Le sinus : calculer un côté – Fiche Brevet Maths

Q: Comment savoir quel est le côté opposé et l'hypoténuse ?

L'hypoténuse est toujours le côté le plus long du triangle rectangle et il est opposé à l'angle droit. Le côté opposé à un angle aigu est le côté qui ne touche pas cet angle.

Définition

Le sinus est un rapport trigonométrique utilisé dans un triangle rectangle. Il relie un angle aigu à la longueur du côté opposé à cet angle et à la longueur de l'hypoténuse.

Pour un angle aigu $\widehat{A}$ dans un triangle rectangle, la formule du sinus est :
$$\sin(\widehat{A}) = \frac{\text{côté opposé à } \widehat{A}}{\text{hypoténuse}}$$
On peut utiliser l'acronyme SOH CAH TOA pour se souvenir des formules trigonométriques :

SOH : Sinus = Opposé / Hypoténuse
CAH : Cosinus = Adjacent / Hypoténuse
TOA : Tangente = Opposé / Adjacent

sin(α) = oppose / hypotenuse

💡 Bon réflexe : Toujours vérifier que le triangle est rectangle avant d'appliquer les formules trigonométriques.

Méthode — Le sinus : calculer un côté

Étape 1 : Identifier le triangle rectangle, l'angle connu et le côté connu

Assurez-vous que le triangle est bien rectangle. Identifiez l'angle aigu dont la mesure est donnée et le côté dont la longueur est connue (soit le côté opposé à l'angle, soit l'hypoténuse).

Étape 2 : Identifier le côté à calculer

Déterminez si le côté à calculer est le côté opposé à l'angle connu ou l'hypoténuse.

Étape 3 : Écrire la formule du sinus

Appliquez la formule du sinus pour l'angle connu : $\sin(\text{angle}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$.

Étape 4 : Remplacer les valeurs connues et résoudre l'équation

Substituez les valeurs connues (angle, côté connu) dans la formule. Utilisez un produit en croix ou une simple multiplication/division pour isoler et calculer la longueur du côté inconnu. N'oubliez pas d'utiliser votre calculatrice pour trouver la valeur du sinus de l'angle.

Exemple résolu

Soit un triangle $ABC$ rectangle en $B$. On connaît l'angle $\widehat{A} = 30°$ et la longueur de l'hypoténuse $AC = 10$ cm. On veut calculer la longueur du côté $BC$ (côté opposé à l'angle $\widehat{A}$).

Le triangle $ABC$ est-il rectangle ?

✓ OuiL'énoncé précise que le triangle est rectangle en $B$.

Quel est l'angle connu ?

$\widehat{A} = 30°$ — L'angle $\widehat{A}$ est donné.

Quel est le côté connu ?

$AC = 10$ cm — $AC$ est l'hypoténuse.

Quel est le côté à calculer ?

$BC$ — $BC$ est le côté opposé à l'angle $\widehat{A}$.

Écrire la formule du sinus.

$\sin(\widehat{A}) = \frac{BC}{AC}$ — Formule générale du sinus.

Remplacer les valeurs et résoudre.

$BC = 5$ cm — $\sin(30°) = \frac{BC}{10}$
$BC = 10 × \sin(30°)$
$BC = 10 × 0,5$
$BC = 5$ cm

La longueur du côté $BC$ est de $5$ cm.

⚠️ Confondre côté opposé et côté adjacent

Le côté opposé à un angle est celui qui ne touche pas l'angle.
Le côté adjacent est celui qui touche l'angle mais n'est pas l'hypoténuse.
Utiliser le côté adjacent à la place du côté opposé dans la formule du sinus.
Pensez à l'acronyme SOH CAH TOA pour vous aider à distinguer les côtés.

Pack Brevet Maths

Reçois 3 fiches gratuites pour préparer le Brevet

Les 3 fiches les plus importantes du programme de 3ème, en PDF prêt à imprimer. Offertes par Adil.

Pas de spam. Désinscription en un clic.

Exercice type Brevet

Dans un triangle $RST$ rectangle en $S$, on sait que l'angle $\widehat{R} = 45°$ et que l'hypoténuse $RT = 8$ cm. Calculez la longueur du côté $ST$. Arrondissez au dixième si nécessaire.

Le triangle $RST$ est rectangle en $S$.
L'angle connu est $\widehat{R} = 45°$.
Le côté connu est l'hypoténuse $RT = 8$ cm.
Le côté à calculer est $ST$, qui est le côté opposé à l'angle $\widehat{R}$.
On utilise la formule du sinus : $\sin(\widehat{R}) = \frac{ST}{RT}$
On remplace les valeurs : $\sin(45°) = \frac{ST}{8}$
On résout pour $ST$ : $ST = 8 × \sin(45°)$
À l'aide de la calculatrice : $ST \approx 8 × 0,7071 \approx 5,6568$
Arrondi au dixième : $ST \approx 5,7$ cm.

Questions fréquentes

Quand utiliser le sinus plutôt que le cosinus ou la tangente ?

Le sinus est utilisé lorsque vous connaissez ou cherchez le côté opposé à l'angle et l'hypoténuse. Si vous travaillez avec le côté adjacent et l'hypoténuse, utilisez le cosinus. Si vous travaillez avec le côté opposé et le côté adjacent, utilisez la tangente.

Est-ce que le sinus peut être utilisé dans n'importe quel triangle ?

Non, les formules de trigonométrie (sinus, cosinus, tangente) ne s'appliquent que dans les triangles rectangles.

Comment savoir quel est le côté opposé et l'hypoténuse ?

L'hypoténuse est toujours le côté le plus long du triangle rectangle et il est opposé à l'angle droit. Le côté opposé à un angle aigu est le côté qui ne touche pas cet angle.

Quelle est l'unité du sinus d'un angle ?

Le sinus d'un angle est un rapport de deux longueurs, il n'a donc pas d'unité. C'est un nombre pur.

Pour aller plus loin

Votre enfant bloque sur ce chapitre ?

Adil explique la méthode en 1 séance. Cours en ligne disponibles partout en France à 20€/h.

📞 Être rappelé gratuitement Avance Immédiate →