites sont parallèles.
- Si le parallélisme n'est pas explicitement donné dans l'énoncé ou si vous ne pouvez pas le prouver (par exemple, avec la réciproque du théorème de Thalès pour prouver le parallélisme, ce qui est un autre sujet), vous ne pouvez pas utiliser le théorème pour calculer des longueurs.
- Citez toujours les conditions d'application dans votre rédaction !
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Exercice type Brevet
Exercice : Calcul de longueur avec Thalès
Dans la figure ci-dessous, les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.
On donne les longueurs suivantes :
- $AM = 4$ cm
- $AB = 10$ cm
- $AN = 5$ cm
- $BC = 12$ cm
1. Calculer la longueur $AC$.
2. Calculer la longueur $MN$.
Corrigé de l'exercice
1. Calcul de la longueur $AC$ :
On sait que les droites $(MB)$ et $(NC)$ sont sécantes en $A$.
On sait que les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès, on a l'égalité des rapports :
$$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$$On remplace par les valeurs connues pour trouver $AC$ :
$$\frac{4}{10} = \frac{5}{AC}$$Par produit en croix :
$$4 × AC = 10 × 5$$$$4 × AC = 50$$$$AC = \frac{50}{4}$$$$AC = 12.5 \text{ cm}$$La longueur $AC$ est de $12.5$ cm.
2. Calcul de la longueur $MN$ :
En utilisant la même égalité des rapports et les valeurs connues :
$$\frac{AM}{AB} = \frac{MN}{BC}$$On remplace par les valeurs connues :
$$\frac{4}{10} = \frac{MN}{12}$$Par produit en croix :
$$10 × MN = 4 × 12$$$$10 × MN = 48$$$$MN = \frac{48}{10}$$$$MN = 4.8 \text{ cm}$$La longueur $MN$ est de $4.8$ cm.
Questions fréquentes
Comment savoir quel rapport mettre au numérateur et au dénominateur ?
Le théorème de Thalès fonctionne-t-il dans la configuration 'papillon' ?
Est-ce que je dois toujours écrire les trois rapports ?
Quelle est la différence entre le théorème de Thalès et sa réciproque ?
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