Le sinus : calculer un angle – Fiche Brevet Maths

Définition

Le sinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport entre la longueur du côté opposé à cet angle et la longueur de l'hypoténuse.
Pour un angle aigu $\widehat{A}$ dans un triangle rectangle :
$$\sin(\widehat{A}) = \frac{\text{côté opposé à } \widehat{A}}{\text{hypoténuse}}$$Le sinus est une fonction trigonométrique qui permet de relier les angles et les longueurs des côtés d'un triangle rectangle. La valeur du sinus d'un angle est toujours comprise entre $0$ et $1$ (pour un angle aigu).

sin(α) = oppose / hypotenuse

💡 Bon réflexe : Dessine toujours le triangle et identifie clairement l'angle, le côté opposé et l'hypoténuse avant de commencer les calculs.

Méthode — Le sinus : calculer un angle

Identifier le triangle rectangle et l'angle à calculer

Assurez-vous que le triangle est bien rectangle. Identifiez l'angle aigu dont vous devez calculer la mesure. Nommez les sommets du triangle (par exemple, $A$, $B$, $C$) et l'angle (par exemple, $\widehat{B}$). Si le triangle n'est pas nommé, nommez-le pour faciliter la rédaction.

Identifier le côté opposé et l'hypoténuse

À partir de l'angle que vous cherchez à calculer, identifiez le côté qui lui est opposé (celui qui ne touche pas l'angle) et l'hypoténuse (le côté le plus long, opposé à l'angle droit). Notez leurs longueurs respectives.

Appliquer la formule du sinus

Écrivez la formule du sinus pour l'angle concerné : $\sin(\text{angle}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$. Remplacez les noms des côtés et leurs longueurs dans la formule.

Calculer la valeur du sinus

Effectuez la division pour obtenir la valeur numérique du sinus de l'angle. Cette valeur sera un nombre décimal entre $0$ et $1$.

Utiliser la fonction arc sinus ($\sin^{-1}$ ou $\text{arcsin}$)

Pour trouver la mesure de l'angle à partir de la valeur de son sinus, vous devez utiliser la fonction réciproque du sinus, appelée arc sinus. Sur votre calculatrice, cette fonction est généralement notée $\sin^{-1}$ ou $\text{arcsin}$. Tapez $\sin^{-1}(\text{valeur du sinus})$ et la calculatrice vous donnera la mesure de l'angle en degrés (ou en radians, selon le mode de votre calculatrice ; assurez-vous d'être en mode degrés).

Arrondir le résultat si nécessaire

Lisez attentivement l'énoncé pour savoir à quelle précision vous devez arrondir votre réponse (par exemple, au dixième de degré près, à l'unité près).

Exemple résolu

Soit un triangle $ABC$ rectangle en $B$. On sait que $AC = 10 \text{ cm}$ et $AB = 5 \text{ cm}$. Calculons la mesure de l'angle $\widehat{C}$.

Le triangle $ABC$ est-il rectangle ?

✓ OuiL'énoncé précise que le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.

Quel est le côté opposé à l'angle $\widehat{C}$ ?

$AB$ — Le côté $AB$ est en face de l'angle $\widehat{C}$.

Quelle est l'hypoténuse ?

$AC$ — L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit $\widehat{B}$, c'est le plus long côté.

Appliquer la formule du sinus pour $\widehat{C}$

$\sin(\widehat{C}) = \frac{AB}{AC}$ — Formule du sinus : $\frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$.

Calculer la valeur du sinus

$\sin(\widehat{C}) = \frac{5}{10} = 0,5$ — On remplace les longueurs connues : $AB = 5$ et $AC = 10$.

Calculer la mesure de l'angle $\widehat{C}$

$\widehat{C} \approx 30°$ — En utilisant la calculatrice : $\sin^{-1}(0,5) = 30°$. (Arrondi à l'unité près).

Ainsi, l'angle $\widehat{C}$ mesure environ $30°$.

⚠️ Confondre les côtés ou le mode de la calculatrice

Le piège le plus fréquent est de confondre le côté opposé avec le côté adjacent, ou d'utiliser le mauvais côté dans la formule.
Assurez-vous toujours d'identifier correctement le côté opposé et l'hypoténuse par rapport à l'angle que vous cherchez.
Un autre piège est d'oublier de passer la calculatrice en mode 'degrés' (DEG) avant d'utiliser la fonction $\sin^{-1}$, ce qui donnerait un résultat en radians, souvent très différent et incorrect pour les exercices du Brevet.

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Exercice type Brevet

Dans un triangle $RST$ rectangle en $S$, on sait que $RT = 12 \text{ cm}$ et $RS = 6 \text{ cm}$.
1. Quel est le côté opposé à l'angle $\widehat{T}$ ?
2. Quelle est l'hypoténuse du triangle $RST$ ?
3. Écrire la relation trigonométrique permettant de calculer $\sin(\widehat{T})$.
4. Calculer la valeur de $\sin(\widehat{T})$.
5. En déduire la mesure de l'angle $\widehat{T}$ (arrondir au dixième de degré près).

1. Le côté opposé à l'angle $\widehat{T}$ est $RS$.
2. L'hypoténuse du triangle $RST$ est $RT$ (c'est le côté opposé à l'angle droit $\widehat{S}$).
3. La relation trigonométrique est : $\sin(\widehat{T}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} = \frac{RS}{RT}$.
4. Calcul de $\sin(\widehat{T})$ : $\sin(\widehat{T}) = \frac{6}{12} = 0,5$.
5. Pour trouver la mesure de l'angle $\widehat{T}$ : $\widehat{T} = \sin^{-1}(0,5)$.
Avec une calculatrice, on trouve $\widehat{T} = 30°$.
Arrondi au dixième de degré près, $\widehat{T} \approx 30,0°$.

Questions fréquentes

Quand utiliser le sinus pour calculer un angle ?

Vous utilisez le sinus pour calculer un angle lorsque vous connaissez la longueur du côté opposé à cet angle et la longueur de l'hypoténuse dans un triangle rectangle.

Quelle est la différence entre $\sin$ et $\sin^{-1}$ ?

$\sin$ (sinus) est utilisé pour calculer le rapport des côtés à partir d'un angle ($\sin(30°) = 0,5$). $\sin^{-1}$ (arc sinus) est utilisé pour calculer l'angle à partir du rapport des côtés ($\sin^{-1}(0,5) = 30°$). C'est la fonction réciproque.

Le sinus peut-il être supérieur à 1 ?

Non. Pour un angle aigu (entre $0°$ et $90°$), la valeur du sinus est toujours comprise entre $0$ et $1$. Si vous obtenez une valeur supérieure à $1$ ou inférieure à $0$, c'est qu'il y a une erreur dans vos calculs ou dans l'identification des côtés.

Comment savoir si ma calculatrice est en mode degrés ?

Sur la plupart des calculatrices scientifiques, un petit indicateur 'DEG' ou 'D' est affiché à l'écran lorsque la calculatrice est en mode degrés. Si vous voyez 'RAD' ou 'G', vous êtes en mode radians ou grades et vous devrez changer le mode dans les paramètres de la calculatrice.

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